課外補(bǔ)充習(xí)題與自測(cè)題多元實(shí)值函數(shù)的積分

1、1.設(shè)一金屬薄片占有平面上的區(qū)域,薄片上連續(xù)分布著面密度為的電荷,試用二重積分表示上電荷的總量.2.利用二重積分的幾何意義求下列積分的值:(1),(2),.3.利用二重積分的性質(zhì)估計(jì)下列積分的值:(1),(2),.4.比較下列各組二重積分值的大小:(1)與,(2)與,.5.填空:設(shè)在平面區(qū)域上連續(xù),且具有奇偶性,則有(1) 區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱,為在上半平面部分,則二重積分(2) 區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱,為在右半平面部分,則二重積分(3) 區(qū)域關(guān)于軸或軸均對(duì)稱, 為在第象限部分,則二重積分(4) 區(qū)域關(guān)于直線對(duì)稱,則二重積分.6.根據(jù)第5題“填空”的結(jié)果,說(shuō)明下列結(jié)論成立的理由:設(shè) ,(1) ,(2) ,(

2、3) .7.作出積分區(qū)域的圖形,確定積分次序,計(jì)算下列二重積分:(1) , ,(2) , ,(3) , ,(4) , ,(5) , ,(6) , ,(7) ,其中是由直線,和雙曲線所圍成,(8) ,其中是由直線和拋物線所圍成,(9) , ,(10) , .8.作出積分區(qū)域的圖形,更換積分次序,計(jì)算出結(jié)果:(1) , (2) ,(3) , (4) .9.一半徑為的半圓形薄片,其上每點(diǎn)的面密度與該點(diǎn)到圓心的距離平方成正比(比例系數(shù)為),求此半圓形薄片的質(zhì)量.10.利用極坐標(biāo)將二重積分化成二次積分,其中分別為:(1), (2),(3), (4),(5), (6).11.將下列二重積分化為極坐標(biāo)下的二

3、次積分,并計(jì)算其值:(1) ,(2) ,(3) ,(4) ,.12.利用二重積分計(jì)算下列曲面所圍成的立體的體積:(1), (2), ,(2) , (4), (含軸的部分).13.求由與所圍的均質(zhì)薄片的質(zhì)心.14.適當(dāng)?shù)剡x擇積分次序,將三重積分化成直角坐標(biāo)下的三次積分,其中為 (1) 由,所圍成, (2) 由,所圍成, (3) 由,所圍成.15.利用直角坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分:(1) ,其中是以點(diǎn)(0,0,0),(0,1,0),(0,0,1)為頂點(diǎn)的四面體,(2) ,其中是由,及拋物面柱面所圍成區(qū)域,(3) ,其中是由及,所圍成.16.利用柱面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分:(1) ,其中是由拋物面與所圍區(qū)

4、域,(2) ,其中是由圓柱面及平面,及所圍區(qū)域,(3) ,其中是由拋物面及平面所圍區(qū)域.17.利用球面坐標(biāo)計(jì)算下列三重積分:(1) ,其中為球體:,(2) ,其中為立體:,(3) ,其中為上半球面和上半錐面所圍區(qū)域,(4) ,其中為立體:, ,.18.一均質(zhì)物體由曲面,所圍成,試求:(1) 物體的質(zhì)量,(2) 物體的質(zhì)心.19.求底半徑為,高為的正圓柱體,其體密度為常量,求其關(guān)于底面直徑的慣性矩(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量).20.設(shè)由錐面與球面所圍(含軸部分)的均質(zhì)物體,求其對(duì)在錐頂點(diǎn)處的一單位質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的引力.21.計(jì)算下列第一類(對(duì)弧長(zhǎng))曲線積分:(1) ,其中為以(0,0),(1,0),(0,1)為頂點(diǎn)

5、的三角形圍線,(2) ,其中為,(3) ,其中為 ,(4) ,其中為星形線的一周,(5) 其中為連接,的折線,(6) ,其中為 圓柱螺線,對(duì)應(yīng)于從0到的一弧, 圓22.設(shè)半徑為,中心角為的均質(zhì)(線密度為常量)圓弧,求其(1) 質(zhì)心,(2) 關(guān)于對(duì)稱軸的慣性矩(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量).23.半徑為的半圓形均質(zhì)(線密度常數(shù))質(zhì)線,求其對(duì)位于圓心處的單位質(zhì)點(diǎn)的引力.24.設(shè)圓柱螺線弧,其方程為, ,它的線密度,求它關(guān)于軸的慣性矩(轉(zhuǎn)動(dòng)慣量).25.計(jì)算下列曲面在指定部分的面積:(1) 球面介于平面和之間的部分,(2) 上半錐面包含在圓柱面內(nèi)的部分,(3) 球面包含在圓柱面內(nèi)的部分.26.計(jì)算下列第一類(對(duì)面積)

6、曲面積分:(1) ,其中是球面在平面的部分,(2) ,其中是平面,所圍四面體的全表面,(3) ,其在是球面的部分,(4) ,其中是上半錐面被平面所截下的部分.27.設(shè)拋物面,其上質(zhì)量分布的面密度為,求其質(zhì)量.28.設(shè)均質(zhì)上半球面,求:(1)質(zhì)心,(2)關(guān)于軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.自測(cè)題一、單項(xiàng)選擇題1.設(shè)是平面上以坐標(biāo)(-1,-1),(-1,1)和(1,1)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,是在第一象限的部分,則( )a. b. c. 0 d. 2.設(shè),則( )成立.a. b. c. d. 3.設(shè),則化為極坐標(biāo)下的二次積分是( ).a. b. c. d. 4.設(shè),則二重積分( )a. b. c. 2 d. 二、填空題1.更換二重積分的次序:.2.設(shè)區(qū)域,則( ).3.將三重積分化為球面坐標(biāo)下的三次積分是 .4.將直角坐標(biāo)下積分化為柱面坐標(biāo)下的三次積分是