分式方程的概念解法及應(yīng)用

1、 分式方程的解法及應(yīng)用一、目標(biāo)與策略 明確學(xué)習(xí)目標(biāo)及主要的學(xué)習(xí)方法是提高學(xué)習(xí)效率的首要條件，要做到心中有數(shù)！學(xué)習(xí)目標(biāo)：l 分式方程的概念以及解法；l 分式方程產(chǎn)生增根的原因；l 分式方程的應(yīng)用題。重點(diǎn)難點(diǎn)：l 重點(diǎn)：分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程的方法及其中的轉(zhuǎn)化思想，用分式方程解決實(shí)際問(wèn)題，能從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)量關(guān)系l 難點(diǎn)：檢驗(yàn)分式方程解的原因，實(shí)際問(wèn)題中數(shù)量關(guān)系的分析學(xué)習(xí)策略：l 經(jīng)歷“實(shí)際問(wèn)題分式方程整式方程”的過(guò)程，發(fā)展分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，滲透數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)。二、學(xué)習(xí)與應(yīng)用“凡事預(yù)則立，不預(yù)則廢”?？茖W(xué)地預(yù)習(xí)才能使我們上課聽(tīng)講更有目的性和針對(duì)性。我們要在預(yù)習(xí)的基礎(chǔ)

2、上，認(rèn)真聽(tīng)講，做到眼睛看、耳朵聽(tīng)、心里想、手上記。知識(shí)回顧復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)新知識(shí)之前，看看你的知識(shí)貯備過(guò)關(guān)了嗎？（一）什么叫方程？什么叫方程的解？答：含有 的 叫做方程使方程兩邊相等的 的值，叫做方程的解（二）分式的基本性質(zhì)：分式的分子與分母同乘（或除以）同一個(gè) ，分式的值不變，這個(gè)性質(zhì)叫做分式的基本性質(zhì)用式子表示是：（其中M是不等于0的整式）（三）等式的基本性質(zhì)：等式的兩邊都乘（或除以）同一個(gè)數(shù)或 （除數(shù)不能為0），所得的結(jié)果仍是等式。（四）解下列方程：（1）93x5x5；（2）知識(shí)要點(diǎn)預(yù)習(xí)和課堂學(xué)習(xí)認(rèn)真閱讀、理解教材，嘗試把下列知識(shí)要點(diǎn)內(nèi)容補(bǔ)充完整，帶著自己預(yù)習(xí)的疑惑認(rèn)真聽(tīng)課學(xué)習(xí)。請(qǐng)?jiān)谔摼€部分填寫(xiě)

3、預(yù)習(xí)內(nèi)容，在實(shí)線部分填寫(xiě)課堂學(xué)習(xí)內(nèi)容。課堂筆記或者其它補(bǔ)充填在右欄。詳細(xì)內(nèi)容請(qǐng)參看網(wǎng)校資源ID：#tbjx5#知識(shí)點(diǎn)一：分式方程的定義 里含有未知數(shù)的方程叫分式方程。要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的三個(gè)重要特征：是 ；含有 ；分母里含有 。（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有 （不是一般的字母系數(shù)），分母中含有未知數(shù)的方程是 ，不含有未知數(shù)的方程是 方程，如：關(guān)于的方程和都是 方程，而關(guān)于的方程和都是 方程。知識(shí)點(diǎn)二：分式方程的解法（一）解分式方程的基本思想把分式方程化為 方程，具體做法是“去分母”，即方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，然后利用整式方程的解法求解。（二）

4、解分式方程的一般方法和步驟（1） ，即在方程的兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，把原方程化為整式方程。（2）解這個(gè) 方程。（3） ：把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母，使最簡(jiǎn)公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡(jiǎn)公分母等于零的根是原方程的 。注：分式方程必須 ；增根一定適合分式方程轉(zhuǎn)化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的 為零。（三）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無(wú)意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取那些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著 不為零的條件。當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍 了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方

