大學物理-剛體運動學幻燈片.ppt

1、質(zhì)點動力學小結(jié),在空間上的累積：功 機械能,在時間上的累積：沖量 動量定理,機械能守恒,動量守恒,功能原理,動能原理,動量定理,勢能：,質(zhì)心：,變質(zhì)量動力學基本方程：,質(zhì)心運動定理：,剛體運動隨處可見,摩天輪是一種具有水平轉(zhuǎn)軸、能在鉛垂平面內(nèi)回轉(zhuǎn)的裝置。輪盤和座艙的運動各有什么樣的特點?如何描述?,“倫敦眼”（高135米） 坐落在倫敦泰晤士河畔，是倫敦的地標性建筑。,千禧之輪,第5章 剛體運動學,5.1 剛體和自由度的概念,一. 剛體,特殊的質(zhì)點系，, 理想化模型,形狀和體積不變化,在力作用下，組成物體的所有質(zhì)點間的距離始終保持不變,二. 自由度,確定物體的位置所需要的獨立坐標數(shù), 物體的自由

2、度數(shù),s,O,i = 1,x,y,z,O,( x , y , z ),i = 3,i = 2,x,y,z,O,i = 3+2+1= 6,當剛體受到某些限制 自由度減少,5.2 剛體的平動,剛體運動時，若在剛體內(nèi)所作的任一條直線都始終保持和自身平行, 剛體平動,平動的特點:,(1) 剛體中各質(zhì)點的運動情況相同,(2) 剛體的平動可歸結(jié)為質(zhì)點運動,平動運動剛體的自由度？,一大型回轉(zhuǎn)類“觀覽圓盤”如圖所示。圓盤的半徑R=25 m，供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圓盤繞水平軸均速轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)速為0.1 r/min。,例,解,求 吊箱底部A點的軌跡及A點的速度和加速度的大小。,吊箱平動,（10分鐘一圈）,

3、6.3 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動,z,M,I,II,P,角坐標,一. 描述 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的角量,剛體的平動和繞定軸轉(zhuǎn)動是剛體的兩種最簡單最基本運動,剛體內(nèi)各點都繞同一直線(轉(zhuǎn)軸)作圓周運動_剛體轉(zhuǎn)動,轉(zhuǎn)軸固定不動, 定軸轉(zhuǎn)動,(運動學方程),角速度,角加速度,二. 定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度和加速度,當,與質(zhì)點的勻加速直線運動公式相似,P,剛體,參考方向,z,O,r,基點O,任意點都繞同一軸作圓周運動, 且 ， 都相同,速度與角速度的矢量關系式,加速度與角加速度的矢量關系式,定軸,P,剛體,參考方向,z,O,r,基點O,瞬時軸,第6章 剛體動力學,貓習慣于在陽臺上睡覺，因而從陽臺上掉下來的事情時有發(fā)生。

4、長期的觀察表明貓從高層樓房的陽臺掉到樓外的人行道上時，受傷的程度將隨高度的增加而減少，為什么會這樣呢？,一. 力矩,力,改變剛體的轉(zhuǎn)動狀態(tài),剛體獲得角加速度,力 F 對z 軸的力矩(力在垂直于軸的平面內(nèi)),質(zhì)點獲得加速度,改變質(zhì)點的運動狀態(tài),？,h,A,力 F 對z 軸的力矩(力不在垂直于軸的平面內(nèi)),力矩取決于力的大小、方向和作用點,在剛體的定軸轉(zhuǎn)動中，力矩只有兩個指向（r F右手螺旋）,6.1 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律,結(jié)論：,(1) 力對點的力矩,O .,力對軸的力矩,(2)力對任意點的力矩，在通過該點的任一軸上的投影，等于該力對該軸 的力矩,討論,(3)什么情況下，力對點的力矩，等于該力對(

