2015年高考數(shù)學(xué)題分類匯編(文)：7.不等式

1、1.【2015高考天津，文2】設(shè)變量滿足約束條件,則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（ ）(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D)14【答案】C【解析】,當(dāng) 時(shí)取得最大值9,故選C.此題也可畫(huà)出可行域,借助圖像求解,【考點(diǎn)定位】本題主要考查線性規(guī)劃知識(shí).【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃也是高考中常考的知識(shí)點(diǎn),一般以客觀題形式出現(xiàn),基本題型是給出約束條件求目標(biāo)函數(shù)的最值,常見(jiàn)的結(jié)合方式有:縱截距、斜率、兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離,解決此類問(wèn)題常利用數(shù)形結(jié)合,準(zhǔn)確作出圖形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.2.【2015高考浙江，文6】有三個(gè)房間需要粉刷，粉刷方案要求：每個(gè)房間只用一種顏色，且三個(gè)房間顏色各不相同已知三個(gè)房間的粉刷面積（

2、單位：）分別為，且，三種顏色涂料的粉刷費(fèi)用（單位：元/）分別為，且在不同的方案中，最低的總費(fèi)用（單位：元）是（ ）A B C D【答案】B【解析】由，所以，故；同理，故.因?yàn)椋?故最低費(fèi)用為.故選B.考點(diǎn)：1.不等式性質(zhì)；2.不等式比較大小.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的性質(zhì)以及不等式比較大小.解答本題時(shí)要能夠?qū)λ膫€(gè)選項(xiàng)利用作差的方式進(jìn)行比較，確認(rèn)最小值.本題屬于容易題，重點(diǎn)考查學(xué)生作差比較的能力.3.【2015高考重慶，文10】若不等式組,表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于，則m的值為（ ）(A)-3 (B) 1 (C) (D)3【答案】B【解析】如圖，由于不等式組,表示的平面區(qū)域?yàn)椋?/p>

3、且其面積等于，再注意到直線與直線互相垂直，所以是直角三角形，易知，,;從而=，化簡(jiǎn)得：，解得,或，檢驗(yàn)知當(dāng)時(shí)，已知不等式組不能表示一個(gè)三角形區(qū)域，故舍去，所以;故選B.【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃與三角形的面積.【名師點(diǎn)睛】本題考查線性規(guī)劃問(wèn)題中的二元一次不等式組表示平面區(qū)域，利用已知條件將三角形的面積用含的代數(shù)式表示出來(lái)，從而得到關(guān)于的方程來(lái)求解.本題屬于中檔題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性及對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn).4.【2015高考湖南，文7】若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為( )A、 B、2 C、2 D、4【答案】C【解析】，（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以的最小值為，故選C.【考點(diǎn)定位】基本不等式【名師點(diǎn)睛】基本不等式具有將“和

4、式”轉(zhuǎn)化為“積式”和將“積式”轉(zhuǎn)化為“和式”的放縮功能，因此可以用在一些不等式的證明中，還可以用于求代數(shù)式的最值或取值范圍如果條件等式中，同時(shí)含有兩個(gè)變量的和與積的形式，就可以直接利用基本不等式對(duì)兩個(gè)正數(shù)的和與積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后通過(guò)解不等式進(jìn)行求解5.【2015高考四川，文9】設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為( )(A) (B) (C)12 (D)14【考點(diǎn)定位】本題主要考查線性規(guī)劃與基本不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，考查知識(shí)的整合與運(yùn)用，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力.【名師點(diǎn)睛】本題中，對(duì)可行域的處理并不是大問(wèn)題，關(guān)鍵是“求xy最大值”中，xy已經(jīng)不是“線性”問(wèn)題了，如果直接設(shè)xyk，則轉(zhuǎn)化為反比

5、例函數(shù)y的曲線與可行域有公共點(diǎn)問(wèn)題，難度較大，且有超出“線性”的嫌疑.而上面解法中，用基本不等式的思想，通過(guò)系數(shù)的配湊，即可得到結(jié)論，當(dāng)然，對(duì)于等號(hào)成立的條件也應(yīng)該給以足夠的重視.屬于較難題.6.【2015高考廣東，文4】若變量，滿足約束條件，則的最大值為（ ）A B C D【答案】C【解析】作出可行域如圖所示：作直線，再作一組平行于的直線，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，由得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，故選C【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是線性規(guī)劃，屬于容易題線性規(guī)劃類問(wèn)題的解題關(guān)鍵是先正確畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合確定目標(biāo)函數(shù)何時(shí)取得最

