2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二講參數(shù)方程2.1曲線的參數(shù)方程課件.pptx

1、第二講參數(shù)方程,一曲線的參數(shù)方程,1.參數(shù)方程的概念 (1)在平面直角坐標(biāo)系中,如果曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)x,y都是某 個(gè)變數(shù)t的函數(shù) ,并且對(duì)于t的每一個(gè)允許值,由方程組(*)所確定的點(diǎn)M(x,y)都在這條曲線上,那么方程(*)就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡(jiǎn)稱參數(shù).相對(duì)于參數(shù)方程而言,直接給出點(diǎn)的坐標(biāo)間關(guān)系的方程叫做普通方程. (2)參數(shù)是聯(lián)系變數(shù)x,y的橋梁,可以是一個(gè)有幾何意義或物理意義的變數(shù),也可以是沒有明顯實(shí)際意義的變數(shù).,名師點(diǎn)撥對(duì)參數(shù)方程的理解 1.參數(shù)方程的形式:方程組中有三個(gè)變數(shù),其中x和y表示點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo),第三個(gè)變數(shù)t叫做參變數(shù),而且x與y分

2、別是t的函數(shù).由于橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都是變數(shù)t的函數(shù),因此給出一個(gè)t能唯一地求出對(duì)應(yīng)的x,y的值,因而能得到唯一的點(diǎn). 2.參數(shù)的取值范圍:在寫曲線的參數(shù)方程時(shí),必須指明參數(shù)的取值范圍;取值范圍不同,所表示的曲線也可能會(huì)有所不同,同一曲線選取的參數(shù)不同,曲線的參數(shù)方程可以有不同的形式. 3.參數(shù)方程與普通方程的統(tǒng)一性:普通方程是相對(duì)參數(shù)方程而言的,普通方程反映了坐標(biāo)變數(shù)x與y之間的直接聯(lián)系,而參數(shù)方程是通過參變數(shù)反映坐標(biāo)變數(shù)x與y之間的間接聯(lián)系;普通方程和參數(shù)方程是同一曲線的兩種不同表達(dá)形式,參數(shù)方程可以與普通方程進(jìn)行互化.,4.參數(shù)的意義:如果參數(shù)選擇適當(dāng),那么參數(shù)在參數(shù)方程中可以有明確的幾何意

3、義,也可以有明確的物理意義,可以給問題的解決帶來方便,即使是同一條曲線,也可以用不同的變數(shù)作為參數(shù).寫參數(shù)方程時(shí)必須注明哪個(gè)字母是參數(shù).,做一做1以下表示x軸的參數(shù)方程的是(),答案：D,2.圓的參數(shù)方程 (1)設(shè)圓O的半徑是r,點(diǎn)M從初始位置M0(t=0時(shí)的位置)出發(fā),按逆時(shí)針方向在圓O上作勻速圓周運(yùn)動(dòng),點(diǎn)M繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為.以圓心O為原點(diǎn),OM0所在直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系.如果在時(shí)刻t,圓周上某點(diǎn)M轉(zhuǎn)過的角度是,坐標(biāo)是(x,y),那么=t.設(shè)|OM|=r,那,數(shù)).這就是圓心在原點(diǎn)O,半徑為r的圓的參數(shù)方程.其中參數(shù)t有明確的物理意義(質(zhì)點(diǎn)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的時(shí)刻).,(2)若取為參數(shù)

4、,因?yàn)?t,于是圓心在原點(diǎn)O,半徑為r的圓的參 數(shù)方程為 (為參數(shù)).其中參數(shù)的幾何意義是OM0(M0為t=0時(shí)點(diǎn)M的位置)繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到 OM的位置時(shí),OM0轉(zhuǎn)過的角度.,名師點(diǎn)撥若圓心在點(diǎn)M0(x0,y0),半徑為R,則圓的參數(shù)方程為,【做一做2】 圓x2+y2=16的參數(shù)方程為(為參數(shù)).,3.參數(shù)方程與普通方程的互化 (1)曲線的參數(shù)方程和普通方程是曲線方程的不同形式. (2)一般地,可以通過消去參數(shù)而從參數(shù)方程得到普通方程.如果知道變數(shù)x,y中的一個(gè)與參數(shù)t的關(guān)系,例如x=f(t),把它代入普通方程, 求出另一個(gè)變數(shù)與參數(shù)的關(guān)系y=g(t),那么 就是曲線的參數(shù)方程. (3)在參

