大學(xué)文科數(shù)學(xué)3

1、1/82,第三章 變量變化速度與局部改變量 估值問題導(dǎo)數(shù)與微分,學(xué)之之博，未若知之之要，知之之要，未若行之之實(shí). 朱熹：朱子語類輯略 在一切理論成就中，未必再有什么像17世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了. 恩格斯,2/82,教學(xué)目標(biāo)：本章目標(biāo)是介紹導(dǎo)數(shù)概念、求導(dǎo)數(shù)的方法、微分及其運(yùn)算。 要求理解導(dǎo)數(shù)的概念、會求導(dǎo)數(shù)與微分、掌握導(dǎo)數(shù)與微分的運(yùn)算法則。了解牛頓的生平事跡和微積分發(fā)生與發(fā)展簡史.,教學(xué)重點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念、求導(dǎo)方法、微分概念； 教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)概念、微分概念、高階導(dǎo)數(shù)的 概念；,3/82,教學(xué)內(nèi)容 1 函數(shù)的局部變化率導(dǎo)數(shù) 2 求導(dǎo)數(shù)的方法法則與公式 3 局部改變量的估值

2、問題微分及其運(yùn)算 數(shù)學(xué)家啟示錄,4/82,第一節(jié) 函數(shù)的局部變化率導(dǎo)數(shù),問題提出 我們在解決實(shí)際問題時，除了需要了解變量之間的函數(shù)關(guān)系以外，有時還需要研究變量變化快慢的程度.例如物體運(yùn)動的速度，城市人口增長的速度，國民經(jīng)濟(jì)發(fā)展的速度等。 三類問題： 1：求變速運(yùn)動的瞬時速度 2：求曲線上一點(diǎn)處的切線 3：求極大值和極小值,5/82,1.1 抽象導(dǎo)數(shù)概念的兩個現(xiàn)實(shí)原型,原型 求變速直線運(yùn)動的瞬時速度.,勻速運(yùn)動：,設(shè) 在0，T上連續(xù)，求 .,瞬時速度 ；,變速運(yùn)動：,瞬時速度 .,1. 提出問題,想一想 如何處理速度變與不變的矛盾？,6/82,求增量 給 一個增量 ,時間從 變到了 ， 則,求增

3、量比（局部以勻速代變速）, 取極限（平均速度的極限值即為在時刻t0的瞬時速度）,7/82,原型 求曲線切線的斜率.,和 是曲線,上兩點(diǎn)它們的連線是 該曲線的一條割線，當(dāng)點(diǎn)M沿曲線無限接近于點(diǎn)M0時，割線繞點(diǎn) M0轉(zhuǎn)動，其極限位置M0 T就是曲線在點(diǎn)M0處的切線（圖3.2），求曲線在點(diǎn)M0處切線的斜率.,8/82,思考 步驟？ 數(shù)學(xué)思想方法？,提出問題 若 的圖象是直線，則 ；,若 的圖象是曲線，則 .,9/82,3. 回答兩個思考題 步驟 求增量 給 一個增量 ，自變量由 變到 ，則,求增量比,10/82,瞬時速度 平均速度,2：取極限,（第一步為第二步做準(zhǔn)備）,總結(jié)：上面兩個現(xiàn)實(shí)原型的范疇雖

4、不相同，但從純數(shù)學(xué)的 角度來考察， 所要解決的問題相同：求一個變量相對于另一個相關(guān)變量的變化快慢程度，即變化率問題； 處理問題的思想方法相同；矛盾轉(zhuǎn)化的辨證方法； 數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)相同：函數(shù)改變量與自變量改變之比，當(dāng)自變量改變量趨于零時的極限. 由這兩個具體問題便可抽象出導(dǎo)數(shù)的概念。,1：化 為,切線 割線,2：取極限,1：化 為,11/82,1.2 導(dǎo)數(shù)概念,定義1 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 的某一鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量 在 處有增量 （點(diǎn) 仍在該鄰域內(nèi)）時，相應(yīng)地函數(shù)有增量 ，如果 與 之比 ，當(dāng) 時的極限存在，則稱這個極限值為 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù)，記作 ，,其它形式,即,X0為固定的點(diǎn),注意：如果上述極限不存在

