第2節(jié)誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系

1、2021新亮劍高考總復習三角函數(shù)與解三角形第四章第2節(jié)誘導公式、同角三角函數(shù)的基本關系1磨劍課前自學目錄CONTENTS2悟劍課堂精講3目 錄 磨劍課前自學高考動態(tài)知識查缺補漏磨劍課前自學悟劍課堂精講4目 錄 最新考綱考向分析1. 理解同角三角函數(shù)的基本關系式:sin2x+cos2x=1,sin =tan x.cos 2. 能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導出, 的正弦、余弦、正切2的誘導公式利用同角三角函數(shù)的基本關系和誘導公式進行化簡求值以及恒等變換;解決三角形內(nèi)的相關問題高考動態(tài)知識查缺補漏目 錄一、誘導公式 5組數(shù)一二三四五六角2k+(kZ)+-2+2正弦sin -sin -sin sin

2、cos cos 余弦cos -cos cos -cos sin -sin 正切tan tan -tan -tan 口訣函數(shù)名不變, 符號看象限函數(shù)名改變, 符號看象限高考動態(tài)知識查缺補漏目 錄二、同角三角函數(shù)的基本關系1.平方關系:sin2+cos2=1.2.商數(shù)關系:sin =tan + , .cos 23.同角三角函數(shù)基本關系式的常用變形(1)(sin cos )2=12sin cos ; (2)sin =tan cos .6高考動態(tài)知識查缺補漏目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識【概念判斷下列結論的正誤(1)120角的正弦值是1,余弦值是-22(2) 同角三角函數(shù)關系式中的角 是任意角.(3) 六

3、組誘導公式中的角 可以是任意角.(4) 誘導公式的口訣“奇變偶不變,符號看象限”中的“符號”與 的大小無關答案解析7目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識解析(1)錯誤.sin 120=sin(180-60) =sin 60= 3,2cos 120=cos(180-60) =-cos 60=-1.2(2)錯誤.在 tan =sin 中,k+,kZ.cos 2(3)錯誤.對于正弦、余弦的誘導公式角 可以為任意角,而對于正切的誘導公式 k+,kZ.2(4)正確.誘導公式的“符號看象限”中的符號是把任意角 都看成銳角時原函數(shù)值的符號,因而與 的大小無關.8目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識【基礎自測】1.(2020 屆

4、黑龍江哈爾濱市月考)若 sin(+)=3,則cos + =().A42A.3B.-3C. 7D.- 74444sin(+)=-sin =3,cos +2=-sin =3.解析 44答案解析9目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識2.(2020 屆江西奉新模擬)cos - 55 =().D6A.1B. 3C.-1D.- 32222解析cos 6答案解析10目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識1 3- =1,則 cos 3.(2020 屆湖南婁底質檢)已知 sin= 2.+ 26 - + + =,解析 3621cos + =cos - - =sin - =.62332答案解析11目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識 , ,sin

5、 = 3,則tan =(4.(2020 屆閩粵贛十校聯(lián)考)若 C).23B.- 3C.- 2A.- 2D. 222362解析, ,且sin =,cos =-,則tan =-.2332答案解析12目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識【易錯檢測】- 245.已知 sin +cos =, 0,則sin -cos 的值為 3. 34解析又 (sin -cos )2=1-2sin cos =9sin -cos =- 2.3答案解析13目 錄查缺補漏高考動態(tài)知識4 36.設sin=4,且 是第二象限角,則 tan 的值為.252因為 是第二象限角,所以是第一或第三象限角.當是第一象限角解析22sin 224344時

6、,cos = ,所以 tan;當是第三象限角時,與 sin= 矛= 1-sin2 = 1- = 2 =cos 255232252盾,舍去.綜上,tan=4.23答案解析1415目 錄悟劍課堂精講考點探究素養(yǎng)達成高考真題磨劍課前自學悟劍課堂精講目 錄考點 1誘導公式及其應用 tan (+)cos (2+)sin -3 例 1(1)(2020 屆太原質檢)化簡: 2= -1.cos (-3)sin (-3-)(2)已知 cos(75+)=1,則sin(-15) +cos(105-)的值是().D3A.1B.2C.-1D.-23333答案解析16考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄tan cos sin

