第十一章11-習(xí)題課

1、第十一章習(xí)題課主要內(nèi)容典型例題一、主要內(nèi)容u 為常數(shù)u 為函數(shù) u ( x)unn=1nnn取 x = x0R( x) 0在收斂條件下級數(shù)與數(shù)相互轉(zhuǎn)化x = x0數(shù)函數(shù)和函數(shù)泰勒級數(shù)泰勒展開式冪級數(shù)收斂半徑 R任意項級數(shù)交錯級數(shù)正項級數(shù)函數(shù)項級數(shù)常數(shù)項級數(shù)1、常數(shù)項級數(shù) unn=1= u1 + u2 + u3 + L + un + L定義nsn= u1 + u2 + L + un= ui級數(shù)的部分和i=1級數(shù)的收斂與發(fā)散 常數(shù)項級數(shù)收斂(發(fā)散) lim sn 存在(不存在).n收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)1:級數(shù)的每一項同乘一個不為零的常數(shù),斂散性不變.性質(zhì)2:在級數(shù)前面加上有限項不影響級數(shù)的斂散性

2、.性質(zhì)3:收斂級數(shù)加括弧后所成的級數(shù)仍然收斂于原來的和.lim un= 0.級數(shù)收斂的必要條件:n常數(shù)項級數(shù)審斂法正 項 級 數(shù)任意項級數(shù)1. 若 Sn S ,則級數(shù)收斂;2. 當 n , un 0, 則級數(shù)發(fā)散;3. 按基本性質(zhì);4. 充要條件5. 比較法6. 比值法7. 根值法4. 絕對收斂5. 交錯級數(shù)(萊布尼茨定理)2、正項級數(shù)及其審斂法 un ,un 0定義n=1正項級數(shù)收斂 部分和所成的數(shù)列 sn有界.審斂法(1)比較審斂法若un 收斂(發(fā)散)且vnn=1 un (un vn ),則vn 收斂(發(fā)散).n=1(2)比較審斂法的極限形式un設(shè) un 與vn 都是正項級數(shù),如果lim=

3、 l ,n vnn=1n=1則(1)當0 l +時,二級數(shù)有相同的斂散性;(2)當l = 0時，若vn 收斂,則 un 收斂;n=1n=1若vn 發(fā)散,則 un 發(fā)散;當l = +時,(3)n=1n=1(3) 比值審斂法(達朗貝爾DAlembert 判別法)un+1設(shè) un 是正項級數(shù),如果lim= r (r數(shù)或+ )unnn=1則r 1時級數(shù)發(fā)散;r = 1時失效.(4)根值審斂法(柯西判別法)設(shè) un 是正項級數(shù),n=1 如果lim nun= r( r為數(shù)或+ ),n則r 1時級數(shù)發(fā)散;r = 1時失效.3、交錯級數(shù)及其審斂法定義正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù).(-1)n-1(-1)unu

4、 或(其中u 0)nnnn=1n=1萊布尼茨定理 如果交錯級數(shù)滿足條件: un+1(n = 1,2,3,L);( )lim un= 0, 則( )unn級數(shù)收斂, 且其和 s u1 , 其余項 rn 的絕對值 un+1.rn4、任意項級數(shù)及其審斂法正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù).定義若 un收斂,則 un 收斂.n=1定理n=1收斂, 則稱 un 為絕對收斂;n=0定義:若 unn=1若 unn=1發(fā)散,而 un 收斂, 則稱 un 為條件收斂.n=1n=15、函數(shù)項級數(shù)(1)定義設(shè)u1 ( x), u2 ( x),L, un ( x),L 是定義在I R 上的函數(shù),則=u1 ( x)

5、 + u2 ( x) + L + un ( x) + Ln=1稱為定義在區(qū)間I 上的(函數(shù)項)無窮級數(shù).(2)收斂點與收斂域如果x0 I ,數(shù)項級數(shù) un ( x0 )收斂,n=1則稱x0為級數(shù) un ( x)的收斂點,否則稱為發(fā)散點.n=1函數(shù)項級數(shù) un ( x)的所有收斂點的全體稱為收斂域,n=1所有發(fā)散點的全體稱為發(fā)散域.(3)和函數(shù)在收斂域上,函數(shù)項級數(shù)的和是x的函數(shù)s( x),稱s( x)為函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù).6、冪級數(shù)(1)定義形如a( x - x)n的級數(shù)稱為冪級數(shù).n0n=0當x= 0時,0其中an 為冪級數(shù)系數(shù).axnnn=0(2)收斂性定理 1(Abel 定理)如果級數(shù)