5、程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根。知識(shí)點(diǎn)三：分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是 ，它與學(xué)習(xí)一元一次方程時(shí)列方程解應(yīng)用題的基本思路和方法是一樣的，不同的是，表示關(guān)系的代數(shù)式是分式而已。一般地，列分式方程（組）解應(yīng)用題的一般步驟：（1） 題意；（2）設(shè) ；（3）根據(jù)題意找 關(guān)系，列出分式方程；（4）解分式方程，并驗(yàn)根；（5）檢驗(yàn)分式方程的根是否符合題意，并根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果寫(xiě)出答案知識(shí)點(diǎn)四：常見(jiàn)的實(shí)際問(wèn)題中等量關(guān)系（一）工程問(wèn)題（1）工作量 工作時(shí)間，；（2）完成某項(xiàng)任務(wù)的各工作量的和總工作量1（二）營(yíng)銷問(wèn)題（1）商品利潤(rùn)商品 一商品 ；（2）；（3）商品銷售額商品銷售價(jià)商品銷售量；（4）商

6、品的銷售利潤(rùn)（銷售價(jià)一成本價(jià)） （三）行程問(wèn)題（1）路程 時(shí)間，；（2）在航行問(wèn)題中，其中數(shù)量關(guān)系是：順?biāo)俣?水流速度，逆水速度靜水速度 ；（3）航空問(wèn)題類似于航行問(wèn)題經(jīng)典例題-自主學(xué)習(xí)認(rèn)真分析、解答下列例題，嘗試總結(jié)提升各類型題目的規(guī)律和技巧，然后完成舉一反三。若有其它補(bǔ)充可填在右欄空白處。更多精彩請(qǐng)參看網(wǎng)校資源ID：#jdlt0#類型一：分式方程的定義例1下列各式中，是分式方程的是（ ）A B C D.思路點(diǎn)撥：要逐個(gè)檢查是否符合分式方程的三個(gè)特征：A因?yàn)榉匠汤餂](méi)有 ，所以 分式方程；B雖然有分母，但是分母里沒(méi)有 ，所以 分式方程；C沒(méi)有 ，所以不是 ，它只是一個(gè) ；D具備分式方程的三個(gè)

7、特征，是 。 總結(jié)升華： 舉一反三：【變式】方程中，x為未知量，a，b為已知數(shù)，且，則這個(gè)方程（ ）A分式方程B一元一次方程 C二元一次方程D三元一次方程類型二：分式方程解的概念例2請(qǐng)選擇一組的值，寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于的形如的分式方程，使它的解是x0這樣的分式方程可以是 . 思路點(diǎn)撥：分式方程是 中含有 的 ，能夠使分式方程成立的未知數(shù)的值叫分式方程的 .總結(jié)升華： 舉一反三：【變式】在 中，哪個(gè)是分式方程的解，為什么？類型三：分式方程的解法例3 (2011北京房山一模)解方程： 思路點(diǎn)撥：在解分式方程的時(shí)候，要把分式方程變?yōu)?方程。原方程的兩邊都要乘 ，方程等號(hào)右邊的常數(shù)1也必須乘 。在找最簡(jiǎn)公分母

8、的時(shí)候有時(shí)需要先把分式方程變形?？偨Y(jié)升華： 例4. 已知分式方程的解為非負(fù)數(shù)，求的取值范圍?思路點(diǎn)撥：解這個(gè)分式方程即可，注意去分母后所得整式方程的解是非負(fù)數(shù)，且不等于1.舉一反三：【變式1】解方程：（1）， （2）2.【變式2】當(dāng)為何值時(shí)，關(guān)于的方程的解是0？ 類型四：增根的應(yīng)用例5.當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根？會(huì)無(wú)解?思路點(diǎn)撥：增根是分式方程去分母后的整式方程的根，它使最簡(jiǎn)公分母得_，且只適合_，所以只需把可能出現(xiàn)的增根代入該整式方程中，就可以求得對(duì)應(yīng)的m的值而分式方程無(wú)解有兩種情況，一是去分母后的整式方程的根都是_，二是此整式方程_總結(jié)升華： 舉一反三：【變式1】當(dāng)m為何值時(shí)，

