2017_18學(xué)年高中數(shù)學(xué)第二章2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系課件.pptx

1、2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系,1.掌握空間兩條直線間的位置關(guān)系,理解異面直線的定義中“不同在”的含義. 2.知道兩條異面直線所成角的意義,掌握兩條直線垂直的含義. 3.理解并掌握公理4和等角定理,并能解決有關(guān)問(wèn)題.,1,2,3,4,5,1.異面直線 (1)概念:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫做異面直線. (2)圖示:如圖,為了表示異面直線a,b不共面的特點(diǎn),作圖時(shí),通常用一個(gè)或兩個(gè)平面襯托.,1,2,3,4,5,【做一做1】 如圖,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,與AA1異面的棱是() A.ABB.BB1 C.DD1D.B1C1 解析:AA1BB1,AA1DD1,AA1AB

2、=A,AA1與B1C1是異面直線. 答案:D,1,2,3,4,5,2.空間兩條直線的位置關(guān)系,1,2,3,4,5,【做一做2】 不平行的兩條直線的位置關(guān)系是() A.相交 B.異面 C.平行 D.相交或異面 解析:由于空間兩條直線的位置關(guān)系是平行、相交、異面,則不平行的兩條直線的位置關(guān)系是相交或異面. 答案:D,1,2,3,4,5,3.公理4,1,2,3,4,5,【做一做3】 如圖,在正方體ABCD-ABCD中,E,F,E,F分別是AB,BC,AB,BC的中點(diǎn),求證:EEFF. 證明:在正方體ABCD-ABCD中, 因?yàn)镋,E分別是AB,AB的中點(diǎn), 所以BEBE,且BE=BE. 所以四邊形E

3、BBE是平行四邊形. 所以EEBB.同理可證FFBB, 所以EEFF.,1,2,3,4,5,4.等角定理,1,2,3,4,5,歸納總結(jié)等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的,當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同或相反時(shí),它們相等,否則它們互補(bǔ).,1,2,3,4,5,【做一做4】 已知BAC=30,ABAB,ACAC,則BAC=() A.30 B.150 C.30或150 D.60 答案:C,1,2,3,4,5,5.兩條異面直線所成的角(夾角) (1)定義:已知兩條異面直線a,b,經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線aa,bb,我們把a(bǔ)與b所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角).,名師點(diǎn)撥在定義

4、中,空間一點(diǎn)O是任取的,根據(jù)等角定理,可以斷定異面直線所成的角與a,b所成的銳角(或直角)相等,而與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān).異面直線所成的角是刻畫(huà)兩條異面直線相對(duì)位置的一個(gè)重要的量,是通過(guò)轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角來(lái)解決的.,1,2,3,4,5,(2)異面直線所成的角的范圍:090. (3)兩條異面直線垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,那么就說(shuō)這兩條直線互相垂直.兩條互相垂直的異面直線a,b,記作ab. 【做一做5】 在長(zhǎng)方體ABCD-ABCD中,與棱AA垂直且異面的棱有. 答案:BC,BC,CD,CD,1,2,1.對(duì)異面直線的理解 剖析:異面直線是指不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線.要注意異面直線定義

5、中“任何”兩字,它指空間中的所有平面,因此異面直線也可以理解為:如果a與b是異面直線,那么在空間中找不到一個(gè)平面,使其同時(shí)經(jīng)過(guò)a,b這兩條直線.,1,2,例如,在如圖所示的長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,棱AB和B1C1所在的直線既不平行也不相交,找不到一個(gè)平面同時(shí)經(jīng)過(guò)這兩條棱所在的直線,則AB和B1C1是異面直線.要注意分別在兩個(gè)平面內(nèi)的直線不一定是異面直線,可以平行,可以相交,也可以異面. 有以下方法可以判斷兩條直線是異面直線: (1)定義法(直觀判斷法):由定義判斷兩條直線不可能在同一個(gè)平面內(nèi).或者用下面的結(jié)論:過(guò)平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.,1

6、,2,用符號(hào)語(yǔ)言表示為:B,A,a,Aa,則a與直線AB為異面直線.圖形如圖所示. (2)排除法:排除兩條直線共面(平行或相交),則這兩條直線是異面直線.,1,2,2.作出兩條異面直線所成的角 剖析:根據(jù)異面直線所成角的定義,通常在兩條異面直線中的一條直線上取一點(diǎn),然后作另一條直線的平行線即可.但是,在作輔助線之前最好觀察圖形,看看在所給的圖形中,有沒(méi)有滿足定義的角,如果沒(méi)有,再作輔助線.,1,2,例如,在如圖所示的正方體ABCD-A1B1C1D1中,直線AB和B1C1是異面直線.由于ABA1B1,則A1B1C1就是它們所成的角,當(dāng)然ABC也是它們所成的角;對(duì)于異面直線AD1和B1C來(lái)說(shuō),在圖

