2009年考研數(shù)學(xué)一試卷真題及答案解析

1、2009年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試部分?jǐn)?shù)學(xué)一試題答案解析一、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).（1）當(dāng)時(shí)，與等價(jià)無(wú)窮小，則. . . .【答案】 【解析】為等價(jià)無(wú)窮小，則 故排除。-1-111另外存在，蘊(yùn)含了故排除。所以本題選A。（2）如圖，正方形被其對(duì)角線劃分為四個(gè)區(qū)域，則. .【答案】A【解析】本題利用二重積分區(qū)域的對(duì)稱性及被積函數(shù)的奇偶性。兩區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，而，即被積函數(shù)是關(guān)于的奇函數(shù)，所以;兩區(qū)域關(guān)于軸對(duì)稱，而，即被積函數(shù)是關(guān)于的偶函數(shù)，所以；.所以正確答案為A.（3）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的圖形為：則

2、函數(shù)的圖形為【答案】 【解析】此題為定積分的應(yīng)用知識(shí)考核，由的圖形可見(jiàn)，其圖像與軸及軸、所圍的圖形的代數(shù)面積為所求函數(shù)，從而可得出幾個(gè)方面的特征：時(shí)，且單調(diào)遞減。時(shí)，單調(diào)遞增。時(shí)，為常函數(shù)。時(shí)，為線性函數(shù)，單調(diào)遞增。由于F(x)為連續(xù)函數(shù)結(jié)合這些特點(diǎn)，可見(jiàn)正確選項(xiàng)為。（4）設(shè)有兩個(gè)數(shù)列，若，則當(dāng)收斂時(shí)，收斂.當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散. 當(dāng)收斂時(shí)，收斂.當(dāng)發(fā)散時(shí)，發(fā)散.【答案】C【解析】方法一：舉反例 A取 B取 D取故答案為（C）方法二：因?yàn)閯t由定義可知使得時(shí)，有又因?yàn)槭諗?，可得則由定義可知使得時(shí)，有從而，當(dāng)時(shí)，有，則由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較判別法可知收斂。（5）設(shè)是3維向量空間的一組基，則由基到基的過(guò)渡矩陣為

3、. . .【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t稱為基到的過(guò)渡矩陣。則由基到的過(guò)渡矩陣滿足所以此題選。（6）設(shè)均為2階矩陣，分別為的伴隨矩陣，若，則分塊矩陣的伴隨矩陣為. .【答案】B【解析】根據(jù)，若分塊矩陣的行列式，即分塊矩陣可逆故答案為B。（7）設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，則. .【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以而，所以。?）設(shè)隨機(jī)變量與相互獨(dú)立，且服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，的概率分布為，記為隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則函數(shù)的間斷點(diǎn)個(gè)數(shù)為0.1. 2.3.【答案】 B【解析】獨(dú)立（1）若，則（2）當(dāng)，則為間斷點(diǎn)，故選（B）二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位

4、置上.（9）設(shè)函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥浚?0）若二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為，則非齊次方程滿足條件的解為 ?！敬鸢浮俊窘馕觥坑沙Ｏ禂?shù)線性齊次微分方程的通解為可知，為其線性無(wú)關(guān)解。代入齊次方程，有從而可見(jiàn)。微分方程為設(shè)特解代入， 特解 把 ， 代入，得 所求（11）已知曲線，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥坑深}意可知，則，所以（12）設(shè)，則 ?！敬鸢浮俊窘馕觥糠椒ㄒ唬悍椒ǘ河奢啌Q對(duì)稱性可知所以，（13）若3維列向量滿足，其中為的轉(zhuǎn)置，則矩陣的非零特征值為 ?！敬鸢浮?【解析】, 的非零特征值為2.(14)設(shè)為來(lái)自二項(xiàng)分布總體的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，和分別為樣本均值和樣本方差。若為的

5、無(wú)偏估計(jì)量，則 【答案】 【解析】為的無(wú)偏估計(jì) 三、解答題：1523小題，共94分.請(qǐng)將解答寫在答題紙指定的位置上.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.（15）（本題滿分9分）求二元函數(shù)的極值?！窘馕觥?故則而二元函數(shù)存在極小值（16）（本題滿分9分）設(shè)為曲線與所圍成區(qū)域的面積，記，求與的值。【解析】由題意，與在點(diǎn)和處相交，所以，從而由 取得（17）（本題滿分11分）橢球面是橢圓繞軸旋轉(zhuǎn)而成，圓錐面是過(guò)點(diǎn)且與橢圓相切的直線繞軸旋轉(zhuǎn)而成。（）求及的方程（）求與之間的立體體積?！窘馕觥浚↖）的方程為，過(guò)點(diǎn)與的切線為，所以的方程為。（II）記，由，記，則（18）（本題滿分11分）（）證明拉格朗日

6、中值定理：若函數(shù)在上連續(xù)，在可導(dǎo)，則存在，使得（）證明：若函數(shù)在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且，則存在，且?！窘馕觥浚ǎ┳鬏o助函數(shù)，易驗(yàn)證滿足：；在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且。根據(jù)羅爾定理，可得在內(nèi)至少有一點(diǎn)，使，即（）任取，則函數(shù)滿足；在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，從而有拉格朗日中值定理可得：存在，使得又由于，對(duì)上式（*式）兩邊取時(shí)的極限可得：故存在，且。（19）（本題滿分10分）計(jì)算曲面積分，其中是曲面的外側(cè)?！窘馕觥?，其中+=由于被積函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)（0，0，0）處不連續(xù)，作封閉曲面（外側(cè)）有（20）（本題滿分11分）設(shè)，（）求滿足的所有向量，（）對(duì)（）中的任一向量，證明：線性無(wú)關(guān)?！窘馕?/p>

7、】（）解方程 故有一個(gè)自由變量，令，由解得， 求特解，令，得 故 ，其中為任意常數(shù) 解方程 故有兩個(gè)自由變量，令，由得令，由得求特解 故 ，其中為任意常數(shù)（）證明：由于 故 線性無(wú)關(guān).（21）（本題滿分11分）設(shè)二次型（）求二次型的矩陣的所有特征值；（）若二次型的規(guī)范形為，求的值?！窘馕觥浚ǎ?（） 若規(guī)范形為，說(shuō)明有兩個(gè)特征值為正，一個(gè)為0。則1) 若，則 ， ，不符題意2) 若 ，即，則，符合3) 若 ，即，則 ，不符題意綜上所述，故（22）（本題滿分11分）袋中有1個(gè)紅色球，2個(gè)黑色球與3個(gè)白球，現(xiàn)有放回地從袋中取兩次，每次取一球，以分別表示兩次取球所取得的紅球、黑球與白球的個(gè)數(shù)。（）求；（）求二維隨機(jī)變量的概率分布。【解析】（）在沒(méi)有取白球的情況下取了一次紅球，利用壓縮樣本空間則相當(dāng)于只有1個(gè)紅球，2個(gè)黑球放回摸兩次，其中摸了一個(gè)紅球 （）X，Y取值范圍為0，1，2，故 XY01201/41/61/3611/31/9