6、axn 在x = x 0)處收斂,則( xn00n=0它在滿足不等式 xx0的一切x 處發(fā)散.推論如果冪級數(shù) axn 不是僅在x = 0 一點收斂,也nn=0不是在整個數(shù)軸上都收斂,則必有一個完全確定的正數(shù)R 存在,它具有下列性質(zhì):當 x R時,冪級數(shù)發(fā)散;當x = R與x = - R時,冪級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.定義: 正數(shù)R稱為冪級數(shù)的收斂半徑.冪級數(shù)的收斂域稱為冪級數(shù)的收斂區(qū)間.如果冪級數(shù) axn 的所有系數(shù)a 0 ,定理 2nnn=0 alim n+1= r= r)( 或 lim nan設(shè)annn則當r 0時, R = 1 ;當r = 0時,R = + ;(1)(2)r當r = +時,

7、R = 0 .(3)(3)冪級數(shù)的運算a.代數(shù)運算性質(zhì):設(shè)anbxn的收斂半徑各為R 和Rx和,nn12n=0n=0R = minR1 , R2 加減法x (- R, R)n=0n=0bxn= cxnxn .annnn=0= an bn )(其中 cnb.和函數(shù)的分析運算性質(zhì):冪級數(shù)axn 的和函數(shù)s( x)在收斂區(qū)間nn=0(- R, R)內(nèi)連續(xù),在端點收斂,則在端點單側(cè)連續(xù).冪級數(shù)axn 的和函數(shù)s( x)在收斂區(qū)間nn=0(- R, R)內(nèi)可積,且對x (- R, R)可逐項積分.冪級數(shù)axn 的和函數(shù)s( x)在收斂區(qū)間nn=0(- R, R)內(nèi)可導(dǎo),并可逐項求導(dǎo)任意次.7、冪級數(shù)展開

8、式(1)定義如果 f ( x)在點x0 處任意階可導(dǎo),則冪級數(shù)( n) ( xf)( x - xn 0n!稱為 f ( x)在點x0 的泰勒級數(shù).)0n=0( n) (0)fn=0nx稱為 f ( x)在點x0 的麥克勞林級數(shù).n!(2)充要條件f ( x)在點x0 的泰勒級數(shù),在Ud ( x0 )內(nèi)收定理斂于 f ( x) 在Ud ( x0 )內(nèi)lim Rn ( x) = 0.n(3)唯一性如果函數(shù) f ( x) 在Ud ( x0 ) 內(nèi)能展開成( x - x0 )定理即f ( x) = a( x - x)n,的冪級數(shù),n0n=01則其系數(shù) a=(n = 0,1,2,L)( n) ( xf)

9、n0n!且展開式是唯一的.(3)展開方法( n) ( xf)f ( x) = 0 ( x - x0 )na.直接法(泰勒級數(shù)法)n!n=0( n) ( xf)求an= 0n!b.間接法根據(jù)唯一性, 利用常見展開式,通過變量代換, 四則運算, 恒等變形, 逐項求導(dǎo), 逐項積分等方法,求展開式.(4)常見函數(shù)展開式= 1 + x + 1 x2 + L +1xn + Lx (-,+)e x2!n!x2 n+111sin x = x -+x5 -L + (-1)n + Lx3(2n + 1)!x (-,+)3!5!11x2 ncos x = 1 -+- L + (-1)n + Lx2x42!4!(2n

10、)!x (-,+)xn1213n-1ln(1 + x)= x -+x- L + (-1)+ L23xnx (-1,1(1 + x)a= 1 + ax + a (a - 1) x2+ L + a (a - 1)L(a - n + 1) xn+ L2!n!x (-1,1)二、典型例題例1判斷級數(shù)斂散性:n+ 1nn(1);1n(n +)nn=111 nnnnnnun =,解1n 1n2(n +(1 +)n)n111n2Qlim(1 += lim(1 += e0= 1;)n)nn2n2nn111x1xlim nn = lim x x= explimln xnxx= explim = e= 1;0xl

11、imun = 1 0,n根據(jù)級數(shù)收斂的必要條件，原級數(shù)發(fā)散np3 ;ncos2n=1(2)n2npncos2nn ,= 3 v=u,令解n2n2nn2nn + 1n + 1v2n12= lim= lim= 0).(3)1n(a +n=1)nln(n + 2)1a nlimun= lim=limln(n + 2),解nna + 1n+n+n+n從而有n 2 時, n + 2 en ,Q1 ln(n + 2) 1即0 1 1時,原級數(shù)收斂；a當0 a 1 時,原級數(shù)發(fā)散；aln(n + 2)原級數(shù)為當 a = 1 時,1n(1 +)nn=1ln(n + 2)= +,lim原級數(shù)也發(fā)散Q(1 + 1

12、 )nn+n(-1)n例判斷級數(shù)是否收斂？如果收斂n - ln nn=1是條件收斂還是絕對收斂？11n1n而,解Q發(fā)散,n - ln nn=1(-1)n= 1發(fā)散,n - ln nn - ln nn=1n=1即原級數(shù)非絕對收斂(-1)n,由萊布尼茨定理：是交錯級數(shù)n - ln nn=1lim ln n = lim ln x= lim 1 = 0,Qnxxn+x+x+11n= lim= 0,limn+ln n1 -n+ n - ln nn( x 0),f ( x) = x - ln xQf ( x) = 1 - 1 0( x 1),x1在(1,+) 上單增,單減,即x - ln x1當 n 1

