新課標(biāo)人教版四年級疑難問題解答

1、新課標(biāo)人教版四年級疑難問題解答四年級上冊：一、教材第20頁提到“0也是自然數(shù)，最小的自然數(shù)是0”，這與九年義務(wù)教育小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中的說法不一致。這什么要做出這樣的改動？從歷史上看，國內(nèi)外數(shù)學(xué)界對于自然數(shù)的定義一直存在著兩種觀點。一種觀點認(rèn)為0不是自然數(shù)。例如, 意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾于1889年提出了一組刻畫自然數(shù)特征的公理，包括以下五條：（1）1是自然數(shù)。（2）任一自然數(shù)都有唯一自然數(shù)為其后繼數(shù)。（3）沒有兩個相異的自然數(shù)有同一后繼數(shù)。（4）1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù)。（5）如果1具有性質(zhì)P，且任何具有性質(zhì)P的自然數(shù)其后繼數(shù)也具有性質(zhì)P，則一切自然數(shù)都具有性質(zhì)P。從這組公理可以清楚地看到，皮亞諾把

2、0劃歸在自然數(shù)之外的。再如，上海辭書出版社出版的辭海（1999年版）把自然數(shù)解釋為：在人類歷史發(fā)展的最初階段，由于計量的需要，用以表示個數(shù)的數(shù)目。首先有數(shù)目一，以后逐次加一，即得二、三、四等等，統(tǒng)稱為“自然數(shù)”。建國以來，我國的中小學(xué)教材一直采用自然數(shù)的這種定義，用N=1，2，3，4，5，來表示自然數(shù)集，而用N*=0，1，2，3，4，5，表示擴(kuò)展的自然數(shù)集。還有一種觀點把0劃歸為自然數(shù)的范疇。例如，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有很大影響的法國布爾巴基學(xué)派的數(shù)學(xué)原本中，從集合論的角度，把0作為空集的基數(shù)，這樣，所有有限集合的基數(shù)就都可以用自然數(shù)來刻畫了。目前，國際上大多數(shù)國家也把0納入自然數(shù)集中。為了國際交流

3、的方便，國家技術(shù)監(jiān)督局于1993年12月27日發(fā)布的中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn)（GB31003102-93）量和單位第311頁，就已經(jīng)規(guī)定自然數(shù)集N=0，1，2，3，。在現(xiàn)代漢語詞典2005年6月第5版中也把自然數(shù)定義成：零和大于零的整數(shù)，即0，1，2，3，4，5，。根據(jù)上述原因，教材研究編寫人員在對原九年義務(wù)教育教材進(jìn)行修訂和編寫課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教材時，依據(jù)有關(guān)國家標(biāo)準(zhǔn)對自然數(shù)的定義進(jìn)行了修改，規(guī)定0屬于自然數(shù)。二、對于億這樣比較大的計數(shù)單位，怎樣幫助學(xué)生建立相應(yīng)的數(shù)感？新課標(biāo)非常強(qiáng)調(diào)對學(xué)生數(shù)感的培養(yǎng)，教材中也在相關(guān)的單元編入了大量幫助學(xué)生建立數(shù)感的素材。例如，在認(rèn)識20以內(nèi)的數(shù)、100以內(nèi)的數(shù)時，

4、教材就注意通過估一估、數(shù)一數(shù)等活動幫助學(xué)生形成對十、百等數(shù)量大小的感覺。但是，對于一些比較大的計數(shù)單位（如萬、億），如何建立相應(yīng)的數(shù)感？確實成為教師們教學(xué)中的困惑。首先要說明一點，為了敘述方便，這兒所講的數(shù)感僅僅指對一個數(shù)量相對大小的感覺（事實上，數(shù)感有著更豐富的內(nèi)涵，指的是關(guān)于數(shù)與數(shù)量表示、數(shù)量大小比較、數(shù)量和運(yùn)算結(jié)果的估計、數(shù)量關(guān)系等方面的感悟）。數(shù)感的培養(yǎng)不是一兩堂課就能達(dá)到目標(biāo)的。因此，在日常教學(xué)中，需要時時處處進(jìn)行這方面的滲透，不斷積累這方面的經(jīng)驗。例如，為了幫助學(xué)生形成對100這個數(shù)的感覺，教師可以通過讓學(xué)生看百羊圖、數(shù)100?；ㄉ?shù)100根小棒、估計一堆水果的數(shù)量等活動，來建立