7、-2+ +tan cos sin+ 22解析(1)原式=cos (3+)-sin (3+)(-cos )sin =tan cos cos =-tan cos =-sin cos =-1.(-cos )sin sin cos sin (2)因為 cos(75+)=1,3所 以 sin(-15) +cos(105-)=sin(+75) -90 +cos180-(+75)=-cos(75+)-cos(75+)=-2.317考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結：1.誘導公式用法的一般思路:(1)化負為正,化大為小,化到銳角為止.(2)角中含有加減的整數(shù)倍時,用公式去掉的整數(shù)倍.222.常見的互余和互

8、補的角:(1)常見的互余的角:- 與+;+ 與-;+ 與- 等.(2)常363644見的互補的角:+ 與2-;+ 與3- 等.33443.三角函數(shù)式化簡的方向:(1)切化弦,統(tǒng)一名.(2)用誘導公式,統(tǒng)一角.(3)用因式分解將式子變形,化為最簡. 18考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練 1】13cos 2 + sin- 251.已知 f()=, 則 f -的值為 .22 cos (-)tan (-)33cos 2 + sin- -sin (-cos )解析因為 f()=2=(-cos ) -sin =cos ,cos (-)tan (-)cos 所 以 f - 25 =cos - 25

9、=cos -8- =cos=1.33332答案解析19考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄112.若sin- =,則cos = 3.+ 434解析因 為 sin - =1,4+ =cos3 4 2 4 4- =1.所以 cos-=sin3答案解析20考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點2同角三角函數(shù)的基本關系考向 1:“知一求二”問題例 2(1)(2020 屆湖北調(diào)研)已知 0, ,tan = 2, 則 sin =(B).2A. B. C. D. 33632232). , , 則 sin(+)=(A(2)已知 cos =k,kR, 2A.- 1-2B. 1-2C. 1-2D.-k解析答案21考點探究素

10、養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)已知 0, ,tan = 2,由sin = 2,得sin = 2cos .2cos sin2+cos2=1,sin 0,cos 0,cos = 3,sin = 6.33(2)由cos =k, , ,得sin = 1-2,所以 sin(+)=-sin =- 1-2.222考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 2:弦切互化例 2 (1)(2020 屆河南平頂山模擬)已知sin +3cos =5,則 cos2+1sin 2 的值是().A3cos -sin D.32A.3B.-3C.-355(2)(2020 屆貴州七校聯(lián)考)已知 sin +cos = 2,則 tan +c

11、os 的值為().Dsin C.1A.-1B.-2D.22解析答案23考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)由sin +3cos =5,得tan +3=5,解得 tan =2,3cos -sin 3-tan 2則 cos2+1sin 2=cos2+sin cos =co s+sin cos = 1+tan =3.cos2 +sin2 1+ta n2 52(2)sin +cos = 2,(sin +cos )2=2,sin cos =1,2tan +cos =sin +cos =1=2.sin cos sin sin cos 24考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考向 3:sin cos 與 si

12、n cos 關系的應用例 3已知 為第二象限角,sin ,cos 是關于 x 的方程 2x2+( 3-1)x+m=0(mR)的兩根,則 sin -cos =().BA.1- 3B.1+ 3C. 3D.- 322解析答案25考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析因為 sin ,cos 是方程 2x2+( 3-1)x+m=0(mR)的兩根,所以 sin +cos =1- 3,sin cos = ,22可得(sin +cos )2=1+2sin cos =1+m=2- 3,解得 m=- 3.22因為 為第二象限角,所以 sin 0,cos 0.因為(sin -cos )2=1-2sin cos =1-m

13、=1+ 3,所以 sin -cos = 1 + 3=1+ 3.22226考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結：1.利用 sin2+cos2=1 可實現(xiàn) 的正弦、余弦的互化,利用sin =tan 可以實cos 現(xiàn)角 的弦切互化.2.對于 sin +cos ,sin -cos ,sin cos 這三個式子,知一可求二,若令 sin +cos =t,則2sin cos =-1,sin -cos = 2-2(注意根據(jù) 的范圍選取正、負號),體現(xiàn)了方程思想2的應用.注意公式逆用及變形應用:1=sin2+cos2,sin2=1-cos2,cos2=1-sin2. 27考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對

14、訓練 2】1.已知 cos(-80) =k,則 tan 100=(). 1- 2 1- 2A.B.-C.D.- 1- 2 1- 2 1- 2解析cos(-80) =cos 80=k,sin 80= 1-2,tan 80=, 1- 2tan 100=-tan 80=-.答案解析28考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄-4 33+ =4,則tan =2.(2020 屆山東棗莊調(diào)研)已知 是第二象限角,cos .253+ =4,sin =4.解析cos 255又 為第二象限角,cos =- 1-sin2=-3,5tan =sin =-4.cos 3答案解析29考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄3.(2020