6、值解題時(shí)要看清楚是求“最大值”還是求“最小值”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤；畫(huà)不等式組所表示的平面區(qū)域時(shí)要通過(guò)特殊點(diǎn)驗(yàn)證，防止出現(xiàn)錯(cuò)誤7.【2015高考重慶，文14】設(shè),則的最大值為_(kāi).【答案】【解析】由兩邊同時(shí)加上得兩邊同時(shí)開(kāi)方即得：（且當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），從而有（當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)，“=”成立），故填：.【考點(diǎn)定位】基本不等式.【名師點(diǎn)睛】本題考查應(yīng)用基本不等式求最值，先將基本不等式轉(zhuǎn)化為（a0,b0且當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”）再利用此不等式來(lái)求解.本題屬于中檔題，注意等號(hào)成立的條件.8.【2015高考新課標(biāo)1，文15】若x,y滿足約束條件 ,則z=3x+y的最大值為 【答案】4【解析】作出可行域如

7、圖中陰影部分所示，作出直線：，平移直線，當(dāng)直線:z=3x+y過(guò)點(diǎn)A時(shí)，z取最大值，由解得A（1,1），z=3x+y的最大值為4.考點(diǎn)：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃解法【名師點(diǎn)睛】對(duì)線性規(guī)劃問(wèn)題，先作出可行域，在作出目標(biāo)函數(shù)，利用z的幾何意義，結(jié)合可行域即可找出取最值的點(diǎn)，通過(guò)解方程組即可求出做最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)，求出最值，要熟悉相關(guān)公式，確定目標(biāo)函數(shù)的意義是解決最優(yōu)化問(wèn)題的關(guān)鍵，目標(biāo)函數(shù)常有距離型、直線型和斜率型.9.【2015高考陜西，文11】某企業(yè)生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料，已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額表所示，如果生產(chǎn)1噸甲乙產(chǎn)品可獲利潤(rùn)分別為3萬(wàn)元.4萬(wàn)元，則該企業(yè)每天可獲

8、得最大利潤(rùn)為（ ）A12萬(wàn)元 B16萬(wàn)元 C17萬(wàn)元 D18萬(wàn)元【答案】【解析】設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲乙兩種產(chǎn)品分別，噸，則利潤(rùn)由題意可列，其表示如圖陰影部分區(qū)域：當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最大值，故答案選?！究键c(diǎn)定位】線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】1.本題考查線性規(guī)劃在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用題時(shí)，可依據(jù)以下幾個(gè)步驟：分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件和目標(biāo)函數(shù)；由約束條件畫(huà)出可行域；分析目標(biāo)函數(shù)與直線截距之間的關(guān)系；使用平移直線法求出最優(yōu)解；還原到現(xiàn)實(shí)問(wèn)題中.2.本題屬于中檔題，注意運(yùn)算的準(zhǔn)確性.10.【2015高考湖南，文4】若變量滿足約束條件 ，則的最小值為( )A、 B、0

9、C、1 D、2【答案】A【解析】由約束條作出可行域如圖，由圖可知，最優(yōu)解為A，聯(lián)立 ,在點(diǎn)A處取得最小值為故選：A【考點(diǎn)定位】簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】求目標(biāo)函數(shù)的最值的一般步驟為：一畫(huà)二移三求其關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出可行域，理解目標(biāo)函數(shù)的意義常見(jiàn)的目標(biāo)函數(shù)有： (1)截距型：形如，求這類目標(biāo)函數(shù)的最值常將函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：，通過(guò)求直線的截距的最值間接求出的最值 (2)距離型：形如. (3)斜率型：形如.注意：轉(zhuǎn)化的等價(jià)性及幾何意義11.【2015高考福建，文10】變量滿足約束條件，若的最大值為2，則實(shí)數(shù)等于（ ）A B C D【答案】C【解析】將目標(biāo)函數(shù)變形為，當(dāng)取最大值，則直線縱截距最小，故

10、當(dāng)時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，畫(huà)出可行域，如圖所示， 其中顯然不是最優(yōu)解，故只能是最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)得，解得，故選C【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃【名師點(diǎn)睛】本題考查含參數(shù)的線性規(guī)劃問(wèn)題，首先要對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行分析，什么時(shí)候目標(biāo)函數(shù)取到最大值，其次要對(duì)的符號(hào)討論，以確定可行域，解該類題目時(shí)候，往往還要將目標(biāo)直線的斜率和可行域邊界的斜率比較，否則很容易出錯(cuò)12.【2015高考福建，文5】若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值等于（ ）A2 B3 C4 D5【答案】C【解析】由已知得，則，因?yàn)?，所以，故，?dāng)，即時(shí)取等號(hào)【考點(diǎn)定位】基本不等式【名師點(diǎn)睛】本題以直線方程為背景考查基本不等式，利用直線過(guò)點(diǎn)尋求變量關(guān)系，進(jìn)而利用基本不等

