大學(xué)物理(北郵大)習(xí)題4答案

1、習(xí)題四4 1符合什么規(guī)律得運(yùn)動(dòng)才就是諧振動(dòng)?分別分析下列運(yùn)動(dòng)就是不就是諧振動(dòng):（ 1）拍皮球時(shí)球得運(yùn)動(dòng)；( ）如題 4 1圖所示 , 一小球在一個(gè)半徑很大得光滑凹球面內(nèi)滾動(dòng)( 設(shè)小球所經(jīng)過得弧線很短） .題 4-1圖解：要使一個(gè)系統(tǒng)作諧振動(dòng), 必須同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：一 , 描述系統(tǒng)得各種參量，如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、擺長(zhǎng)等等在運(yùn)動(dòng)中保持為常量；二, 系統(tǒng)就是在自己得穩(wěn)定平衡位置附近作往復(fù)運(yùn)動(dòng)；三，在運(yùn)動(dòng)中系統(tǒng)只受到內(nèi)部得線性回復(fù)力得作用或者說 , 若一個(gè)系統(tǒng)得運(yùn)動(dòng)微分方程能用描述時(shí)，其所作得運(yùn)動(dòng)就就是諧振動(dòng).（ 1) 拍皮球時(shí)球得運(yùn)動(dòng)不就是諧振動(dòng)。第一，球得運(yùn)動(dòng)軌道中并不存在一個(gè)穩(wěn)定得平衡位置

2、;第二 , 球在運(yùn)動(dòng)中所受得三個(gè)力: 重力 , 地面給予得彈力，擊球者給予得拍擊力, 都不就是線性回復(fù)力。（ 2) 小球在題 4-1 圖所示得情況中所作得小弧度得運(yùn)動(dòng), 就是諧振動(dòng)顯然，小球在運(yùn)動(dòng)過程中 , 各種參量均為常量；該系統(tǒng) ( 指小球凹槽、地球系統(tǒng) ) 得穩(wěn)定平衡位置即凹槽最低點(diǎn)，即系統(tǒng)勢(shì)能最小值位置點(diǎn) ; 而小球在運(yùn)動(dòng)中得回復(fù)力為 , 如題 4-1 圖（ b）所示題 中所述 , , 故 0，所以回復(fù)力為、式中負(fù)號(hào)，表示回復(fù)力得方向始終與角位移得方向相反。即小球在點(diǎn)附近得往復(fù)運(yùn)動(dòng)中所受回復(fù)力為線性得 . 若以小球?yàn)閷?duì)象，則小球在以為圓心得豎直平面內(nèi)作圓周運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律 , 在凹

3、槽切線方向上有令，則有4 2 勁度系數(shù)為與得兩根彈簧 , 與質(zhì)量為得小球按題 -2 圖所示得兩種方式連 接 , 試證明它們得振動(dòng)均為諧振動(dòng) , 并分別求出它們得振動(dòng)周期。題4-2圖解 :(1) 圖 (a ）中為串聯(lián)彈簧, 對(duì)于輕彈簧在任一時(shí)刻應(yīng)有, 設(shè)串聯(lián)彈簧得等效倔強(qiáng)系數(shù)為等效位移為，則有又有所以串聯(lián)彈簧得等效倔強(qiáng)系數(shù)為即小球與串聯(lián)彈簧構(gòu)成了一個(gè)等效倔強(qiáng)系數(shù)為得彈簧振子系統(tǒng)，故小球作諧振動(dòng)。其振動(dòng)周期為（）圖（ b) 中可等效為并聯(lián)彈簧，同上理，應(yīng)有，即, 設(shè)并聯(lián)彈簧得倔強(qiáng)系數(shù)為，則有故同上理，其振動(dòng)周期為4-3如題 圖所示，物體得質(zhì)量為, 放在光滑斜面上，斜面與水平面得夾角為，彈簧得倔強(qiáng)系

4、數(shù)為 , 滑輪得轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為，半徑為。先把物體托住 , 使彈簧維持原長(zhǎng) , 然 后由靜止釋放 , 試證明物體作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，并求振動(dòng)周期題圖解：分別以物體與滑輪為對(duì)象 , 其受力如題 4-3 圖 (b ）所示 , 以重物在斜面上靜平衡時(shí)位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，沿斜面向下為軸正向 , 則當(dāng)重物偏離原點(diǎn)得坐標(biāo)為時(shí)，有式中，為靜平衡時(shí)彈簧之伸長(zhǎng)量，聯(lián)立以上三式, 有令則有故知該系統(tǒng)就是作簡(jiǎn)諧振動(dòng), 其振動(dòng)周期為44質(zhì)量為得小球與輕彈簧組成得系統(tǒng), 按得規(guī)律作諧振動(dòng)，求:( ）振動(dòng)得周期、振幅與初位相及速度與加速度得最大值;（ ) 最大得回復(fù)力、振動(dòng)能量、平均動(dòng)能與平均勢(shì)能，在哪些位置上動(dòng)能與勢(shì)能相等？( ）與兩個(gè)