5、過該點)的軸的力矩,力對點的力矩在通過該點的軸上的投影，等于該力對該軸的力矩,A,結(jié)論與O在 軸上的位置無關.,m,若 ，則,對Pi :,兩邊同乘以 ri ：,切向：,對剛體中所有質(zhì)點求和,法向：.,二. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律,所以,合外力矩,（剛體的轉(zhuǎn)動慣量）,（剛體定軸轉(zhuǎn)動定律）,剛體定軸轉(zhuǎn)動定律中的M、轉(zhuǎn)動慣量J和角加速度三個物 理量都是相對于同一轉(zhuǎn)軸而言的；,討論,剛體定軸轉(zhuǎn)動定律中的M是作用在剛體上所有外力力矩的總和；,定軸轉(zhuǎn)動定律是力矩的瞬時作用規(guī)律，也可以寫成矢量關系式：,剛體定軸轉(zhuǎn)動定律是剛體定軸轉(zhuǎn)動動力學的基本方程，如 同質(zhì)點力學中的 ；,三. 轉(zhuǎn)動慣量,對質(zhì)量連續(xù)分布的剛體,

6、對質(zhì)量離散分布的質(zhì)點系,計算轉(zhuǎn)動慣量的基本公式,質(zhì)量線分布，為線密度( ),質(zhì)量面分布，為面密度( ),質(zhì)量體分布，為體密度( ),剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律,6.1 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動定律,在細桿上x 處取線元dx,(1) 取如圖所示的坐標,細桿對過中點的垂直轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為,試求質(zhì)量為m，長為l 的均質(zhì)細桿對如下給定軸的轉(zhuǎn)動慣量。 (1) 轉(zhuǎn)軸垂直于桿并通過桿的中點； (2) 轉(zhuǎn)軸垂直于桿并通過桿的一端。,解,(2) 以細桿的一端 為坐標原點，取如圖所示的坐標,例,線元的質(zhì)量為,則此時的轉(zhuǎn)動慣量為：,圓環(huán)上各線質(zhì)量元dm到轉(zhuǎn)軸的距離均為R，所以有,試求一質(zhì)量為m，半徑為R的均質(zhì)細圓環(huán)對通過其中心

7、且垂直于環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。,在圓環(huán)上任取質(zhì)量元dm，則,解,例,討論,質(zhì)量不均勻細圓環(huán)？,任取一半徑為r，寬度dr的圓環(huán)。,看成是許多半徑不同的同心圓環(huán)的集合：,試求半徑為R ，質(zhì)量為m的均質(zhì)薄圓盤，對過盤心且垂直于盤面的軸的轉(zhuǎn)動慣量。,解,例,圓環(huán)的質(zhì)量為:,圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量為,則整個圓盤的轉(zhuǎn)動慣量為,討論,質(zhì)量分布對轉(zhuǎn)動慣量的影響？,均質(zhì)厚圓盤？,(2) 剛體的總質(zhì)量：,影響轉(zhuǎn)動慣量J大小的三個因素,(1) 剛體的轉(zhuǎn)軸位置：,(3) 質(zhì)量相對轉(zhuǎn)軸的分布：,轉(zhuǎn)動慣量疊加定理,z,L,C,M,z,(1) 平行軸定理,:剛體繞任意軸的轉(zhuǎn)動慣量,:剛體繞通過質(zhì)心的軸,:兩軸間垂直距離,平行軸定理

8、證明：,C,z,M,z,ro,ri,L,mi,x,O,例 均勻薄圓盤的轉(zhuǎn)動慣量,求,(薄板)垂直軸定理,x,y軸在薄板內(nèi)； z 軸垂直薄板。,解,常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量,四. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律的應用,(1) 飛輪的角加速度,(2) 如以重量P =98 N的物體掛在繩端，試計算飛輪的角加速,解 (1),(2),兩者區(qū)別,例,求,一輕繩繞在半徑 r =20 cm 的飛輪邊緣，在繩端施以F=98 N 的拉力，飛輪的轉(zhuǎn)動慣量 J=0.5 kgm2，飛輪與轉(zhuǎn)軸間的摩擦不計，繩與滑輪間無相對滑動，(見圖),滑塊A、重物B的質(zhì)量分別為m1和m2，用一輕繩相連，繩子跨過質(zhì)量為m3、半徑為r的定滑輪C（可視為均質(zhì)圓

9、盤）。滑塊A與水平桌面間的滑動摩擦系數(shù)為k，滑輪與軸之間的摩擦可忽略不計，不可伸縮的輕繩與滑輪之間無相對滑動。,的力矩：,受力分析,的力矩：,例,解,力矩分析, 取如圖所示的正方向,列動力學方程,若重物B下降時，滑塊A的加速度a及繩中的張力。,求,對滑輪C:,對滑塊A ：,對重物B：,且,求解以上方程，得,討論：,如圖，一鐘擺由長度為l，質(zhì)量為m1的均質(zhì)細桿和固定在其一端的質(zhì)量為m2的擺球（可以看作質(zhì)點）構(gòu)成。鐘擺可繞過桿另一端的固定軸無摩擦地擺動，開始時把它放置于水平位置，并處于靜止狀態(tài)，然后讓它自由下落。,受力分析如圖,鐘擺所受的合外力矩（重力的力矩）,例,解,求,放手后鐘擺擺到角位置時的