5、，則稱在x0處不可導(dǎo),一個整體符號,12/82,由此可知： 導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義是變速直線運(yùn)動物體的瞬時速度； 導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線切線的斜率.,求平均變化率,求平均變化率的極限，即,導(dǎo)數(shù)是平均變化率的極限！,13/82,定義2 如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)在區(qū)間 內(nèi)可導(dǎo).這時，函數(shù) 對于區(qū)間 內(nèi)每一 值都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)，稱為函數(shù) 的導(dǎo)函數(shù)，記作 或 其計(jì)算公式為 顯然函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù) 就是導(dǎo)數(shù) 在 處的函數(shù)值. 在不致引起混淆的情況下，導(dǎo)函數(shù)也簡稱為導(dǎo)數(shù).,是常數(shù),是函數(shù),14/82,2.右導(dǎo)數(shù):,單側(cè)導(dǎo)數(shù),1.左導(dǎo)數(shù):,15/82,可導(dǎo)區(qū)間：,16/82,由定義求導(dǎo)數(shù),

6、步驟:,例,解,s,17/82,例1：求函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù).,解：給 一個增量 ，則函數(shù)增量為,平均變化率為,于是,求導(dǎo)方法：法一、直接在點(diǎn)x0處求增量。 法二、求出導(dǎo)函數(shù)，再將x0代入。,使用法一,18/82,例2 求函數(shù) 在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù).,解 先求導(dǎo)函數(shù).,給任意一點(diǎn) 一個增量 ，得,由于,所以,再求函數(shù)在點(diǎn) 處的導(dǎo)數(shù),方法：1）直接在點(diǎn)x0處求增量。 2）求出導(dǎo)函數(shù)，在將x0代入。,使用法二,19/82,例3 求函數(shù) 的導(dǎo)數(shù).,解 任取一點(diǎn) 給 一個增量 ，得,從而,由于當(dāng) 時， 又因 在任取點(diǎn) 處連續(xù)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)求極限的法則，故得,20/82,例2,解,21/82,1.5 函數(shù)的連

7、續(xù)性和可導(dǎo)性之間的關(guān)系,定理：如果函數(shù) 在點(diǎn) 處可導(dǎo)，那么 在點(diǎn) 處可連續(xù). 該定理可簡述為：可導(dǎo)則連續(xù).,注意：該定理的逆命題并不成立.,如 在點(diǎn) 處連續(xù)，但它在點(diǎn) 處 不可導(dǎo).,22/82,例,解,23/82,1.6 高階導(dǎo)數(shù)的概念,二階導(dǎo)數(shù)的力學(xué)意義是運(yùn)動物體的加速度.,定義：,記作,24/82,記作,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).,二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),25/82,一、和、差、積、商的求導(dǎo)法則,定理,2.1 求導(dǎo)法則,26/82,證(3),證(1)、(2)略.,27/82,推論,28/82,例1 已知 求 .,解,例2 已知 求 .,解,29/8

8、2,例3 已知 求 .,解,例4 已知 求 .,解,即,30/82,三、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理,即 因變量對自變量求導(dǎo),等于因變量對中間變量求導(dǎo),乘以中間變量對自變量求導(dǎo).(鏈?zhǔn)椒▌t),此式也可表為： 和,31/82,例5 求 .,解 令 因?yàn)?所以,消去中間變量u， 得,有時復(fù)合函數(shù)的中間變量有兩個或兩個以上.如設(shè) 則復(fù)合函數(shù) 的求導(dǎo)法則為,32/82,例6 求 .,消去中間變量u和v，得,33/82,例7 求 .,解 根據(jù)定義域，去掉絕對值符號，表為分段函數(shù),綜合得,例6 求 .,例7 求 .,問題是如何求？,34/82,四、隱函數(shù)求導(dǎo) 用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則來求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù),如果方程 確定

9、了y是x的函數(shù)，那么，這樣的函數(shù)叫做隱函數(shù).設(shè)隱函數(shù)y關(guān)于x可導(dǎo)，我們可以利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，求出隱函數(shù)y對x的導(dǎo)數(shù).（如例8）,例8 方程 確定了y是x的隱函數(shù)，求 .,解 因?yàn)閥是x的隱函數(shù)，所以是lny是x的復(fù)合函數(shù).于是 等式兩端對x求導(dǎo)數(shù)，有,解出 ，得,35/82,例9 求圓 上一點(diǎn) 處的切線 方程.,解 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，先求隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).等式 兩端對x求導(dǎo)，有,根據(jù)直線的點(diǎn)斜式方程，可得所求圓的切線方程,36/82,例,解,則得恒等式,代入方程,將此恒等式兩邊同時對x求導(dǎo),得,因?yàn)閥是x的函數(shù),是x的復(fù)合函數(shù),所以,求導(dǎo)時要用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法,37/82,2.2、初等函數(shù)的