5、數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使x,y的取值范圍保持一致.,特別提醒1.將參數(shù)方程化為普通方程時(shí),要注意防止變量x和y取值范圍的擴(kuò)大或者縮小,必須根據(jù)參數(shù)的取值范圍確定f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范圍. 2.參數(shù)方程化為普通方程常用的方法是代入消參數(shù)法,當(dāng)使用代入消參數(shù)法比較復(fù)雜時(shí),可對(duì)式子先進(jìn)行化簡(jiǎn),再消參數(shù),有時(shí)要利用代數(shù)恒等式的方法消去參數(shù).,做一做3(1)將參數(shù)方程 (為參數(shù))化為普通方程是; (2)直線y=2x的一個(gè)參數(shù)方程可以是.,解析：(1)由于sin2+cos2=1, 所以x+y=1,并且0 x1. (2)設(shè)t為參數(shù),令x=t,則y=2t,答案：(1)x+y=1(0

6、 x1),思考辨析 判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號(hào)內(nèi)畫“”,錯(cuò)誤的畫“”. (1)參數(shù)方程是通過參數(shù)反映坐標(biāo)變量x,y之間的間接聯(lián)系. () (2)參數(shù)方程中的參數(shù)沒有任何意義. (),探究一,探究二,探究三,思維辨析,參數(shù)方程的概念 【例1】 已知曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù)). (1)點(diǎn)M(0,4)是否在曲線C上? (2)若點(diǎn)(a+2,4a)在曲線C上,求實(shí)數(shù)a的值. 分析：(1)通過參數(shù)t的值進(jìn)行判斷;(2)建立實(shí)數(shù)a的等式求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.參數(shù)方程是曲線方程的另一種表達(dá)形式,點(diǎn)與曲線位置關(guān)系的判斷,與平面直角坐標(biāo)方程下的判斷方法是一致的.

7、 2.對(duì)于曲線C的普通方程f(x,y)=0,若點(diǎn)M(x1,y1)在曲線上,則f(x1,y1)=0,若點(diǎn)N(x2,y2)不在曲線上,則f(x2,y2)0.同樣,對(duì)于曲線C的,對(duì)應(yīng)的參數(shù)t有解,否則無解,即參數(shù)t不存在.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練1已知某條曲線C的參數(shù)方程為 (t為參數(shù),aR).點(diǎn)M(5,4)在該曲線上,求常數(shù)a.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,圓的參數(shù)方程及其應(yīng)用 【例2】 圓的直徑AB上有兩點(diǎn)C,D,且|AB|=10,|AC|=|BD|=4,P為圓上一點(diǎn),求|PC|+|PD|的最大值. 分析：先建立平面直角坐標(biāo)系,將點(diǎn)P的坐標(biāo)用圓的參數(shù)方程的形式表示出來,

8、為參數(shù),那么|PC|+|PD|就可以用只含有的式子來表示,再利用三角函數(shù)等相關(guān)知識(shí)計(jì)算出最大值.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解：以AB所在直線為x軸,以線段AB的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(如圖),則點(diǎn)C(-1,0),D(1,0). 因?yàn)辄c(diǎn)P在圓上,所以可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(5cos ,5sin ).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.圓的參數(shù)方程是三角形式,這有利于進(jìn)行三角代換,運(yùn)用三角知識(shí)解決解析幾何中的范圍、最值問題,可以使復(fù)雜的計(jì)算變得十分簡(jiǎn)潔. 2.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)的軌跡由圓上的點(diǎn)來決定時(shí),可借助圓的參數(shù)方程表示出這一點(diǎn)的坐標(biāo),從而建立動(dòng)點(diǎn)與該點(diǎn)的聯(lián)系,求得動(dòng)點(diǎn)的參數(shù)方程.,