10、角加速度和角速度。,鐘擺系統(tǒng)的總轉(zhuǎn)動慣量,由剛體定軸轉(zhuǎn)動定律，有,而,勻質(zhì)圓盤以 0 在水平桌面上轉(zhuǎn)動,受摩擦力而靜止,滑動摩擦系數(shù)為 .,解,例,求 到圓盤靜止所需時間,取一質(zhì)元,摩擦力矩,由轉(zhuǎn)動定律,例 一個剛體系統(tǒng)，如圖所示，,已知，轉(zhuǎn)動慣量,，現(xiàn)有一水平力 F 作用于距軸為 l 處,求 軸對棒的作用力（也稱軸反力）。,解,設軸對棒的作用力為 N,由質(zhì)心運動定理,打擊中心,質(zhì)心運動定理與轉(zhuǎn)動定律聯(lián)用,質(zhì)點系,由轉(zhuǎn)動定律,討論：,6.2 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的功能關系,主要內(nèi)容：,1. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能,2. 力矩的功,3. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理,4. 剛體的重力勢能,5. 含有剛體

11、的力學系統(tǒng)的機械能守恒定律,一. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能,對剛體上所有質(zhì)點的動能求和,在剛體上任取一質(zhì)點Pi,質(zhì)點Pi的動能為,（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能）,討論,與質(zhì)點的動能相比較，也可看出轉(zhuǎn)動慣量J的地位對應于質(zhì) 點的質(zhì)量m。,應用：穩(wěn)速、儲能 磁懸浮飛輪儲能UPS,6.2 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的功能關系,一. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能,對剛體上所有質(zhì)點的動能求和,在剛體上任取一質(zhì)點Pi,質(zhì)點Pi的動能為,（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能）,討論,與質(zhì)點的動能相比較，也可看出轉(zhuǎn)動慣量J的地位對應于質(zhì) 點的質(zhì)量m。,應用：穩(wěn)速、儲能 磁懸浮飛輪儲能UPS,6.2 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的功能關系,二. 力矩的

12、功,O,功的定義,力矩作功的微分形式,對一有限過程,若 M = C,( 積分形式 ）,力的累積過程力矩的空間累積效應,P,(力矩的功就是力的功),討論,(1) 外力矩功的總和,(2) 內(nèi)力矩作功之和為零。,(3) 力矩的功率,設在合外力矩M的作用下,三. 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 合力矩功的效果,（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動動能定理的微分形式）,當剛體角速度從t1時刻的1改變?yōu)閠2時刻的2時，合外力矩對剛體所作的功為,（剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理）,合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體始、末兩個狀態(tài)轉(zhuǎn)動動能的增量。,若以hC表示質(zhì)心到零勢能面的高度，則,剛體的重力勢能與其質(zhì)量全部集中在質(zhì)心上的質(zhì)點相同

13、。,以xOy 平面為重力勢能零參考面,四. 剛體的重力勢能,對剛體中所有質(zhì)點的勢能求和,結(jié)論：,3.4.5 含有剛體的力學系統(tǒng)的機械能,（機械能守恒定律）,當 A外 + A非保內(nèi) = 0 時，有,對含有剛體的力學系統(tǒng)，機械能守恒條件不變,定軸轉(zhuǎn)動剛體的機械能: 轉(zhuǎn)動動能、重力勢能.,例 一根長為 l ，質(zhì)量為 m 的均勻細直棒，可繞軸 O 在豎直平 面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置,解,由動能定理,求 它由此下擺 角時的 ,此題也可用機械能守恒定律方便求解,例 一根長為 l ，質(zhì)量為 m 的均勻細直棒，可繞 水平光滑軸O 在 豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，初始時它在水平位置.,求 它由此下擺 角時的 ,系統(tǒng)機械