5、相應(yīng)的數(shù)感。由上面的例子也可以看出，數(shù)感的培養(yǎng)不可能是一個抽象的過程?？辗旱刈寣W(xué)生說一說“1萬有多大？1億有多大？”并沒有太大的意義，應(yīng)該借助大量的生活經(jīng)驗，幫助學(xué)生感受某種具體事物某個數(shù)量的相對大小。即便是借助直觀的物體，學(xué)生也未必能建立起很好的數(shù)感。例如，我們可以讓學(xué)生觀察一個由1000（101010）個小正方體組成的大正方體，感受1千有多大，也可以讓他們看十個這樣的正方體，感受1萬有多大，但如果想通過同樣的方式來建立1億的數(shù)感，恐怕在操作層面上是難以實行的。要建立1億的數(shù)感，需要發(fā)揮學(xué)生的想像力，憑借生活經(jīng)驗，形成一種大致的感覺就可以了，教學(xué)時要求不宜過高。教材中提供了一些幫助學(xué)生建立數(shù)

6、感的范例，教學(xué)時可以參考借鑒。例如，第12頁的第15題，讓學(xué)生通過一些數(shù)學(xué)策略和生活經(jīng)驗判斷某個數(shù)據(jù)信息的合理性，就是一種很好的建立數(shù)感的方式。再如，第4頁的“你知道嗎”以及第33頁的“1億有多大”，都是借助一些具體活動，通過計算，幫助學(xué)生感受1億的相對大小。但要感受1億，并不像較小的計數(shù)單位那樣，僅僅憑用眼看、用手摸等直觀活動就能達(dá)到目的，還需要學(xué)生能更好地利用數(shù)學(xué)工具，同時，要具備很好的長度觀念、質(zhì)量觀念、時間觀念，更需要學(xué)生有較強(qiáng)的想像能力，所有這些，都可以輔助學(xué)生較好地建立1億的數(shù)感。例如，1億名小學(xué)生手拉手可以繞地球赤道3圈半，學(xué)生雖然不可能對地球赤道的長度有親身體驗，但可以利用想像

7、和簡單的科學(xué)知識，進(jìn)行粗略的感受。除了教材上提供的這些素材以外，教師還可以充分發(fā)揮學(xué)生的創(chuàng)造性，讓學(xué)生自行選擇素材，設(shè)計各種活動，感受豐富多樣的“1億”，如：一億名小學(xué)生站在一起，占地面積大約是多少；1億粒大米有多少；1億粒黃豆有多少；1億滴水有多少；等等。三、教材中介紹了計算器的使用，但實際教學(xué)中一般不允許使用計算器，應(yīng)如何處理這一矛盾？隨著經(jīng)濟(jì)、科技的快速發(fā)展，計算器、計算機(jī)在生活中的使用越來越廣泛。對于社會生活中一些大數(shù)目、多步驟的復(fù)雜計算，紙筆運(yùn)算、珠算等顯然已經(jīng)不能完全滿足新的要求，需要有更先進(jìn)的計算工具來代替。因此，計算器乃至計算機(jī)的使用已經(jīng)成為現(xiàn)代社會公民的一項基本技能要求，在小

8、學(xué)階段要求學(xué)生學(xué)會使用計算器，是符合社會發(fā)展的要求的。新課標(biāo)在第二學(xué)段中明確要求學(xué)生：“能借助計算器進(jìn)行較復(fù)雜的運(yùn)算，解決簡單的實際問題，探索簡單的數(shù)學(xué)規(guī)律。”根據(jù)社會的發(fā)展?fàn)顩r和課標(biāo)的精神，教科書中除了介紹計算器的基本使用方法以外，還編入了一些利用計算器探索數(shù)學(xué)規(guī)律的習(xí)題。與此同時，我們也應(yīng)看到，在小學(xué)階段，學(xué)生的主要任務(wù)是較好地掌握口算、筆算、估算技能。在此次小學(xué)數(shù)學(xué)課程和教材改革中，雖然刪去了大量的數(shù)目較大、步驟較多的計算內(nèi)容，計算要求也相應(yīng)降低，但是值得注意的是，基本的計算能力仍然要求學(xué)生熟練掌握，這一點不會因為教材中引入計算器而有所改變。學(xué)生對四則運(yùn)算的意義、算理、算法的理解和掌握，

9、仍然是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重點。因此，要求學(xué)生熟練掌握口算、筆算、估算技能與學(xué)習(xí)使用計算器不是對立的，而應(yīng)該和諧統(tǒng)一、互為促進(jìn)。在計算教學(xué)中，首先要使學(xué)生學(xué)會判斷何時使用口算，何時使用筆算，何時使用估算就足夠了，何時又最好使用計算器。根據(jù)不同的情境、不同的要求，選擇合適的算法，是對學(xué)生計算能力的基本要求。試想一下，學(xué)生學(xué)會計算器以后，如果面對67這樣的簡單計算也用計算器去計算，我們該如何評價其計算能力呢？但如果碰到的是像32842367.7這樣的計算，又何必為難學(xué)生，非得要求他們用筆算呢？我們認(rèn)為除了學(xué)習(xí)基本的按鍵方法以外，學(xué)生可以在以下情況使用計算器：計算涉及到的數(shù)目較大，計算涉及的步數(shù)較多，驗算

