高等數(shù)學(xué)試卷：03~08高等數(shù)學(xué)期末答案

1、03級(jí)高等數(shù)學(xué)（上,非電）期終試卷參考答案一、填空題（36=18）1、e 2、 3、4、 5、 6、 二、單項(xiàng)選擇題（44=16） 1、C 2、B 3、D 4、C.三、（6 6=36）1、 2、xu 另解：原式= 3、 4、令 則 原式= 另解：原式= 5、 6、 另解：令y=ux，則原方程化為 四、（8）12設(shè) 代入方程，求得 3 由初始條件得 0xyy=x12.五、（8） 法一：法二：V= 六、（7）0x2y 七、（7） ，在0與x之間. 有介值定理，至少一點(diǎn) 因而 .04-05-2高等數(shù)學(xué)期末試卷答案一、 填空題10,一； 2 ； 3 ； 4 1； 5 。二、 單項(xiàng)選擇題1 A; 3 D

2、; 4C.三、1. 2.(略) 3. 4. 5.因此是在上的唯一的極小值點(diǎn),故是最小值點(diǎn). 五、設(shè),原不等式等價(jià)于, 即等價(jià)于，,且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立。因此單增,從而單增,原不等式得證. 六、由題設(shè)知,所給方程可變形；兩端對(duì)求導(dǎo)整理得，求二階微分方程得；由得，單減；而所以當(dāng)時(shí),對(duì) 有。七、 記,則在上可導(dǎo),且若在內(nèi)無(wú)零點(diǎn),不妨設(shè)，矛盾說(shuō)明在內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)對(duì)在上分別使用Rolle定理知存在,使得即高等數(shù)學(xué)05-06-2（A、B）期末試卷（A、B）參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 06。1。19一填空題（本題共9小題，每小題4分，滿(mǎn)分36分）1（3）；2（1）；3（4）；4（6）；5；6（8）；7（2）；8

3、（9）；9（7）非充分非必要。二計(jì)算下列各題（本題共4小題，每小題7分，滿(mǎn)分28分）1令， 2 3（4）4（3）令，三（本題滿(mǎn)分9分）設(shè)為切點(diǎn)， 令，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，是唯一的極大值點(diǎn)，因而是最大值點(diǎn)，。四（本題共2小題，滿(mǎn)分14分）1（本題滿(mǎn)分6分）（1分），2（本題滿(mǎn)分8分），解得一特解，解得一特解，由得，五（本題滿(mǎn)分7分）（1）設(shè)嚴(yán)格單增，所以方程存在唯一實(shí)根。（2），六（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)為正整數(shù)，三邊積分得，左邊關(guān)于相加得：，右邊關(guān)于相加得：，所以學(xué)號(hào) 姓名 06-07-2高數(shù)A、B期末參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿(mǎn)分36分）1； 2曲線(xiàn)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為；

4、3函數(shù)在區(qū)間內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)遞減；4設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則； 5 ；6設(shè)連續(xù)，且，已知,則；7已知在任意點(diǎn)處的增量，當(dāng)時(shí)，是的高階無(wú)窮小，已知，則；8曲線(xiàn)的斜漸近線(xiàn)方程是；9若二階線(xiàn)性常系數(shù)齊次微分方程有兩個(gè)特解，則該方程為二.計(jì)算題（本題共4小題，每小題7分，滿(mǎn)分28分）1計(jì)算不定積分 解：2計(jì)算定積分 解：3計(jì)算反常積分 解：4設(shè) ，求 解：三（本題滿(mǎn)分7分）求曲線(xiàn)自到一段弧的長(zhǎng)度。 解：四（本題共2小題，第1小題7分，第2小題9分，滿(mǎn)分16分）1求微分方程的通解。解：2求微分方程的特解，使得該特解在原點(diǎn)處與直線(xiàn)相切。解：， 由題設(shè)條件得，求得，于是五（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)，求積分的最大值。

5、解：令，得為唯一駐點(diǎn)， ，為在上的最小值，而最大值只能在端點(diǎn)取得。，所以六（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)函數(shù)在上存在二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使得 。證：，由于在上連續(xù)，在上存在最大值和最小值，故，即 ，由介值定理知至少存在一點(diǎn)，使得 07-08-2高數(shù)（AB）期末試卷A參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)08.1.15一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿(mǎn)分36分）1；2設(shè)，則；3已知，則；4對(duì)數(shù)螺線(xiàn)在對(duì)應(yīng)的點(diǎn)處的切線(xiàn)方程是；5設(shè)是由方程確定的隱函數(shù)，則的單調(diào)增加區(qū)間是，單調(diào)減少區(qū)間是；6曲線(xiàn)的拐點(diǎn)坐標(biāo)是，漸進(jìn)線(xiàn)方程是；7；8 ； 9二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的特解形式為.二.計(jì)算下列積分（本題共3小題，