14、能守恒（棒、地球）。,重力勢能零點：取細桿的水平位置.,則有,由此解得,解,圖示裝置可用來測量物體的轉(zhuǎn)動慣量。待測物體A裝在轉(zhuǎn)動架上，轉(zhuǎn)軸Z上裝一半徑為r 的輕鼓輪，繩的一端纏繞在鼓輪上，另一端繞過定滑輪懸掛一質(zhì)量為 m 的重物。重物下落時，由繩帶動被測物體 A 繞 Z 軸轉(zhuǎn)動。今測得重物由靜止下落一段距離 h，所用時間為t，,例,解,分析（機械能）：,求 物體A對Z 軸的轉(zhuǎn)動慣量Jz。設繩子不可伸縮，繩子、各滑輪的質(zhì)量及輪軸處的摩擦力矩忽略不計。,機械能守恒,若滑輪質(zhì)量不可忽略，怎樣？,如圖，系統(tǒng)由靜止開始釋放，釋放時彈簧處于自然狀態(tài)。已知滑輪半徑為 r = 0.3m ，轉(zhuǎn)動慣量為 J =

15、0.5kgm2。滑塊的質(zhì)量為 m = 2kg ，斜面傾角為 = 370 ，彈簧的勁度系數(shù)為 k = 20Nm-1 ?；瑝K與斜面、滑輪與軸承之間的摩擦均可忽略不計，輕繩不可伸長，與滑輪之間沒有相對滑動。,(1) 當滑塊沿斜面滑下 1.0m時，它的速率多大？ (2) 滑塊沿斜面將下滑多遠？ (3) 當滑塊速率達到最大值時，它已滑下多遠？,例,解,求,滑塊沿斜面下滑距離為x時, 有,取彈簧、滑輪、滑塊、地球為研究系統(tǒng)，系統(tǒng)機械能守恒。,勢能零點:滑塊的初始位置 彈簧自然長度,（參 數(shù)）,r = 0.3m ， J = 0.5kgm2， m = 2kg ， = 370 ， k = 20Nm-1,任意位置

16、時滑塊的速率為,(1) 當x = 1.0m時，速率為,(2) 當x = xmax時，滑塊速率為零,(3) 當滑塊速率達到最大值時，有,則當x = 0.6 m 時，速率為,另解：,一. 質(zhì)點動量矩 (角動量)定理和動量矩守恒定律,1. 質(zhì)點的動量矩(對O點),大?。?特例： （質(zhì)點作圓周運動）,6.3 動量矩和動量矩守恒定律,O,S,方向：？,(1) 質(zhì)點的動量矩與質(zhì)點的動量及位矢(與固定點的選擇)有關。,說明,(2) 質(zhì)點對軸的動量矩：當質(zhì)點作平面運動時，質(zhì)點對運動平面內(nèi)某參考點O 的動量矩也稱為質(zhì)點對過O 垂直于運動平面的軸的動量矩,(3) 質(zhì)點對某點的動量矩,在通過該點的任意軸上的投影就等

17、于質(zhì)點對該軸的動量矩,例,一質(zhì)點m，速度為v，如圖所示，A、B、C 分別為三個參考點,此時m 相對三個點的距離分別為d1 、d2 、 d3,解,求 此時刻質(zhì)點對三個參考點的動量矩的大小,求方向？,例,z,A,O,方向：,(動量矩定理的積分形式),(動量矩定理的微分形式),2. 質(zhì)點的動量矩定理,沖量矩,質(zhì)點所受合力矩的沖量矩等于質(zhì)點的動量矩的增量,說明,沖量矩是質(zhì)點動量矩變化的原因,質(zhì)點動量矩的變化是力矩對時間的積累結(jié)果,3. 質(zhì)點 動量矩守恒定律,質(zhì)點動量矩守恒,(1) 守恒條件,(2) 有心力的動量矩守恒。,討論,M,O,應用：,mv1,mv2,由動量矩守恒定律可導出行星運動的開普勒第二定

18、律,行星對太陽的位矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積,當飛船靜止于空間距行星中心 4 R 時，以速度v 0發(fā)射一,求 角及著陸滑行時的速度多大？,解,引力場（有心力）,質(zhì)點的動量矩守恒,系統(tǒng)的機械能守恒,例 發(fā)射一宇宙飛船去考察一 質(zhì)量為 M 、半徑為 R 的行星.,質(zhì)量為 m 的儀器。要使該儀器恰好掠過行星表面,剛體的轉(zhuǎn)動動能和動能定理,1. 轉(zhuǎn)動動能,2. 力矩的功,3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理,剛體的機械能,質(zhì)點的動量矩定理和動量矩守恒,1. 質(zhì)點的動量矩(對O點),2. 質(zhì)點的動量矩定理,3. 質(zhì)點 動量矩守恒定律,質(zhì)點 動量矩守恒的分量形式,例,關于 O 點？,關于 A 點？,關于 Z

