2017_18版高中數(shù)學(xué)1.4.1曲邊梯形面積與定積分課件.pptx

1、1.4.1曲邊梯形面積與定積分,第一章1.4定積分與微積分基本定理,學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法. 2.會(huì)求曲邊梯形的面積及變力所做的功.,題型探究,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),內(nèi)容索引,當(dāng)堂訓(xùn)練,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),思考1,知識(shí)點(diǎn)一曲邊梯形的面積,如圖，為求由拋物線yx2與直線x1，y0所圍成的平面圖形的面積S，該圖形與我們熟悉的“直邊圖形”有什么區(qū)別？,答案,答案已知圖形是由直線x1，y0和曲線yx2所圍成的，可稱(chēng)為曲邊梯形，曲邊梯形的一條邊為曲線段，而“直邊圖形”的所有邊都是直線段.,思考2,能否將求曲邊梯形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求“直邊圖形”的面積問(wèn)題？(歸納主要步驟),答案,答案分割； 近

2、似代替； 求和； 取極限.,(1)曲邊梯形 曲線與平行于 的直線和 所圍成的圖形，稱(chēng)為曲邊梯形. (2)求曲邊梯形面積的方法 求由直線xa，xb(ab)，y0和曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形(如圖)的面積的步驟,梳理,x軸,y軸,分割：把區(qū)間a，b分成許多小區(qū)間，進(jìn)而把曲邊梯形拆分為一些 (如圖)； 近似代替：對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“ ”， 即用矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積， 得到每個(gè)小曲邊梯形的面積的 ； 求和：把以近似代替得到的每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值求和； 取極限：當(dāng)小曲邊梯形的個(gè)數(shù)趨向無(wú)窮時(shí)，各小曲邊梯形的面積之和趨向一個(gè)定值，即為曲邊梯形的面積.,小曲邊梯形,以直代曲,近似值,思考

3、,知識(shí)點(diǎn)二定積分的概念與基本性質(zhì),分析求曲邊梯形的面積和變力所做的功，找一下它們的共同點(diǎn).,答案,答案兩個(gè)問(wèn)題均可以通過(guò)“分割、近似代替、求和、取極限”解決，都可以歸結(jié)為一個(gè)特定形式和的極限.,定積分的有關(guān)概念與基本性質(zhì) (1)函數(shù)定積分的定義 設(shè)函數(shù)yf(x)定義在區(qū)間a，b上(如圖)，用分點(diǎn)ax0x1x2xn1 xnb，把區(qū)間a，b分為n個(gè)小區(qū)間，其長(zhǎng)度依次為xixi1xi，i0,1,2，n1.記為這些小區(qū)間長(zhǎng)度的最大者，當(dāng)趨近于0時(shí)，所有的小區(qū)間長(zhǎng)度都趨近于0，在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn)i，作和式In .,梳理,當(dāng)0時(shí)，如果和式的極限存在，我們把和式In的極限叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的

4、定積分，記作 . (2)定積分的定義式,(3)定積分的相關(guān)名稱(chēng),被積 函數(shù),被積式,積分 下限,積分 上限,(4)定積分的基本性質(zhì),題型探究,例1求直線x0，x2，y0與曲線yx21所圍成的曲邊梯形的面積參考公式1222n2 n(n1)(2n1).,解答,類(lèi)型一求曲邊梯形的面積,解令f(x)x21. (1)分割 將區(qū)間0,2n等分，分點(diǎn)依次為,(2)近似代替、求和,(3)取極限,求曲邊梯形的面積 (1)思想：以直代曲. (2)步驟：分割近似代替求和取極限. (3)關(guān)鍵：近似代替. (4)結(jié)果：分割越細(xì)，面積越精確. (5)求和時(shí)可用到一些常見(jiàn)的求和公式，如,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練1求由拋物線yx

5、2與直線y4所圍成的曲邊梯形的面積.,解答,解yx2為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)， 所求曲邊梯形的面積應(yīng)為拋物線yx2(x0)與直線x0，y4所圍圖形面積S陰影的2倍，下面求S陰影.,得交點(diǎn)為(2,4)，如圖所示，先求由直線x0，x2，y0和曲線yx2圍成的曲邊梯形的面積.,(1)分割 將區(qū)間0,2 n等分，,(2)近似代替、求和,(3)取極限,類(lèi)型二利用定積分表示曲邊梯形的面積,解答,例2利用定積分表示由直線yx2，曲線xy2圍成的平面區(qū)域的面積S.,解曲線所圍成的平面區(qū)域如圖所示，,(1)定積分的幾何意義：當(dāng)函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上恒為正時(shí)，定積分 f(x)dx的幾何意義是以曲線f(x)為

6、曲邊的曲邊梯形的面積.一般情況下，如圖，定積分 f(x)dx的幾何意義是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖象以及直線xa、xb之間各部分面積的代數(shù)和，在x軸上方的面積取正號(hào)，在x軸下方的面積取負(fù)號(hào).,反思與感悟,(2)利用定積分表示曲線圍成的面積時(shí)，關(guān)鍵是弄清定積分的幾何意義，特別注意符號(hào)問(wèn)題，定積分的值可正可負(fù)可為零，而面積是正值.,跟蹤訓(xùn)練2利用定積分表示下圖中陰影部分的面積.,答案,則(1)_；(2)_.,類(lèi)型三利用定積分的幾何意義求定積分,例3說(shuō)明下列定積分所表示的意義，并根據(jù)其意義求出定積分的值.,解答,解答,解答,引申探究,解答,解答,解答,利用定積分所表示的幾何意義求 f(x)dx的值的

7、關(guān)鍵是確定由曲線yf(x)，直線xa，直線xb及x軸所圍成的平面圖形的形狀.常見(jiàn)形狀是三角形、直角梯形、矩形、圓等可求面積的平面圖形.,反思與感悟,跟蹤訓(xùn)練3用定積分的幾何意義求：,解答,(2) ；,解答,解如圖2，由于A的面積等于B的面積，,從而 0.,解答,解令f(x)|x1|x1|4，作出f(x)在區(qū)間3，3上的圖象，如圖3所示，易知定積分 f(x)dx表示的就是圖中陰影部分的面積的代數(shù)和.,陰影部分的面積S1S31，S26， (|x1|x1|4)dx1164.,當(dāng)堂訓(xùn)練,1.下列結(jié)論中成立的個(gè)數(shù)是,答案,2,3,4,5,1,解析,A.0 B.1 C.2 D.3,解析成立.,2.關(guān)于定積分a (2)dx的敘述正確的是 A.被積函數(shù)為y2，a6B.被積函數(shù)為y2，a6 C.被積函數(shù)為y2，a6D.被積函數(shù)為y2，a6,答案,2,3,4,5,1,解析,解析由定積分的概念可知，,由定積分的幾何意義知， (2)dx等于由直線x1， x2，y0，y2所圍成的圖形的面積的相反數(shù)，,2,3,4,5,1,3.求由曲線y x2與直線x1，x2，y0所圍成的平面圖形面積時(shí)，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn))是_.,答案,解析,1.02,4. 2(x2)dx_.,2,3,4,5,1,解析,答案,5,5.計(jì)算：,解答,2,3,