15、屆梅州模擬)已知 為銳角,且 tan(-)+3=0,則 sin 等于(B ).A.1B.3 10C.3 7D.3 531075解析因為 tan(-)+3=0,所 以 tan =3,sin =3cos .因為 sin2+cos2=1,所以 sin2= 9 .10又 為銳角,故 sin =3 10.10答案解析30考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄4.已知 sin cos =1,且53,則cos -sin 的值為().B 842A.- 3B. 3C.-3D.3224453,cos 0,sin sin ,cos -sin 0.解析42又 (cos -sin )2=1-2sin cos =1-21=3,8

16、4cos -sin = 3.2答案解析31考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄考點3例 5誘導公式和同角三角函數(shù)基本關系式的綜合應用(1)(2020 屆聊城模擬)已知 為銳角,且 2tan(-)-3cos + +5=0,2tan(+)+6sin(+)-1=0,則 sin 的值是(C).A.3 5B.3 7C.3 10D.15(2)已知7 是第三象限角103)cos (- (5 -)tan (2 -)sin 且 f()=,.cos- tan (-)2化簡 f();若 tan(-)=-2,求 f()的值;若 =-420, 求 f()的值.答案解析32考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(1)由已知可得-2

17、tan +3sin +5=0,tan -6sin -1=0,解得 tan =3.又 為銳角,故 sin =3 10.10(2)由題可得,f()=sin (-cos )(-tan )=-cos .sin (-tan )因為 tan(-)=-2,所以 tan =2,所以 sin =2cos .所以(2cos )2+cos2=1,所以 cos2=1.5因為 是第三象限角,所以 cos =- 5,所以 f()= 5.55因為 cos(-420) =cos 420=cos 60=1,所以 f()=-cos(-420) =-1.2233考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄方法總結：利用同角三角函數(shù)關系式和誘導公

18、式求值或化簡時,關鍵是尋求條件、結論間的聯(lián)系,靈活使用公式進行變形. 34考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【針對訓練 3】1.(2020 屆唐山模擬)已知 sin 5+ =3,那么 tan 的值為(C).25A.-4B.-3C.4D.334345=cos =3,解析因為 sin+ =sin+ 225所以 sin =4,所以 tan =sin =4.5cos 3答案解析35考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄2.(2020 屆唐山模擬)已知角 的終邊在第三象限,tan 2=-2 2,則 sin2+sin(3-)cos(2+)- 2cos2=().DA.- 26B. 2C.-2D.2633=-2 2, 即

19、 2tan2-tan - 2=0,2tan 解析由 tan 2=-2 2 得 tan 2=1-ta n2解 得 tan = 2 或 tan =- 2.2又角 的終邊在第三象限,所以 tan = 2,故 sin2+sin(3-)cos(2+)- 2cos2=sin2+sin cos - 2cos22222=sin+sin cos - 2co s=ta n+tan - 2=( 2) + 2- 2=2.( 2)2 +1sin2 +co s2 ta n2 +13答案解析36考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄數(shù)算分類討論在三角函數(shù)式的化簡求值中的應用在數(shù)算中涉及的問題需要分幾個方面來計算時,必須進行分類討論

20、,我們要能夠確定分類的標準,做到既簡潔又不重不漏.例如本節(jié)的三角函數(shù)值在不同的象限有不同的符號.- 3 例已知 (0,),sin +cos = 3-1,則 tan 的值為.2答案解析37考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄解析(法一)由 sin +cos = 3-1,兩邊同時平方得 sin cos =- 3.2tan 4sin cos =- 3,解得 tan =- 3或 tan =- 3.由 sin cos =sin2 +co s2 1+ta n2 43(0,),sin cos 0, ,|sin |cos |,2|tan |1,tan =- 3(舍去).故 tan =- 3.3(法二)同(法一)得

21、tan =- 3或 tan =- 3,(0,).3當 tan =- 3時,=2,sin = 3,cos =-1,滿足條件;3223-1.當 tan =- 3時,=5,sin =1,cos =- 3,不滿足 sin +cos = 3故 tan =- 3.622238考點探究素養(yǎng)達成高考真題目 錄【突破訓練】1.已知 kZ,化簡:sin (-)cos (-1)-=.-1sin (+1)+cos (+)解析當 k=2n(nZ)時,sin (2-)cos (2-1)-=sin (-)cos (-)=-sin (-cos )=-1;原式=sin (2+1)+cos (2+)sin (+)cos -sin cos 當 k=2n+1