10、（要求筆算驗算的除外），利用計算器探索和驗證數(shù)學(xué)規(guī)律。當(dāng)然，計算器不是萬能的。有時，對于一些特殊的題目，如1998+1999+2000+2001+2002，運(yùn)用巧妙的簡算方法，速度更快，準(zhǔn)確率更高。再如，有時由于按鍵失誤，反而引起錯誤，此時利用口算、估算的技能，也可以幫助驗證計算器計算的準(zhǔn)確性，如計算325125，如果積的個位不是5，就可以判斷一定是按錯鍵了。因此，在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，要避免兩種極端的做法。一是因為教材中編入了計算器的內(nèi)容，一遇計算就使用計算器，使得學(xué)生的口算、筆算能力大幅滑坡。二是怕學(xué)生養(yǎng)成對計算器過分依賴的壞習(xí)慣，索性就不教學(xué)生使用計算器，這種諱疾忌醫(yī)的做法也是沒有必要的。

11、關(guān)鍵是在教學(xué)中根據(jù)具體情況靈活把握尺度，既要保證學(xué)生的基本計算能力得以牢固掌握，又要使學(xué)生掌握先進(jìn)的計算工具，在一個信息化的時代，這種技能的培養(yǎng)也是不可或缺的。四、教材第60頁的問題解決中，運(yùn)用了乘法估算，并把兩種估算方法加以比較。估算方法有好壞之分嗎？應(yīng)怎樣展開估算教學(xué)？估算能力是學(xué)生計算能力中很重要的一個方面，新課改中加大了估算內(nèi)容的比重，這也是符合各國數(shù)學(xué)課改的潮流的。估算的功能分為兩方面，一是數(shù)學(xué)上的功能，例如培養(yǎng)數(shù)感（如判斷2412=2408計算結(jié)果的合理性），為精確計算作準(zhǔn)備（如要計算49212時，往往先用48010或49010或50010來試商）。二是估算在生活中的應(yīng)用，當(dāng)無法精

12、確計算或沒有必要精確計算時，有時用估算也能解決問題。下面談的主要是第二種情況。在進(jìn)行估算教學(xué)時，可以從以下幾方面去思考，以供參考。一、估算意識與估算技能的培養(yǎng)同樣重要，前者的重要性有時甚至超過后者。過去的教學(xué)中，教師往往把更多的注意力放在“如何估算”上，例如，先用“四舍五入法”求出算式中的近似數(shù)，再對近似數(shù)進(jìn)行精確計算，這樣，估算就變成了一種僵化的固定的方法。對于“為什么要估算”，過去關(guān)注得比較少。實際上，學(xué)生能否根據(jù)不同的情境靈活選擇合適的算法，是考查其解決問題能力的重要方面。對面對一個數(shù)據(jù)模糊不清甚至殘缺的問題情境時，有的學(xué)生束手無策，因為數(shù)據(jù)不完整，無法精確計算，但有的學(xué)生卻能利用已有信

13、息，靈活運(yùn)用估算策略，把問題解決，這就反映出兩類學(xué)生不同層次的解決問題水平。二、估算策略的靈活性問題。上面已經(jīng)談到，過去教學(xué)估算，策略往往是唯一的、固定的，但實際生活中解決一個現(xiàn)實問題時，常常是“條條大路通羅馬”，選擇何種估算策略，并沒有一定之規(guī)。例如，要解決這樣一個問題：“燕鷗每天飛735千米，從北極到南極行程17000米，20天能飛到嗎？”可以把735看成750，也可以把735看成800，都能達(dá)到解決問題的目的。三、估算策略的有效性問題。抽象地討論估算方法的優(yōu)劣似乎意義不大，因為判斷優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)本身就不好定。但對于一個具體的問題情境而言，這種討論還是有必要的。要判斷某種估算策略是否合理，其標(biāo)

14、準(zhǔn)就是利用該策略能否解決該問題。就拿教材第60頁例5來說，第一種解法是典型的“四舍五入”的估算方法，但在這兒卻對解決問題無效，因為把一個因數(shù)估小了，另一個因數(shù)估大了，不能把最后的估算結(jié)果5000作為解決問題的依據(jù)。第二種解法是把兩個因數(shù)都估大了，估算出要準(zhǔn)備5500元錢，一定能解決問題。四、要明確一點，估算不是萬能的。有時候，某種估算策略能在某一問題情境中加以應(yīng)用，是因為無需利用精確計算就可解決該問題。但有的時候，用若干估算策略仍然不能解決問題，說明該問題僅用估算是不夠的，必須進(jìn)行精確計算。例如，要解決這樣一個問題：“89個同學(xué)去公園，門票9元一張，帶800元夠嗎？”如果把89估成90，909