9、方程會(huì)產(chǎn)生增根( )A. 2 B. 1 C. 3 D.3分析：分式方程，去分母得_，將增根_代入，得m?！咀兪?】.若方程無(wú)解，則m。類型五：分式方程的應(yīng)用（一）工程類應(yīng)用性問(wèn)題例6.某項(xiàng)工程限期完成，甲隊(duì)獨(dú)做正好按期完成，乙隊(duì)獨(dú)做則要誤期3天，現(xiàn)兩隊(duì)合作2天后，留下的工程再由乙隊(duì)獨(dú)做，也正好在限期內(nèi)完成，問(wèn)該工程期限是多少天？ 思路點(diǎn)撥：若設(shè)工期為x天，將總工程量設(shè)為“1”，則甲效為_(kāi)；乙單獨(dú)做需(x+3)天，乙效為_(kāi).(法1)甲共做2天，乙共做x天，可將工作完成；(法2)乙獨(dú)做多用的_天完成的工作量，相當(dāng)于甲_天做的。舉一反三：【變式1】?jī)蓚€(gè)工程隊(duì)共同參與一項(xiàng)筑路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工1個(gè)月完

10、成總工程的三分之一，這時(shí)增加了乙隊(duì)，兩隊(duì)又共同工作了半個(gè)月，總工程全部完成，哪個(gè)隊(duì)的施工速度快？ 分析：甲1個(gè)月完成1/3，即甲效率為1/3，或理解為甲單獨(dú)做3個(gè)月完成，所以甲實(shí)際做1.5個(gè)月完成了1/2的工程，另外的1/2的工程由乙半個(gè)月完成，可見(jiàn)乙的效率為甲的3倍，顯見(jiàn)乙的工效快。上述是計(jì)算的方法，以下為方程方法?！咀兪?】今年某大學(xué)在招生錄取時(shí)，為了防止數(shù)據(jù)輸入出錯(cuò)，2640名學(xué)生的成績(jī)數(shù)據(jù)分別由兩位教師向計(jì)算機(jī)輸入一遍，然后讓計(jì)算機(jī)比較兩人的輸入是否一致.已知教師甲的輸入速度是教師乙的2倍，結(jié)果甲比乙少用2小時(shí)輸完.問(wèn)這兩位教師每分鐘各能輸入多少名學(xué)生的成績(jī)？（二）行程中應(yīng)用性問(wèn)題例7

11、甲、乙兩地相距828km，一列普通快車與一列直達(dá)快車都由甲地開(kāi)往乙地，直達(dá)快車的平均速度是普通快車平均速度的1.5倍直達(dá)快車比普通快車晚出發(fā)2h，比普通快車早4h到達(dá)乙地，求兩車的平均速度思路點(diǎn)撥：這是一道實(shí)際生活中的行程應(yīng)用題，基本量是路程、速度和時(shí)間，基本關(guān)系是：路程速度時(shí)間，應(yīng)根據(jù)題意，找出追擊問(wèn)題中的等量關(guān)系總結(jié)升華： 舉一反三：【變式1】一隊(duì)學(xué)生去校外參觀他們出發(fā)30分鐘時(shí)，學(xué)校要把一個(gè)緊急通知傳給帶隊(duì)老師，派一名學(xué)生騎車從學(xué)校出發(fā)，按原路追趕隊(duì)伍若騎車的速度是隊(duì)伍行進(jìn)速度的2倍，這名學(xué)生追上隊(duì)伍時(shí)離學(xué)校的距離是15千米，問(wèn)這名學(xué)生從學(xué)校出發(fā)到追上隊(duì)伍用了多少時(shí)間？【變式2】輪船在順