19、軸？,二.質(zhì)點系的動量矩定理和動量矩守恒定律,質(zhì)點系對參考點O 的動量矩就是質(zhì)點系所有質(zhì)點對同一參考點的動量矩的矢量和,以質(zhì)心 C 為動參照系的原點,，對第 i 個質(zhì)點：,，則,設其相對于質(zhì)心的位置矢量為,，速度為,1. 質(zhì)點系的動量矩,O,C,質(zhì)點系的動量矩可分為兩項：,第一項：只包含系統(tǒng)的總質(zhì)量、質(zhì)心的位矢和質(zhì)心的速度 .,軌道角動量:反映了整個質(zhì)點系繞參考點的旋轉(zhuǎn)運動.,第二項：是質(zhì)點系各質(zhì)點相對于質(zhì)心的角動量的矢量和,自旋角動量:它只代表系統(tǒng)的內(nèi)稟性質(zhì)，與質(zhì)心運動無關。 （地球）.,說明,C,2. 質(zhì)點系的動量矩定理,微分形式,積分形式,質(zhì)點系所受合外力矩的沖量矩等于質(zhì)點系動量矩的增量

20、,說明,質(zhì)點系的內(nèi)力矩不能改變質(zhì)點系的動量矩,3. 質(zhì)點系動量矩守恒定律,對質(zhì)點系,投影形式,演示,4. 質(zhì)點系角動量在 z 軸的投影（關于 z 軸角動量）,A,若質(zhì)點作平面運動，z 軸垂直運動平面，則,結(jié)論與O在 軸上的位置無關.,質(zhì)點系：,（各部分的含義？）,m,（針對剛體進行討論）,三. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理和動量矩守恒定律,1. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩,剛體對轉(zhuǎn)動軸的動量矩 ,剛體上任一質(zhì)點對 Z 軸的動量矩為,O,(定軸轉(zhuǎn)動剛體對Z軸的動量矩),方向相同。,2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理,（動量矩定理積分形式）,定軸轉(zhuǎn)動剛體所受合外力矩的沖量矩等于其動量矩的增量,說明,3. 剛體定

21、軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律,對定軸轉(zhuǎn)動剛體,變形體繞某軸轉(zhuǎn)動時，動量矩守恒，則,動量矩守恒舉例,花樣滑冰 跳水 芭蕾舞等,貓習慣于在陽臺上睡覺，因而從陽臺上掉下來的事情時有發(fā)生。長期的觀察表明貓從高層樓房的陽臺掉到樓外的人行道上時，受傷的程度將隨高度的增加而減少，據(jù)報導有只貓從32層樓掉下來也僅僅只有胸腔和一顆牙齒有輕微的損傷。為什么會這樣呢？,證明：一個做勻速直線運動的質(zhì)點，對任一固定點的動量 矩不隨時間變化。,O,h,例,證,例 一均質(zhì)棒，長度為 L，質(zhì)量為M，現(xiàn)有一子彈在距軸為 y 處水平射入細棒，子彈的質(zhì)量為 m ,速度為 v0 。,求 子彈細棒共同的角速度 。,解,其中,m,討論 水平方

22、向動量守恒,子彈、細棒系統(tǒng)的動量矩守恒,？,？,質(zhì)點的動量矩定理和動量矩守恒,1. 質(zhì)點的動量矩(對O點),O,2. 質(zhì)點的動量矩定理,3. 質(zhì)點 動量矩守恒定律,質(zhì)點 動量矩守恒的分量形式,質(zhì)點系的動量矩,質(zhì)點系的動量矩定理,(內(nèi)力矩不能改變質(zhì)點系的動量矩),質(zhì)點系動量矩守恒定律,質(zhì)點系動量矩 z 軸分量,剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩,剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理,剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律,動量矩守恒定律在工程技術上的應用,陀螺儀與導航,支架S 外環(huán) 陀螺G 內(nèi)環(huán),陀螺儀：能夠繞其對稱軸高速 旋轉(zhuǎn)的厚重的對稱剛體。,陀螺儀的特點：具有軸對稱性和繞對稱軸有較大的轉(zhuǎn)動慣量。,陀螺儀的定向特性：由于不受外