11、式求最小值，要注意使用基本不等式求最值的三個(gè)條件“正，等，定”，屬于中檔題13.【2015高考安徽，文5】已知x，y滿足約束條件，則的最大值是（ ）（A）-1 （B）-2 （C）-5 （D）1【答案】A【解析】根據(jù)題意作出約束條件確定的可行域，如下圖：令，可知在圖中處，取到最大值-1,故選A.【考點(diǎn)定位】本題主要考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】在解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題時(shí)，考生作圖和確定可行區(qū)域一定要細(xì)心，本題考查了考生的數(shù)形結(jié)合能力和基本運(yùn)算能力.14.【2015高考天津，文12】已知 則當(dāng)a的值為 時(shí)取得最大值.【答案】4【解析】當(dāng)時(shí)取等號(hào),結(jié)合可得 【考點(diǎn)定位】本題主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算法則及

12、基本不等式應(yīng)用.【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí),一定要緊扣“一正、二定、三相等”這三個(gè)條件,注意創(chuàng)造“定”這個(gè)條件時(shí)常要對(duì)所給式子進(jìn)行拆分、組合、添加系數(shù)等處理,使之可用基本不等式來(lái)解決,若多次使用基本不等式,必須保持每次取等的一致性.15.【2015高考山東，文12】 若滿足約束條件則的最大值為 .【答案】【解析】畫(huà)出可行域及直線，平移直線，當(dāng)其經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最大，所以最大為.【考點(diǎn)定位】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】本題考查了簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵，是掌握方法，準(zhǔn)確畫(huà)圖，細(xì)心計(jì)算.本題屬于基礎(chǔ)題，是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題中最為簡(jiǎn)單的一種求最值問(wèn)題，在考查相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，

13、較好地考查了考生的作圖能力及運(yùn)算能力.16.【2015高考湖北，文12】若變量滿足約束條件 則的最大值是_【答案】.【考點(diǎn)定位】本題考查線性規(guī)劃的最值問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題.【名師點(diǎn)睛】這是一道典型的線性規(guī)劃問(wèn)題，重點(diǎn)考查線性規(guī)劃問(wèn)題的基本解決方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想在數(shù)學(xué)解題中重要性和實(shí)用性，能較好的考查學(xué)生準(zhǔn)確作圖能力和靈活運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力.17.【2015高考廣東，文11】不等式的解集為 （用區(qū)間表示）【答案】【解析】由得：，所以不等式的解集為，所以答案應(yīng)填：【考點(diǎn)定位】一元二次不等式【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是一元二次不等式，屬于容易題解題時(shí)要注意的系數(shù)是否為正數(shù)，如果的系數(shù)是

14、負(fù)數(shù)，一定要化為正數(shù)，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤18.【2015高考北京，文13】如圖，及其內(nèi)部的點(diǎn)組成的集合記為，為中任意一點(diǎn)，則的最大值為 【答案】【解析】由題圖可知，目標(biāo)函數(shù)，因此當(dāng)，即在點(diǎn)處時(shí)取得最大值為.【考點(diǎn)定位】線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)晴】本題主要考查的是線性規(guī)劃，屬于容易題線性規(guī)劃類問(wèn)題的解題關(guān)鍵是先正確畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域，然后確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過(guò)數(shù)形結(jié)合確定目標(biāo)函數(shù)何時(shí)取得最值解題時(shí)要看清楚是求“最大值”還是求“最小值”，否則很容易出現(xiàn)錯(cuò)誤19.【2015高考浙江，文14】已知實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值是 【答案】15【解析】 由圖可知當(dāng)時(shí)，滿足的是如圖的劣弧，則在點(diǎn)處取得最

15、大值；當(dāng)時(shí)，滿足的是如圖的優(yōu)弧，則與該優(yōu)弧相切時(shí)取得最大值，故，所以，故該目標(biāo)函數(shù)的最大值為.【考點(diǎn)定位】1.簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃；【名師點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃.根據(jù)條件，利用分類討論，確定目標(biāo)函數(shù)的情況，畫(huà)出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃的特點(diǎn)，確定取得最值的最優(yōu)解，代入計(jì)算.本題屬于中等題，主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力以及分類討論思想.20.【2015高考上海，文9】若滿足，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為 .【答案】3【解析】不等式組表示的平面區(qū)域如圖（包括邊界），聯(lián)立方程組，解得，即，平移直線當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)的取得最大值，即.【考點(diǎn)定位】不等式組表示的平面區(qū)域，簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃.【名師點(diǎn)睛】利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是：(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域；(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形；(3)確定最