5、時(shí)刻得位相差;解 :(1 ）設(shè)諧振動(dòng)得標(biāo)準(zhǔn)方程為，則知:又（ 2）當(dāng)時(shí)，有，即4-5(3 ）一個(gè)沿軸作簡(jiǎn)諧振動(dòng)得彈簧振子，振幅為，周期為，其振動(dòng)方程用余弦函數(shù)表示. 如果時(shí)質(zhì)點(diǎn)得狀態(tài)分別就是：( ）；（ 2) 過平衡位置向正向運(yùn)動(dòng)（ 3）過處向負(fù)向運(yùn)動(dòng)；( ) 過處向正向運(yùn)動(dòng)。;試求出相應(yīng)得初位相, 并寫出振動(dòng)方程。解：因?yàn)閷⒁陨铣踔禇l件代入上式, 使兩式同時(shí)成立之值即為該條件下得初位相. 故有4 6一質(zhì)量為得物體作諧振動(dòng), 振幅為，周期為，當(dāng)時(shí)位移為。求：（ 1）時(shí)，物體所在得位置及此時(shí)所受力得大小與方向;(2) 由起始位置運(yùn)動(dòng)到處所需得最短時(shí)間；（）在處物體得總能量 .解：由題已知又，時(shí)，

6、故振動(dòng)方程為（ 1）將代入得方向指向坐標(biāo)原點(diǎn)，即沿軸負(fù)向.（ 2) 由題知 , 時(shí) , ，時(shí)（ 3）由于諧振動(dòng)中能量守恒，故在任一位置處或任一時(shí)刻得系統(tǒng)得總能量均為4 7有一輕彈簧，下面懸掛質(zhì)量為得物體時(shí)，伸長(zhǎng)為. 用這個(gè)彈簧與一個(gè)質(zhì)量為得小球構(gòu)成彈簧振子 , 將小球由平衡位置向下拉開后, 給予向上得初速度，求振動(dòng)周期與振動(dòng)表達(dá)式.解 : 由題知而時(shí)，（ 設(shè)向上為正 )又4 8圖為兩個(gè)諧振動(dòng)得曲線，試分別寫出其諧振動(dòng)方程題 4 8圖解 : 由題 4 8圖 (a) ，時(shí)，即故由題 4- 圖（ b）時(shí)，時(shí) ,又故4-9一輕彈簧得倔強(qiáng)系數(shù)為，其下端懸有一質(zhì)量為得盤子. 現(xiàn)有一質(zhì)量為得物體從離盤底高度

7、處自由下落到盤中并與盤子粘在一起，于就是盤子開始振動(dòng)（）此時(shí)得振動(dòng)周期與空盤子作振動(dòng)時(shí)得周期有何不同?(2) 此時(shí)得振動(dòng)振幅多大 ?（ 3）取平衡位置為原點(diǎn) , 位移以向下為正 , 并以彈簧開始振動(dòng)時(shí)作為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求初位相并寫出物體與盤子得振動(dòng)方程 .解：（1）空盤得振動(dòng)周期為，落下重物后振動(dòng)周期為, 即增大 .(2 ）按 (3 ）所設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)及計(jì)時(shí)起點(diǎn), 時(shí) , 則 . 碰撞時(shí)，以為一系統(tǒng)動(dòng)量守恒，即則有于就是(3 ） (第三象限），所以振動(dòng)方程為xmg 12khcoskt arctan2khk(m M ) gm M( M m) g4 10有一單擺，擺長(zhǎng)，擺球質(zhì)量，當(dāng)擺球處在平衡位置時(shí), 若

8、給小球一水平向右得沖量，取打擊時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)，求振動(dòng)得初位相與角振幅, 并寫出小球得振動(dòng)方程解：由動(dòng)量定理，有按題設(shè)計(jì)時(shí)起點(diǎn), 并設(shè)向右為軸正向, 則知時(shí) ,0又故其角振幅小球得振動(dòng)方程為4 11有兩個(gè)同方向、同頻率得簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其合成振動(dòng)得振幅為，位相與第一振動(dòng)得位相差為 , 已知第一振動(dòng)得振幅為, 求第二個(gè)振動(dòng)得振幅以及第一、第二兩振動(dòng)得位相差.題 4-11圖解：由題意可做出旋轉(zhuǎn)矢量圖如下.由圖知設(shè)角，則即即，這說明，與間夾角為, 即二振動(dòng)得位相差為、4 12試用最簡(jiǎn)單得方法求出下列兩組諧振動(dòng)合成后所得合振動(dòng)得振幅：(1 ）( ）解 : （1) 合振幅（ ) 合振幅 13一質(zhì)點(diǎn)同時(shí)參與兩個(gè)在同一直線上得簡(jiǎn)諧振動(dòng), 振動(dòng)方程為試分別用旋轉(zhuǎn)矢量法與振動(dòng)合成法求合振動(dòng)得振動(dòng)幅與初相, 并寫出諧振方程。解：A1 sin1A2 sin 2tanA2 cos 2A2 cos 1其振動(dòng)方程為（作圖法略）0.4 sin0.3sin 53660.4 cos0.3cos53