10、求導(dǎo)問題,1.常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,38/82,2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,3.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,利用導(dǎo)數(shù)定義、上述公式及法則初等函數(shù)求導(dǎo)問題可完全解決.,39/82,例10 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)：, ,解 由,得,40/82,由,得,41/82,一、問題的提出,實(shí)例:正方形金屬薄片受熱后面積的改變量.,3.1 微分,42/82,再例如,既容易計(jì)算又是較好的近似值,問題:這個線性函數(shù)(改變量的主要部分)是否所有函數(shù)的改變量都有?它是什么?如何求?,43/82,二、 微分概念,定義 設(shè)函數(shù) 在點(diǎn) 處有增量 ，若相應(yīng)的函數(shù)增量 可表為 其中A 與 無關(guān)， 稱為 的線性主部，

11、 是關(guān)于的高階無窮小量，則稱函數(shù) 在點(diǎn) 處可微，并稱 為函數(shù) 在點(diǎn) 處的微分，記作 ，即,于是有,(微分的實(shí)質(zhì)),44/82,由定義知:,45/82,由可微定義得,可微與可導(dǎo)間關(guān)系,所以可微則可導(dǎo)；,反過來，可導(dǎo)則可微.,所以對于函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)與求微分是一回事.即可微 與可導(dǎo)等價.故可導(dǎo)也叫可微.,對于求函數(shù)的增量而言，只需求1次導(dǎo)數(shù)，省卻了 繁瑣的求函數(shù)之差的運(yùn)算，故可簡化計(jì)算。,46/82,3.2 微分公式和法則,1. 導(dǎo)數(shù)公式和微分公式, 2. 導(dǎo)數(shù)法則和微分法則,詳見課本第61頁,47/82,一、計(jì)算函數(shù)增量的近似值,例1,解,3.3 微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用,48/82,二、計(jì)算函數(shù)的近

12、似值,49/82,例2,解,50/82,牛頓是著名的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家，是科學(xué)界崇拜的偶像。單就數(shù)學(xué)方面的成就，就使他與古希臘的阿基米德、德國的“數(shù)學(xué)王子”高斯一起，被成為世界三大數(shù)學(xué)家。其主要成就如下：數(shù)學(xué)方面 和 2）物理方面,數(shù)學(xué)家啟示錄（3） 科學(xué)巨匠牛頓,51/82,數(shù)學(xué)方面 他數(shù)學(xué)生涯中第一項(xiàng)創(chuàng)造性成果就是發(fā)現(xiàn)了二項(xiàng)式定理；微積分的創(chuàng)立是牛頓最卓越的數(shù)學(xué)成就。他為解決運(yùn)動問題，才創(chuàng)立這種和物理概念直接聯(lián)系的數(shù)學(xué)理論的，并稱之為“流數(shù)術(shù)”。他將自古希臘以來求解無限小問題的各種技巧統(tǒng)一為兩類普通的算法微分和積分，并確立了這兩類運(yùn)算的互逆關(guān)系，從而完成了微積分發(fā)明中最關(guān)鍵的一步，為近代科學(xué)發(fā)展提供了最有效的工具，開辟了數(shù)學(xué)上的一個新紀(jì)元。 牛頓在代數(shù)方面出版了普遍算術(shù)，主要討論了代數(shù)基礎(chǔ)及其（通過解方程）在解決各類問題中的應(yīng)用。牛頓對解析幾何與綜合幾何也有貢獻(xiàn)。出版了解析幾何和三次曲線枚舉。 此外，還涉及數(shù)值分析、概率論和初等數(shù)論等眾多領(lǐng)域。,52/82,物理方面 牛頓是經(jīng)典力學(xué)理論理所當(dāng)然的開創(chuàng)者。他系統(tǒng)的總結(jié)了伽利略、開普勒和惠更斯等人的工作，得到了著名的萬有引力定律和牛頓運(yùn)動三定律。還出版了經(jīng)典力學(xué)著作自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。 在光學(xué)方面，牛頓也取得了巨大成果。他最早發(fā)現(xiàn)了白光的組成并