13、時單減,故n - ln n11u= u(n 1),n - ln n(n + 1) - ln(n + 1)n+1n所以此交錯級數(shù)收斂， 故原級數(shù)是條件收斂求級數(shù)(n + 1)( x - 1)n 收斂域及和函數(shù).例n=0Q(n + 1)( x - 1)n 的收斂半徑為 R = 1,解n=0收斂域為- 1 x - 1 1,即0 x 2,設(shè)此級數(shù)的和函數(shù)為 s( x), 則有s( x) = (n + 1)( x - 1)n .n=0兩邊逐項積分s( x)dx = (n + 1)( x - 1)n dxxx11n=0= ( x - 1)n+1= ( x - 1)n+1x1n=0n=0= x - 1= x

14、 - 1 ,1 - ( x - 1)兩邊再對 x 求導(dǎo)，得2 - xs( x) = ( x - 1)= 1.2 - x(2 - x)2將 f ( x) = x arctan x - ln1 + x2 展開成麥例4克勞林級數(shù).x2x3Qln(1 + x) = x -+- L,解23x4x6x2 nln(1 + x2 ) = x2 -+- L + (-1)n-1 + L,23n(-1 x 1)1xarctan x =dx又1 + x20x=1 - x+ x4 - x6 + L + (-1)n+ Ldx2x2 n0x2 n+1x3x5x7= x -+-+ L+ (-1)+ Ln2n + 1357(-

15、1 x 1)x arctan x - ln1 + x2故x2 n+212x2 n= (-1)n(-1)n-1 - nx2 n+22n + 1x2 n+2n=0n=1= - 1 (-1)n(-1)n2n + 12n + 22n=0n=0x2 n+2= (-1)n(-1 x 1) .(2n + 1)(2n + 2)n=0(-1)n-1x2 n-1將級數(shù) 的和函數(shù)展開(2n - 1)!例52n-1n=1成( x - 1) 的冪級數(shù)x2 n-1分析Q (-1)n-1 是sin x 的展開式解(2n - 1)!n=1設(shè)法用已知展開式來解(-1)n-1(-1)n-1x2 n-1 x2=)2 n-1(2n

16、- 1)!(2n - 1)!2n-12n=1n=12 sin x - 1 + 12 sin x =222 sin 1 cos x - 1 +2 cos 1 sin x - 1=2222(-1)n-1x - 1()2 n2 sin 1 =2(2n)!2n=0(-1)nx - 11+)2 n+12 cos(2n + 1)!22n=0(-1)n2 sin 1 =( x - 1)2 n (2n)!22nn=0(-1)n1+ cos( x - 1)2 n+1(-,+)2n (2n + 1)!2n=0測驗題一、選 擇題:1、下列級數(shù)中,收斂的是( ).1n1 (A)； (B)；nnn=1n=11 (C)n

17、=1； (D)(-1).n32nn=12、下列級數(shù)中,收斂的是( ).54n-1n-1()() (A) ； (B)；45n=1n=1554 (C)(-1)n=1n-1n-1(+)n-1() 4； (D).45n=13、下列級數(shù)中,收斂的是( )(n!)23n n! (A)； (B)；2n2nnn=1n=1p 1 n + 1.sin； (D) (C) n=2 p2n(n + 2)nn=14、部分和數(shù)列 sn有界是正項級數(shù) un 收斂的n=1 ( ) (A)充分條件； (B)必要條件； (C)充要條件； (D)既非充分又非必要條件 . a r na5、設(shè) 為非零常數(shù),則當( )時,級數(shù)收斂 .n=

18、1 (A)r 1 . (C) ra ； (D) r( x - 1)n6、冪級數(shù)(-1)n=1n-1的收斂區(qū)間是( ).n (A) (0,2) ； (B) 0,2)； (C) (0,2； (D) 0,2.: 0 R + ;axn 的收斂半徑為R7、若冪級n11n=0 b:0 R2 0n8、當是 ( )n2n=1 (A)條件收斂； (B)絕對收斂； (C)發(fā)散； (D)斂散性與 k 值無關(guān).9、lim un = 0 是級數(shù) un 收斂的( )nn=1 (A)充分條件； (B)必要條件； (C)充要條件； (D)既非充分又非必要條件 .10、冪級數(shù) n(n + 1) xn 的收斂區(qū)間是( )n=1 (A) (-1 , 1)； (B) (-1 , 1； (C) -1 , 1)； (D) -1 , 1.二、判 別下列級數(shù)的收斂性:npn cos2 1、n=1(n!)2； 2 、 n=1 3.2n2n2n + 1三、判別級數(shù)(-1)lnn的斂散性 .nn=11 L (2n ) 3n .111 827四、求極限 lim23 49n五、求 下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間:+ 5n3nnxn ； 2 、 1、2nx.2nnn=1n=1xn六、求 冪級