9、探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練2如圖所示,已知點(diǎn)Q是圓x2+y2=4上的動(dòng)點(diǎn),定點(diǎn)P(4,0),若點(diǎn)M滿足 ,求點(diǎn)M的軌跡的參數(shù)方程.,解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),xOQ=,則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2cos ,2sin ).,探究一,探究二,探究三,思維辨析,參數(shù)方程與普通方程的互化 【例3】 (1)將下列參數(shù)方程化為普通方程,并說明方程表示的曲線. (2)設(shè)x=2cos ,為參數(shù),求曲線4x2+y2=16的參數(shù)方程. 分析：對(duì)于(1),只需消去參數(shù),建立x,y的等式即可;對(duì)于(2),將x=2cos 代入曲線方程進(jìn)行求解.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,解：(1)由已知得t= ,將其

10、代入y=4t中,得4x+3y-4=0. 故所求的普通方程為4x+3y-4=0,它表示的是一條直線. 由y=-1+cos 2可得y=-2sin2,把sin2=x-2代入y=-2sin2可得y=-2(x-2),即2x+y-4=0.因?yàn)?x=2+sin23,所以所求的普通方程是2x+y-4=0(2x3),它表示的是一條線段.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,反思感悟1.將參數(shù)方程化為普通方程,關(guān)鍵是消去參數(shù),常用的消元法有代入消元法、加減消元法.如果參數(shù)方程是分式方程,在運(yùn)用代入消元法或加減消元法之前需做必要的變形.另外,熟悉一些常見的恒等式至關(guān)重要,如sin2+cos2=1,(ex+e-x)2-

11、(ex-e-x)2=4,2.把普通方程化成參數(shù)方程后,很容易改變變量的取值范圍,從而使得兩種方程所表示的曲線不一致,因此我們?cè)诮忸}時(shí)一定要驗(yàn)證普通方程與參數(shù)方程的等價(jià)性.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練3化下列曲線的參數(shù)方程為普通方程,并指出它是什么曲線.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,探究一,探究二,探究三,思維辨析,忽視參數(shù)的取值范圍致誤,正解由于0t,則-1cos t1,0sin t1, 所以-3x5,-2y2,于是(x-1)2+(y+2)2=16cos2t+16sin2t=16.因此普通方程為(x-1)2+(y+2)2=16(-3x5,-2y2),它表示的曲線是以(1,

12、-2)為圓心,半徑為4的上半圓.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,糾錯(cuò)心得本題錯(cuò)解在于忽視了參數(shù)t的取值范圍,導(dǎo)致方程中x,y的范圍出錯(cuò),從而方程以及對(duì)應(yīng)的曲線出錯(cuò).在將參數(shù)方程化為普通方程時(shí),務(wù)必注意參數(shù)的取值范圍,根據(jù)這一范圍確定變量x,y的范圍.,探究一,探究二,探究三,思維辨析,變式訓(xùn)練將方程 (t為參數(shù))化為普通方程,并說明方程表示什么曲線.,1 2 3 4 5,1.當(dāng)參數(shù)變化時(shí),由點(diǎn)P(2cos ,3sin )所確定的曲線過點(diǎn)(),解析：令2cos =2,得cos =1,從而sin =0,即3sin =0,所以曲線過點(diǎn)(2,0). 答案：D,1 2 3 4 5,2.圓(x-1)2+y2=4上的點(diǎn)可以表示為() A.(-1+cos ,sin )(為參數(shù)) B.(1+sin ,cos )(為參數(shù)) C.(-1+2cos ,2sin )(為參數(shù)) D.(1+2cos ,2sin )(為參數(shù)),答案：D,1 2 3 4 5,3.將參數(shù)方程 (為參數(shù))化為普通方程是() A.y=x-2B.y=x+2 C.y=x-2(2x3)D.y=x+2(0y1) 解析：由于0sin21,所以x=2+sin22,3,故普通方程為y=x-2(2x3). 答案：C,1 2