6、每小題7分，滿(mǎn)分21分）10. 解 （2分） （）（1+1分）（3分）11 解 ，（2分）令，（1+3分）原式（1分）12。解 （3+3分）（1分）三（13）（本題滿(mǎn)分8分）設(shè)，.（1）問(wèn)是否為在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)？為什么？（2）求.解 （1）不是在內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，因?yàn)?，在?nèi)不連續(xù).（1+2分）（2） （2+3分）四（14）（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)，求.解 令，（2+3+2分）五（15）（本題滿(mǎn)分6分）求微分方程的通解.解 ，（1分）（2+1分）（2分）六（16）（本題滿(mǎn)分8分）設(shè)、滿(mǎn)足，且，求.解 由已知條件得，（1分），（3分）（4分）七（17）（本題滿(mǎn)分8分） 設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)所圍成的圖形面積為，它

7、們與直線(xiàn)所圍成的圖形面積為.（1）試確定的值，使達(dá)到最小，并求出最小值.（2）求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解 (1)（3分）令，得，又，則是唯一的極小值即最小值. （2分）（2）=.（3分）八（18）（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)，求證：當(dāng)時(shí)，.證 令，（1+1分）（1分）（2+1分）08-09-2高數(shù)（AB）期末A參考答案一.填空題（本題共9小題，每小題4分，滿(mǎn)分36分）1函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為；2已知，則；3曲線(xiàn)的拐點(diǎn)是；4曲線(xiàn)的斜漸近線(xiàn)的方程是；5二階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程的特解形式是；6設(shè)是常數(shù)，若對(duì)，有，則；7；8設(shè)是連續(xù)函數(shù)，且，則； 9設(shè)，則.二.按要求計(jì)算下列各

8、題（本題共5小題，每小題6分，滿(mǎn)分30分）10 解 11. 解 （）12已知的一個(gè)原函數(shù)為，求 解 13設(shè)，求常數(shù)、，使得。 解 由 得 ，由得（2分），由得，。14。解 三（15）（本題滿(mǎn)分8分）求微分方程滿(mǎn)足初始條件，的特解.解 齊次微分方程的通解為，非齊次微分方程的一個(gè)特解為于是原微分方程的通解為代入初始條件得四（16）（本題滿(mǎn)分7分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，且恒取正值，若對(duì),在上的積分(平)均值等于與的幾何平均值，試求的表達(dá)式.解 ，等式兩端對(duì)求導(dǎo)，記，令，。五（17）（本題滿(mǎn)分7分） 在平面上將連接原點(diǎn)和點(diǎn)的線(xiàn)段（即區(qū)間）作等分，分點(diǎn)記作，過(guò)作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，切點(diǎn)為，（1）設(shè)三角形的面積為

9、，求；（2）求極限.解 （1）設(shè)，切線(xiàn)方程，切線(xiàn)過(guò)，解得（2）六（18）（本題滿(mǎn)分6分）試比較與的大小，并給出證明. （注：若通過(guò)比較這兩個(gè)數(shù)的近似值確定大小關(guān)系，則不得分）解 設(shè)當(dāng)時(shí)， ，七（19）（本題滿(mǎn)分6分）設(shè)在區(qū)間上連續(xù)可導(dǎo)，求證： .解 09-10-2高數(shù)（AB）期末A卷參考答案1函數(shù)的定義域是，值域是；2設(shè)，當(dāng)時(shí)，在處連續(xù)；3曲線(xiàn)的斜漸進(jìn)線(xiàn)的方程是；4；5函數(shù)的極大值點(diǎn)是；6； 7設(shè)是由所確定的函數(shù)，則；8曲線(xiàn)族（,為任意常數(shù)）所滿(mǎn)足的微分方程是 ； 9.二.按要求計(jì)算下列各題（本題共5小題，每小題6分，滿(mǎn)分30分）10 解 。11. 解 。12 解 。13解 。14。設(shè)，計(jì)算.解 三（15）（本題滿(mǎn)分8分）求微分方程滿(mǎn)足初始條件，的特解.解 方程的通解為，根據(jù)初值條件得，于是特解為四（16）（本題滿(mǎn)分8分）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導(dǎo)，在內(nèi)恒取正值，且滿(mǎn)足，又由曲線(xiàn)與直線(xiàn)所圍成的圖形的面積為，求函數(shù)的表達(dá)式，并計(jì)算圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解 解方程，得通解，由題設(shè)得，于是，。五（17）（本題滿(mǎn)分6分） 已知方程在區(qū)間內(nèi)存在兩個(gè)互異的實(shí)根，試確定常數(shù)的取值范圍.解 設(shè)，令，得唯一駐點(diǎn)