15、=810，如果把9估成10，8910=890，如果把89估成80，809=720，這三種策略都不能很好地解決這個問題。在這種時候，說明用估算不足以解決問題，要精確計算?？傊诮鉀Q某一具體問題時，可能存在多種可用的估算策略，也可能用任何一種估算策略都不能解決問題。估算策略是否可用，完全是視問題情境（包括其中的數(shù)據(jù)）靈活而定，在某一情境中適用的策略，在另一情境中不一定適用。五、如何理解教材第114頁“做一做”第1題中的優(yōu)化問題？關(guān)于飯館做菜問題，我們可以從兩方面來談優(yōu)化的問題。一是讓顧客等待的時間問題，二是飯館的客流問題。我們可以用一個最簡單的模型來描述教材上所描述的問題。共有兩個廚師，三位顧客

16、，每位顧客點兩個菜。假設(shè)做每個菜的時間是3分鐘，吃每個菜的時間是5分鐘。（當(dāng)然這只是假設(shè)，實際情形要復(fù)雜得多。）方案一：先做顧客1的兩個菜，再做顧客2的兩個菜，最后做顧客3的兩個菜。方案二：先做顧客1和2的第一個菜，再做顧客1的第二個菜和顧客3的第一個菜，最后做顧客2和3的第二個菜。那么可以算出兩種方案中每位顧客的等候時間和離開時間。方案1：顧客1顧客2顧客3吃上第一個菜的時間第4分鐘第7分鐘第10分鐘吃上第二個菜的時間第4分鐘第7分鐘第10分鐘離開飯館的時間第14分鐘第17分鐘第20分鐘方案2：顧客1顧客2顧客3吃上第一個菜的時間第4分鐘第4分鐘第7分鐘吃上第二個菜的時間第7分鐘第10分鐘第

17、10分鐘離開飯館的時間第14分鐘第15分鐘第17分鐘由此可以看出，在這個最簡單的模型里，如果把方案一的炒菜和上菜的順序改為方案二，第一是客人等候第一個菜上來的時間都減少了，就不會有那么多怨言。第二是大部分人離開的時間都會提前，這樣，作為飯館而言，客流就會比較快，就可以接待新的顧客進(jìn)來。當(dāng)然，以上只是在假設(shè)炒菜為3分鐘和吃菜為5分鐘的情況，作為一個一般模型，還可以假設(shè)炒一個菜為x分鐘和吃一個菜為y分鐘，那情況就很復(fù)雜了。如果把整個飯館的客流問題做成一個數(shù)學(xué)模型，就更復(fù)雜了。當(dāng)然，我們不要求小學(xué)生解釋以上這些道理，但學(xué)生可以根據(jù)生活經(jīng)驗加以解釋，如：如果一個人一個人地上菜，那最后一個人等候的時間太

18、長了，就會有意見了，時間都浪費在等待上了。等等。船2等候：145小時船1等候：14813小時3條船等候時間總和：151319小時假設(shè)這個碼頭只有三個泊位，那按方案一，在第9小時才能空出一個泊位來接納新的船只，而按方案二，在第2小時就可以空出一個泊位來接納新的船只，這樣，碼頭就會減少擁堵的可能性。四年級下冊：一、課標(biāo)教材為什么改變了“混合運(yùn)算”的編排方式？九年義務(wù)教育數(shù)學(xué)教材對“混合運(yùn)算”的編排采用的是與應(yīng)用題結(jié)合成獨立單元并進(jìn)行多次循環(huán)的編排方式。即在低年級逐步引入混合運(yùn)算、直觀描述運(yùn)算順序，中年級再系統(tǒng)出現(xiàn)整數(shù)四則三步混合運(yùn)算的各種情況（包括小括號和中括號的使用），之后在高年級“整數(shù)、小數(shù)四則混合運(yùn)算和應(yīng)用題”單元對四則混合運(yùn)算順序加以整理和概括出現(xiàn)第一級運(yùn)算和第二級運(yùn)算的概念，為學(xué)生初中時學(xué)習(xí)第三級運(yùn)算做準(zhǔn)備。這樣的編排有利于學(xué)生加深對混合運(yùn)算順序的理解，逐步形成列綜合算式的能力。本套實驗教材根據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的理念與要求“能結(jié)合現(xiàn)實素材理解運(yùn)算順序，并進(jìn)行簡單的整