華數(shù)五上第三講最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

1、第三講 最大公約數(shù)和最小公倍數(shù) 一基本概念和知識 1公約數(shù)和最大公約數(shù)幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)；其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)。2公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。3互質數(shù)如果兩個數(shù)的最大公約數(shù)是1，那么這兩個數(shù)叫做互質數(shù)。二例題例1：用一個數(shù)去除30、60、75，都能整除，這個數(shù)最大是多少？分析 要求的數(shù)去除30、60、75都能整除， 要求的數(shù)是30、60、75的公約數(shù)。 又 要求符合條件的最大的數(shù)， 就是求30、60、75的最大公約數(shù)。解：（30，60，75）=15所以，這個數(shù)最大是15。例2：一個數(shù)

2、用3、4、5除都能整除，這個數(shù)最小是多少？分析 由題意可知，要求求的數(shù)是3、4、5的公倍數(shù)，且是最小公倍數(shù)。解： 3，4，5=60， 用3、4、5除都能整除的最小的數(shù)是60。例3：有三根鐵絲，長度分別是120厘米、180厘米和300厘米?，F(xiàn)在要把它們截成相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最長多少厘米？一共可以截成多少段？分析 要截成相等的小段，且無剩八， 每段長度必是120、180、300的公約數(shù)； 又 每段要盡可能長， 要求的每段長度就是120、180、300的最大公約數(shù)。解： （120，180，300）=60， 每小段最長60厘米。 120601806030060=235=10（段）答：

3、每段最長60厘米，一共可以截成10段。例4：加工某種機器零件，要經(jīng)過三道工序。第一道工序每個工人每小時可完成3個零件，第二道工序每個工人每小時可完成10個，第三道工序每個工人每小時可完成5個。要使加工生產(chǎn)均衡，三道工序至少各分配幾個工人？分析 要使加工生產(chǎn)均衡，各道工序生產(chǎn)的零件總數(shù)應是3、10和5的公倍數(shù)。要求三道工序“至少”要多少工人，要先求3、10和5的最小公倍數(shù)。解： 3，10，5=30 各道工序均應加工30個零件。 303=10（人） 3010=3（人） 305=6（人）答：第一道工序至少要分配10人，第二道工序至少要分配3人，第三道工序至少要分配6人。例5：一次會餐供有三種飲料。餐

4、后統(tǒng)計，三種飲料共用了65瓶：平均每2個人飲用一瓶A飲料，每3個人飲用一瓶B飲料，每4個人飲用一瓶C飲料。問參加會餐的人數(shù)是多少人？分析 由題意可知，參加會餐人數(shù)應是2、3、4的公倍數(shù)。解： 2，3，4=12 參加會餐人數(shù)應是12的倍數(shù)。 又 122123124=13（瓶） 可見12個人要用6瓶A飲料，4瓶B飲料，3瓶C飲料，共用13瓶飲料。又 6513=5 參加會餐的總人數(shù)應是12的5倍。 125=60（人）答：參加會餐的總人數(shù)是60人。例6：一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘。要把它截成若干個同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大。問：這樣的正方形的邊長是多少厘米

5、？分析 由題意可知，正方形的邊長即是2703和1113的最大公約數(shù)。在學校，我們已經(jīng)學過用短除法求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，但有時會遇到類似此題情況，兩個數(shù)除了1以外的公約數(shù)一下子不好找到，但又不能輕易斷定它們是互質數(shù)。怎么辦？在此，我們以例6為例介紹另一種求最大公約數(shù)的方法。對于例6，可做如下圖解：從圖中可知：在長2703厘米、寬1113厘米的長方形紙的一端，依次裁去以寬（1113厘米）為邊長的正方形2個，在裁后剩下的長1113厘米、寬477厘米的長方形中，再裁去以寬（477厘米）為邊長的正方形2個，然后又在裁剩下的長方形（長477厘米，寬159厘米）中，以159厘米為邊長裁正方形，恰好裁成3個，

6、且無剩余。因此可知，159厘米是477厘米、1113厘米和2703厘米的約數(shù)，所以裁成同樣大的，且邊長盡可能長的正方形的邊長應是159厘米。所以，159厘米是2703和1113的最大公約數(shù)。讓我們把圖解過程轉化為計算過程，即： 27031113，商2余477； 1113477，商2余159； 477159，商3余0?；蛘邔憺椋?2703=21113477，1113=2477159，477=3159。當除數(shù)為0時，最后一個算式中的除數(shù)159就是原來兩個數(shù)2703和1113的最大公約數(shù)?？梢姡?77=1593，1113=15932159=1597，2703=15972477=159721593=1

7、5917。又因為7和17是互質數(shù)，所以159是2703和1113的最大公約數(shù)。我們把這種求最大公約數(shù)的方法叫做輾轉相除法。輾轉相除法的優(yōu)點在于它能在較短的時間內求出任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)。例7：用輾轉相除法求4811和1981的最大公約數(shù)。解：因為4811=21981849，1981=2849283，849=3283。 所以，（4811，1981）=283。 補充說明：如果要求三個或更多的數(shù)的最大公約數(shù)，可以先求出其中任意兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再求這個公約數(shù)與另外一個數(shù)的最大公約數(shù)，這樣求下去，直至求得最后結果。也可以直接觀察，依次試公有的質因數(shù)。例8：求1008、1260、882和1134四個

8、數(shù)的最大公約數(shù)是多少？解：因為（1260，1008）=252， （882，1134）=126， 又 （252，126）=126， 所以，（1008，1260，882，1134）=126。求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)，除了用短除法外，是否也有其他方法呢？請看例9。例9：兩個數(shù)的最大公約數(shù)是4，最小公倍數(shù)是252，其中一個數(shù)是28，另一個數(shù)是多少？解：設要求的數(shù)為x，則有： 所以，x=4y 28=47所以，28x=4y47又因為4是x和28的最大公約數(shù)，（y，7）=1，所以4y7是x和28的最小公倍數(shù)。所以，x28=4252所以，x=425228=36所以，要求的數(shù)是36。通過例9的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)：如

9、果用a和b表示兩個自然數(shù)，那么這兩個自然數(shù)的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)關系是：(a，b)a，b=ab.這樣，求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)的問題，即可轉化成先求兩個數(shù)的最大公約數(shù)，再用最大公約數(shù)除兩個數(shù)的積，其結果就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。例10：求21672和11352的最小公倍數(shù)。解：因為（21672，11352）=1032 （1032可用輾轉相除法求得） 所以，21672，11352=21672113521032=238392。答：21672和11352的最小公倍數(shù)是238392。習 題 三1 甲數(shù)是乙數(shù)的三分之一，甲數(shù)和乙數(shù)的最小公倍數(shù)是54，甲數(shù)是多少？乙數(shù)是多少？2 一塊長方形地面，長120米，寬60米，要在它的四周和四角種樹，每兩棵樹之間的距離相等，最少要種樹苗多少棵？每相鄰兩棵之間的距離是多少米？3 已知兩個自然數(shù)的積是5766，它們的最大公約數(shù)是31，求這兩個自然數(shù)。4 兄弟三人在外面工作，大哥6天回家一次，二哥8天回家一次，小弟12天回家一次。兄弟三人同時在十月一日回家，下一次三