靜電場之均勻帶電圓環(huán),圓盤和圓圈在軸線上的電場

1、,(1)一個半徑為a的均勻帶電圓環(huán)，帶電量為Q(Q 0)，求圓環(huán)軸上的電勢和電場強度，電勢和電場強度隨軸坐標的變化規(guī)律是什么？(2)一個半徑為a的均勻帶電圓盤，帶電量為Q(Q 0)，求圓盤軸上的電勢和電場強度，電勢和電場強度隨軸坐標變化的規(guī)律是什么？(3)一個外半徑為a、內(nèi)半徑為b的均勻帶電圓圈，帶電量為Q(Q 0)，求圓圈軸上的電勢和電場強度。對于不同寬度的圓盤，電勢和電場強度如何隨距離變化？,解析(1)設 0，圓環(huán)上所帶電量為Q = 2a。,如圖所示，圓環(huán)上所有電荷到場點P的距離都是,在P點產(chǎn)生的電勢為,電勢在原點處最高，并隨著距離的增加而減小。,P點的場強為,范例9.5 均勻帶電圓環(huán)，圓

2、盤和圓圈在軸線上的電場,在z = 0處電場強度E = 0；在z處E0，因此E在z從0到之間有極值。,令,可得,極值為,如果z a，電勢和場強分別為,這是點電荷的電勢和場強公式，其中z/| z|表示符號。,范例9.5 均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場,當z 0時，E 0，場強的方向與z軸正向相同；當z 0時，E 0，場強的方向與z軸正向相反。,電勢曲線在中間下凹，在兩邊上凹，兩部分的接合點是拐點，兩個拐點對應電場強度的極值。,圓環(huán)電荷在中心產(chǎn)生的電勢最大，當距離比較遠時，其電勢接近點電荷的電勢。,圓環(huán)電荷在中心處的場強為零。,當距離比較大時，其場強與點電荷的場強接近。,場強隨距離先增加再減

3、小，當距離z = 0.7a時，場強最大。,范例9.5 均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場,(2)一個半徑為a的均勻帶電圓盤，帶電量為Q(Q 0)，求圓盤軸上的電勢和電場強度，電勢和電場強度隨軸坐標變化的規(guī)律是什么？,解析(1)設Q 0，當電荷均勻分布圓盤上時，電荷的面密度為 = Q/a2，,如圖所示，在圓盤上取一半徑為R，寬度為dR的圓環(huán)，其面積為dS = 2RdR，,所帶的電量為dq = dS，,環(huán)電荷在場點P產(chǎn)生的電勢為,全部電荷在場點P產(chǎn)生的電勢為,a,z,O,Q,(2)一個半徑為a的均勻帶電圓盤，帶電量為Q(Q 0)，求圓盤軸上的電勢和電場強度，電勢和電場強度隨軸坐標變化的規(guī)律是什

4、么？, = Q/a2，,電勢,當z = 0時電勢最高U = 2kQ/a。,當|z| a時，電勢為,這是點電荷的電勢。,a,z,O,Q,范例9.5 均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場,圓盤兩邊場強的方向不同。,如果z 0，軸線上的場強為,當z+0時，E2kQ/a2 = /20，這是無限大均勻帶電平面在正面產(chǎn)生的場強。,當z a時，可得,這是點電荷的場強。,如果z 0，軸線上的場強為,當z-0時，E-2kQ/a2 = -/20，這是無限大均勻帶電平面在另一面產(chǎn)生的場強。,圓盤兩邊的場強不連續(xù)。,軸上的場強可統(tǒng)一表示為,范例9.5 均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場,圓盤電荷在中心產(chǎn)生的電勢

5、最大，該點左右兩邊的電勢雖然連續(xù)，但是導數(shù)不連續(xù)，因而圓盤兩邊的場強不連續(xù)。,兩邊的電勢曲線都是向上凹的，沒有拐點。,當|z| 3a時，圓盤電荷的電勢接近于點電荷的電勢。,圓盤電荷在中心附近產(chǎn)生的場強最大，該場強表示“無限大”帶電平面的場強；圓盤兩邊的場強方向不同，因而不連續(xù)。,當距離增加時，場強持續(xù)減??；當|z| 3a時，圓盤電荷的場強接近于點電荷的場強。,(3)一個外半徑為a、內(nèi)半徑為b的均勻帶電圓圈，帶電量為Q(Q 0)，求圓圈軸上的電勢和電場強度。對于不同寬度的圓盤，電勢和電場強度如何隨距離變化？,解析(2)當電荷均勻分布在外半徑為a、內(nèi)半徑為b的圓圈上時，如圖所示，圓圈的面積為S =

6、 (a2 - b2)，,電荷的面密度為 = Q/S，,在圓圈上取一半徑為R，寬度為dR的圓環(huán)，在場點P產(chǎn)生的電勢為,場點P的電勢為,在z = 0處的電勢為,如果b = a，可得帶電圓環(huán)中心的電勢U = kQ/a；如果b = 0，則得帶電圓盤中心的電勢U = 2kQ/a。,范例9.5 均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場,(3)一個外半徑為a、內(nèi)半徑為b的均勻帶電圓圈，帶電量為Q(Q 0)，求圓圈軸上的電勢和電場強度。對于不同寬度的圓盤，電勢和電場強度如何隨距離變化？,根據(jù)公式E = -dU/dz可得圓圈軸線上的場強,如果b a，當z = 0時，圓圈中心的場強E = 0；,令,解得極值坐標,極

7、值場強為,當z時，E0，因此場強E在z從0到之間有極值。,范例9.5 均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場,討論,當b0時，圓圈演變成圓盤，軸上的電勢為,當ba時，圓圈演變成圓環(huán)，軸上電勢為,軸上場強,軸上場強,范例9.5 均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場,討論,根據(jù)羅必塔法則，圓環(huán)場強的極值坐標為,如果z a，根據(jù)二項式定理，可得,這是點電荷的電勢和場強。,圓環(huán)場強的極值為,范例9.5 均勻帶電圓環(huán)，圓盤和圓圈在軸線上的電場,均勻帶電圓環(huán)到均勻帶電圓盤的電勢的演變過程。,在中心點，圓環(huán)電荷產(chǎn)生的電勢最小，導數(shù)為零；,當距離比較大時，所有電荷的電勢都與點電荷產(chǎn)生的電勢相近。,隨著圓圈寬度的增加，中心點的電勢也增加，極大值變“尖”了，但導數(shù)仍然為零，這是因為電荷離軸線變近的緣故；,當圓圈變成圓盤時，電荷產(chǎn)生的電勢最大，形成“尖”形，導數(shù)不但不為零，并且左右導數(shù)不相等。,均勻帶電圓環(huán)到均勻帶電圓盤的電場強度的演變過程。,當距離比較