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1、 均 值 定 理,授課教師: 嚴(yán) 抒,授課班級(jí):高一(10)、(11),(1)若a0,則 _ (2)若a0且b0,則 _ (3)用作差法證明不等式的步驟:,知識(shí)準(zhǔn)備,1、作差,2、變形(與0比較),3、定號(hào),一個(gè)矩形的長(zhǎng)為a,寬為b,畫(huà)兩個(gè)正方形,要求第一個(gè)正方形的面積與矩形的面積相同,第二個(gè)正方形的周長(zhǎng)與矩形的周長(zhǎng)相同.問(wèn)哪個(gè)正方形的面積大?,S=ab,C=2(a+b),(1),(2),探究新知,第一個(gè)正方形的面積是ab,可得邊長(zhǎng)為 . 第二個(gè)正方形的周長(zhǎng)為2(a+b),邊長(zhǎng)為 .,我們要比較兩個(gè)正方形面積的大小,只需要比較兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)哪個(gè)長(zhǎng)?,對(duì)任意正實(shí)數(shù)a、b,有,因此,等號(hào)成立,?
2、,講授新課,兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)大于或等于它們的幾何平均數(shù),即對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b,有,當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí),等號(hào)成立.,這個(gè)結(jié)論稱(chēng)為,均值定理,變式(2),當(dāng)且僅當(dāng) a=b時(shí),等號(hào)成立.,由a0、b0時(shí), 得,變式(1),(積定和?。?(和定積大),例1.已知a0,b0,且ab=16,求a+b的最小值.,解:由a0,b0根據(jù)均值定理,得,當(dāng)且僅當(dāng)a=b,即a=4時(shí), 等號(hào)成立,所以a+b的最小值為8.,一正,二定,三相等,結(jié)論,應(yīng)用舉例,例2.已知a0,b0,且a+b=6,求ab的最大值.,解:由a0,b0根據(jù)均值定理,得,當(dāng)且僅當(dāng)a=b,即,所以ab的最大值為9.,a=3時(shí)等號(hào)成立,一正
3、,二定,三相等,一正:函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù); 二定:函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是 定值; 三相等:等號(hào)成立條件必須存在.,均值定理必須滿(mǎn)足的條件:,總結(jié),練習(xí)鞏固,1、已知a0,b0,且ab=49,求a+b的最小值。,2、已知a0,b0,且a+b=10,求ab的最大值。,拓展延伸,1、求證:對(duì)于任意正實(shí)數(shù) ,有 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)成立.,2、求 的最小值,并求出 相應(yīng) 的值.,1、用一根長(zhǎng)為20cm的鐵絲,圍成一個(gè)矩形小框,長(zhǎng)與寬各為多少時(shí),面積最大?,思考題,2、為了圍成一個(gè)面積為49 的矩形小框,至少要用多長(zhǎng)的鐵絲?,1、解:設(shè)圍成的矩形的長(zhǎng)與寬分別為x cm、y cm.,答:矩形的長(zhǎng)
4、與寬都等于5cm時(shí),面積最大,達(dá)到25 .,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),由已知條件得,x+y= .,據(jù)均值定理得,取最大值25.,2、解:設(shè)圍成的矩形的長(zhǎng)與寬分別為xcm、ycm.,答:至少要用28cm長(zhǎng)的鐵絲.,等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x=y= =7,由已知條件得,xy= 49 .,據(jù)均值定理得,此時(shí)x+y 達(dá)到最小值14,從而2(x+y)達(dá)到最小值214=28.,小結(jié),1、對(duì)于任意兩個(gè)正實(shí)數(shù)a、b, 稱(chēng)為算術(shù)平均數(shù), 稱(chēng)為幾何平均數(shù) ,且 ,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí), 等號(hào)成立.,3、均值定理必須滿(mǎn)足: 一正:函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù); 二定:函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是定值; 三相等:等號(hào)成立條件必須存在.,2、變式應(yīng)用:,1、已知a0,b0,
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