7、中就沒(méi)有它們所成的角,這就需要作輔助線,連接BC1交B1C于點(diǎn)E,則BC1AD1,故C1EC是異面直線AD1和B1C所成的角或其補(bǔ)角.很明顯C1EC是等腰直角三角形,C1EC=90,即異面直線AD1和B1C所成的角為90.,題型一,題型二,題型三,題型四,【例1】 已知三條直線a,b,c,a與b異面,b與c異面,則a與c有什么樣的位置關(guān)系?并畫(huà)圖說(shuō)明. 解:直線a與c的位置關(guān)系有三種情況. 直線a與c可能平行,如圖;可能相交,如圖;可能異面,如圖.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思判定兩條直線的位置關(guān)系時(shí),若要判定直線平行或相交,可用平面幾何中的定義和方法來(lái)處理;判定異面直線的方法往往根據(jù)

8、連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線來(lái)判斷.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練1】 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,判斷下列直線的位置關(guān)系: (1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是; (2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是; (3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是; (4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是.,題型一,題型二,題型三,題型四,解析:對(duì)于(1),因?yàn)锳1D1B1C1,B1C1BC,所以A1D1BC,即四邊形A1D1CB為平行四邊形,所以A1BD1C. 對(duì)于(2),因?yàn)橹本€A1B平面A1B,B1平面A1B,且B1直線A1B

9、,直線CB1平面A1B,所以直線A1B與直線CB1為異面直線.同理(4)中直線AB與直線B1C也是異面直線;對(duì)于(3)直線D1D與直線D1C顯然相交. 答案:(1)平行(2)異面(3)相交(4)異面,題型一,題型二,題型三,題型四,【例2】 已知正方體ABCD-A1B1C1D1,E,F分別為AA1,CC1的中點(diǎn).求證:BFED1. 證明:如圖,取BB1的中點(diǎn)G,連接GC1,GE. 因?yàn)镕為CC1的中點(diǎn), 所以BGC1F,且BG=C1F, 即四邊形BGC1F為平行四邊形. 所以BFGC1. 又EGA1B1,A1B1C1D1,且EG=A1B1,A1B1=C1D1, 所以EGC1D1,且EG=C1D

10、1, 即四邊形EGC1D1為平行四邊形. 所以ED1GC1. 所以BFED1.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思證明兩條直線平行的方法: (1)平行線的定義; (2)三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等; (3)公理4.,題型一,題型二,題型三,題型四,【變式訓(xùn)練2】 如圖所示,P是ABC所在平面外一點(diǎn),D,E分別是PAB和PBC的重心.求證:DEAC.,題型一,題型二,題型三,題型四,證明 連接PD,PE并延長(zhǎng)分別交AB,BC于點(diǎn)M,N,如圖所示. 因?yàn)镈,E分別是PAB,PBC的重心,所以M,N分別是AB,BC的中點(diǎn),連接MN,則MNAC.在PMN中,因?yàn)?所以DEMN,所以DEAC.,題

11、型一,題型二,題型三,題型四,【例3】 已知E,E1分別是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱AD,A1D1的中點(diǎn),求證:BEC=B1E1C1. 證明:如圖,連接EE1. 因?yàn)镋,E1分別是AD,A1D1的中點(diǎn), 所以AEA1E1,且AE=A1E1, 即四邊形AEE1A1是平行四邊形. 所以AA1EE1,且AA1=EE1. 又AA1BB1,且AA1=BB1, 所以EE1BB1,且EE1=BB1,即四邊形BEE1B1是平行四邊形. 所以BEB1E1.同理可證CEC1E1. 又BEC與B1E1C1的兩邊方向相同,所以BEC=B1E1C1.,題型一,題型二,題型三,題型四,反思在立體幾何中,常利用等

12、角定理來(lái)證明兩個(gè)角相等,此時(shí)要注意觀察這兩個(gè)角的方向必須相同,且能證明它們的兩邊對(duì)應(yīng)平行.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,【例4】 如圖,在空間四邊形ABCD中,AB=CD,ABCD,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn),求EF和AB所成的角的大小.,題型一,題型二,題型三,題型四,題型一,題型二,題型三,題型四,反思1.求兩條異面直線所成的角的一般步驟: (1)作:根據(jù)所成角的定義,用平移法作出兩條異面直線所成的角; (2)證:證明作出的角就是要求的角; (3)計(jì)算:尋找或作出含有此角的三角形,求解計(jì)算; (4)結(jié)論:若求出的角是銳角或直角,則它就是所求異面直線所成的角;若求出的角是鈍角,則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角. 2.過(guò)一點(diǎn)作兩條異面直線所成的角時(shí),常把這個(gè)點(diǎn)取在其中一條直線上的特殊位置,或是圖形的特殊點(diǎn),這樣可方便于求這個(gè)角的大小. 3.三角形的中位線是立體幾何中常用到的線段,是解決立體幾何問(wèn)題最重要的輔助線.,題型一,題型二,題