12、水中航行30千米的時(shí)間與在逆水中航行20千米所用的時(shí)間相等，已知水流速度為2千米時(shí)，求船在靜水中的速度（三）營(yíng)銷類的應(yīng)用性問(wèn)題例8某校辦工廠將總價(jià)值為2000元的甲種原料與總價(jià)值為4800元的乙種原料混合后，其平均價(jià)比原甲種原料每0.5kg少3元，比乙種原料每0.5kg多1元，問(wèn)混合后的單價(jià)每0.5kg是多少元？思路點(diǎn)撥：市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，常遇到營(yíng)銷類應(yīng)用性問(wèn)題，與價(jià)格有關(guān)的是：?jiǎn)蝺r(jià)、總價(jià)、平均價(jià)等，要了解它們的意義，建立它們之間的關(guān)系式總結(jié)升華： 舉一反三：【變式】A、B兩位采購(gòu)員同去一家飼料公司購(gòu)買同一種飼料兩次，兩次飼料的價(jià)格有變化，但兩位采購(gòu)員的購(gòu)貨方式不同其中，采購(gòu)員A每次購(gòu)買1000千克

13、，購(gòu)貸員B每次用去800元，而不管購(gòu)買飼料多少，問(wèn)選用誰(shuí)的購(gòu)貨方式合算？三、總結(jié)與測(cè)評(píng)要想學(xué)習(xí)成績(jī)好，總結(jié)測(cè)評(píng)少不了！課后復(fù)習(xí)是學(xué)習(xí)不可或缺的環(huán)節(jié)，它可以幫助我們鞏固學(xué)習(xí)效果，彌補(bǔ)知識(shí)缺漏，提高學(xué)習(xí)能力?？偨Y(jié)規(guī)律和方法強(qiáng)化所學(xué)認(rèn)真回顧總結(jié)本部分內(nèi)容的規(guī)律和方法，熟練掌握技能技巧。相關(guān)內(nèi)容請(qǐng)參看網(wǎng)校資源ID：#tbjx13#（一）一般地，解分式方程時(shí)，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母為0，因此應(yīng)如下檢驗(yàn)：將整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，如果最簡(jiǎn)公分母的值不為 ，則整式方程的解是原分式方程的解，否則，這個(gè)解不是原分式方程的解（二）列方程（組）解應(yīng)用題，在弄清題意后，接著就是設(shè)未知數(shù)，設(shè)未知數(shù)

14、對(duì)后面列方程起著關(guān)鍵作用，對(duì)于一道應(yīng)用題，首先考慮設(shè)直接未知數(shù)，如果設(shè)直接未知數(shù)不奏效，就應(yīng)考慮設(shè)間接未知數(shù)，就是把一個(gè)不是題目中最后要求的未知量設(shè)為未知數(shù)，求出該數(shù)后，再求出要求的數(shù)成果測(cè)評(píng)現(xiàn)在來(lái)檢測(cè)一下學(xué)習(xí)的成果吧！請(qǐng)到網(wǎng)校測(cè)評(píng)系統(tǒng)和模擬考試系統(tǒng)進(jìn)行相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的測(cè)試。知識(shí)點(diǎn)：可化為一元一次方程的分式方程及其應(yīng)用測(cè)評(píng)系統(tǒng)分?jǐn)?shù)： 模擬考試系統(tǒng)分?jǐn)?shù)： 如果你的分?jǐn)?shù)在80分以下，請(qǐng)進(jìn)入網(wǎng)校資源ID：#cgcp0#，做基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)部分的練習(xí)，如果你的分?jǐn)?shù)在80分以上，你可以進(jìn)行能力提升題目的測(cè)試。自我反饋學(xué)完本節(jié)知識(shí)，你有哪些新收獲？總結(jié)本節(jié)的有關(guān)習(xí)題，將其中的好題及錯(cuò)題分類整理。如有問(wèn)題，請(qǐng)到北京四中網(wǎng)校的“名師答疑”或“互幫互學(xué)”交流。我的收獲習(xí)題整理題目或題目出處所屬類型或知識(shí)點(diǎn)分析及注意問(wèn)題好題錯(cuò)題注：本表格為建議樣式，請(qǐng)同學(xué)們單獨(dú)建立錯(cuò)題本，或者使用