第二十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題A卷(小學(xué)高年級組)

1、詳解第二十一屆華羅庚金杯少年數(shù)學(xué)邀請賽決賽試題A（小學(xué)高年級組） 一、填空題（每小題 10 分, 共80 分） 1. 計算: (2.4 4) = 。答案 2解析原式= -( + ) = - = - = 22. 中國北京在2015年7月31日獲得了2022 年第24 屆冬季奧林匹克運(yùn)動會的主辦權(quán). 預(yù)定該屆冬奧會的開幕時間為2022年2月4日，星期 。（今天是2016年3月12日, 星期六） 答案五解析2022-20166（年），20204=505，所以2020為閏年，有366天。2016年3月12日至2022年3月12日共有：3655+366=2191(天）；2022年2月4日至2022年3月

2、12日共有：28-412=36(天）；2016年3月12日至2022年2月4日共有：2191-362155(天）；21557=307（周）6（天）6+6-7=5.所以2022年2月4日是星期五。3. 右圖中,AB=5厘米, ABC=85,BCA=45,DBC=20,則AD= 厘米。答案 5解析A180ABC BCA1808545=50 ; ABD= ABC DBC8520=65； ADB180 AABD18050 6565； 所以 ABDADB ，即ABD是等腰三角形。 所以ADAB5(厘米)在99的格子紙上,11小方格的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)。如右圖,三角形ABC 的三個頂點(diǎn)都是格點(diǎn). 若一個格點(diǎn)P

3、使得三角形PAB與三角形PAC的面積相等, 就稱P點(diǎn)為“好點(diǎn)”。那么在這張格子紙上共有 個“好點(diǎn)”。答案 6解析如圖，因為AB2AC，所以P點(diǎn)到AC的距離等于P點(diǎn)到AB距離的2倍，如圖所示，共有6個點(diǎn)。5. 對于任意一個三位數(shù)n, 用n表示刪掉n中為0的數(shù)位得到的數(shù)。例如n =102時n =12,那么滿足n n且n 是n的約數(shù)的三位數(shù)有 個。答案93解析分兩類情況來討論：個位為0的三位數(shù)有：100、110、120.990，共有90個均符合題目要求。設(shè)十位數(shù)字為0的三位數(shù)為a0b，依題意，a0b是ab的倍數(shù)。則：100a+b是10a+b的倍數(shù)，且100a+b=10（10a+b）9b，因為10（1

4、0a+b）是10a+b的倍數(shù)，所以9b是10a+b的倍數(shù)。當(dāng)b=5時，a1或a4符合，即105或405符合。當(dāng)b8時，a1符合，即108符合。所以，十位為0的三位數(shù)共有105、405、108這3個。綜上，符合題意的三位數(shù)共有90+3=93（個）。6. 共有12 名同學(xué)玩一種撲克游戲, 每次4人參加, 且任意2 位同學(xué)同時參加的次數(shù)不超過1。 那么他們最多可以玩 次。答案9解析將12名同學(xué)分別編號為1-12，將這12人分成4組，每組3個人，要想玩的次數(shù)最多，則每人需要與其他組的3個人各玩一次，則12個人共玩次數(shù)：123=36（次），每次4人玩，最多玩364=9（次） 編號 次數(shù)123456789

5、1011121123421567318910425811526912637812736101184591194710127. 如果23能表示成k個連續(xù)正整數(shù)的和,則k的最大值為 。答案108解析設(shè)k個連續(xù)正整數(shù)的首項為n，則末項為nk1k個連續(xù)正整數(shù)的和：（n+n+k+1)k2=238； （2n+k+1)k=2238k最大可以取2238108，此時n68符合。所以k最大為108.8. 兩把小尺與一把大尺組成套尺,小尺可以沿著大尺滑動。大尺上每一個單位都標(biāo)有自然數(shù), 第一把小尺將大尺上的11個單位等分為10, 第二把小尺將大尺上9個單位等分為10, 兩把小尺的起點(diǎn)都為0, 都分別記為1 至10。

6、現(xiàn)測量A,B 兩點(diǎn)間距離, A 點(diǎn)在大尺的0 單位處,B 點(diǎn)介于大尺的18與19單位之間；將第一把小尺的0單位處于B點(diǎn)時, 其單位3恰好與大尺上某一單位相合. 如果將第二把小尺的0單位處置于B點(diǎn), 那么第二把小尺的第 個單位恰好與大尺上某一單位相合。答案7解析設(shè)第二把小尺的第x個單位恰好與大尺上某一單位相合第一把小尺每個單位占大尺每個單位的： ；第二把小尺每個單位占大尺每個單位的： ；依題意， x- 3的結(jié)果為整數(shù)，當(dāng)x=7時， x- 3=3，符合。第二把小尺的第7個單位恰好與大尺上的某一單位相合。二、解答下列各題（每題10 分, 共40 分, 要求寫出簡要過程） 9.復(fù)活賽上,甲乙二人根據(jù)投

7、票結(jié)果決出最后一個參加決賽的名額。投票人數(shù)固定,每票必須投給甲乙二人之一。最后,乙的得票數(shù)為甲的得票數(shù)的,甲勝出。但是,若乙得票數(shù)至少增加4票,則可勝甲。請計算甲乙所得的票數(shù)。答案甲、乙得票分別為126，120或147，140.解析設(shè)甲、乙得票數(shù)分別為a, b.根據(jù)題意： b= a，b+4a-4，b+3 a-3如果a是奇數(shù)，則b是偶數(shù)，即使乙的得票數(shù)增加了若干票，甲減少了相應(yīng)的票數(shù)，甲乙的得票數(shù)奇偶性不變。這時乙要勝甲，只要比甲多得一票即可，也就是比甲減少4票后所得票數(shù)多一票，即等于甲減去3票所得之差，故，此時甲、乙二人得票數(shù)的差是3+4=7（票），甲得票數(shù)是7（1- ）147（票），乙得票數(shù)

8、是147-7=140（票）。 如果a是偶數(shù)，則b是偶數(shù)，即使乙的得票數(shù)增加4票，甲得的票數(shù)減少4票，二人的得票數(shù)仍然都是偶數(shù)。因此，這時乙要恰好勝甲，只需要比甲多得2票即可，而此時甲、乙得票數(shù)相差是2+4=6（票），甲得票數(shù)是6（1- ）126（票），乙得票數(shù)是126-6=120（票）。10.如右圖, 三角形ABC 中, AB=180 厘米, AC=204厘米, D, F是AB上的點(diǎn), E, G 是AC上的點(diǎn),連結(jié)CD, DE, EF, FG, 將三角形ABC分成面積相等的五個小三角形. 則AFAG為多少厘米?答案172.5解析在ABC中，SADC=4SDBC,所以AD=4BD=4（1805）

9、=144（厘米）在ADC中，SADE=3SEDC,所以AE=3EC=3(2044)=153（厘米）在ADE中，SAFE=2SEFD,所以AF=2DF=2(1443)=96（厘米）在AFE中，SAFG=SGFE,所以AG=GE=1532=76.5（厘米）因此，AF+AG=96+76.5=172.5（厘米）11. 某水池有甲、乙兩個進(jìn)水閥. 只打開甲注水, 10小時可將空水池注滿；只打開乙,15小時可將空水池注滿。現(xiàn)要求7 個小時將空水池注滿, 可以只打開甲注水若干小時, 接著只打開乙注水若干小時, 最后同時打開甲乙注水。那么同時打開甲乙的時間是多少小時?答案5解析設(shè)單獨(dú)開甲進(jìn)水閥x小時，單獨(dú)開乙

10、進(jìn)水閥y小時，同時打開甲、乙進(jìn)水閥z小時。由題設(shè)， x+y+z=7(1) x+ y+（ + ） z =1(2) 由（2）15得1.5x+y+2.5z=15(3) 由（3）-（1）得0.5x+1.5z=8 z=此式有整數(shù)解：x1，z5；x4，z4;x7，z3;x10，z2;x13，z1.但只有一組解x1，z5符合要求，此時y1，即甲進(jìn)水閥開1小時，乙進(jìn)水閥開1小時，甲、乙兩進(jìn)水閥同時開5小時，注滿水。12. 將一個五邊形沿一條直線剪成兩個多邊形,再將其中一個多邊形沿一條直線剪成兩部分,得到了三個多邊形,然后將其中一個多邊形沿一條直線剪成兩部分, 如此下去。在得到的多邊形中要有20 個五邊形, 則

11、最少剪多少次?答案38解析一個多邊形被分成兩部分，其內(nèi)角和至多增加3600，剪k次共增加的度數(shù)至多為(k 3600），所以這（k-1）個多邊形的度數(shù)和至多是k 3600 +5400。另一方面，20個五邊形的度數(shù)和為205400，剩余的（k-19）個多邊形的度數(shù)和最小是（k19）1800，這樣得到：（k19）1800+205400 k 3600 +5400整理得K38.。當(dāng)k=38時，可以先將一個五邊形切成一個五邊形和一個四邊形，然后用18次將四邊形分成19個四邊形，再用19次將每個四邊形切成五邊形，這樣就用38次將其切成20個五邊形。三、解答下列各題（每小題 15 分，共30 分，要求寫出詳細(xì)

12、過程）13. 如右圖, 有一張由四個11的小方格組成的凸字形紙片和一張56的方格紙。現(xiàn)將凸字形紙片粘到方格紙上, 要求凸字形紙片的每個小方格都要與方格紙的某個小方格重合,那么可以粘出多少種不同的圖形? (兩圖形經(jīng)旋轉(zhuǎn)后相同看作相同圖形)答案31解析把凸字形上面那個小方格稱為它的頭。粘出的圖形可以分為兩類：凸字形的頭在方格紙邊框上為一類，凸字形的頭在方格紙的內(nèi)部為第二類。對于第一類，凸字形的頭不能黏在方格紙的四個角，邊框上（不是角）的小方格共有23+24=14（個），即有14個圖形。對于第二類，方格紙內(nèi)部的每一個小格都可以粘凸字形的頭，有頭朝上、頭朝下、頭朝左、頭朝右之分。所以，這類圖形有4（34）=48（個）。由加法原理知，共有14+48=62種圖形。由于方格紙的每個小格都與另外一個小方格旋轉(zhuǎn)對稱，所以，總的不同的圖形為622=31（個）。14. 設(shè)n 是正整數(shù)。若從任意n個非負(fù)整數(shù)中一定能找到四個不同的數(shù) a, b,c,d 使得abcd 能被 20 整除,則n的最小值是多少?答案9解析存在8個數(shù)：0,1,2,4,7,12,20,40它們中的任何四個數(shù)都不滿足條件，所以，n的最小值大于或等于9.另一方面，對于任意9個非負(fù)整數(shù)，從中任取7個，它們的兩兩之和共有21個，這21個和數(shù)除以20的余數(shù)有21個。因為余數(shù)最多有20個不同的值，所以有下述兩種情況之一發(fā)生：（1）有4個不同的數(shù)