23、力矩作用，陀螺角動量的大小和方向都保持不變；無論怎樣改變框架的方向，都不能使陀螺儀轉(zhuǎn)軸在空間的取向發(fā)生變化。,演示,直升機螺旋槳的設置,尾槳的設置：直升機發(fā)動后機身要在旋翼旋轉(zhuǎn)相反方向旋轉(zhuǎn)，產(chǎn)生一個向下的角動量。為了不讓機身作這樣的反向旋轉(zhuǎn)，在機身尾部安裝一個尾槳，尾槳的旋轉(zhuǎn)在水平面內(nèi)產(chǎn)生了一個推力，以平衡單旋翼所產(chǎn)生的機身扭轉(zhuǎn)作用。,對轉(zhuǎn)螺旋槳的設置：雙旋翼直升機則無需尾槳，它在直立軸上安裝了一對對轉(zhuǎn)螺旋槳，即在同軸心的內(nèi)外兩軸上安裝了一對轉(zhuǎn)向相反的螺旋槳。工作時它們轉(zhuǎn)向相反，保持系統(tǒng)的總角動量仍然為零。,演示,四. 進動,高速自轉(zhuǎn)的陀螺在陀螺重力對支點O 的力矩作用下發(fā)生進動,陀螺的動量矩

24、近似為,動量矩定理,由于,因而,只改變方向，不改變大小(進動), 進動角速度,而且,所以,以上只是近似討論，只適用高速自轉(zhuǎn)，即,動量矩定理,進動方向的討論.,剛體運動學,剛體平動的特點:,剛體中各質(zhì)點的運動情況相同;可歸結(jié)為質(zhì)點運動.,剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的特點:,剛體中各質(zhì)點均作圓周運動。,(運動學方程),定軸轉(zhuǎn)動剛體上各點的速度和加速度,剛體動力學,轉(zhuǎn)動定律,轉(zhuǎn)動慣量,平行軸定理,(薄板)垂直軸定理,剛體的轉(zhuǎn)動動能和動能定理,1. 轉(zhuǎn)動動能,2. 力矩的功,3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理,質(zhì)點的動量矩定理和動量矩守恒,1. 質(zhì)點的動量矩(對O點),2. 質(zhì)點的動量矩定理,3. 質(zhì)點 動量矩守恒定律

25、,質(zhì)點 動量矩守恒的分量形式,質(zhì)點系的動量矩,質(zhì)點系的動量矩定理,(質(zhì)點系的內(nèi)力矩不能改變質(zhì)點系的動量矩),質(zhì)點系動量矩守恒定律,剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩,剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩定理,剛體定軸轉(zhuǎn)動的動量矩守恒定律,一質(zhì)量為m，長度為l的均質(zhì)細桿可繞一水平軸自由轉(zhuǎn)動。開始時桿子處于鉛垂狀態(tài)?，F(xiàn)有一質(zhì)量為m0的橡皮泥以速度v0與細桿在其3l/4處發(fā)生完全非彈性碰撞且和桿子粘在一起。,(1) 碰撞后系統(tǒng)的角速度； (2) 碰撞后細桿能上擺的最大角度q0。,(1)碰撞過程系統(tǒng)的合外力矩為零，系統(tǒng)的角動量守恒,例,解,求,有,(2) 上擺過程機械能守恒，則有,如圖，在光滑水平面上放一質(zhì)量為m、長為l的均質(zhì)細棒

26、，細棒可繞中心固定的光滑豎直軸轉(zhuǎn)動，細棒開始靜止。若有一質(zhì)量為m0 的小球，以垂直于細棒的水平速度v0沖擊細棒的一個頂端，設沖擊是完全彈性碰撞。,碰撞后小球的反彈速度v和細棒的角速度w。,例,解,求,外力對轉(zhuǎn)軸C的合外力矩為零，碰撞時系統(tǒng)角動量守恒，有,由于碰撞是完全彈性碰撞，系統(tǒng)機械能守恒，則,設子彈與細棒以初速v0接觸相碰時為起始狀態(tài)，子彈以速度v0/4穿出棒時為末狀態(tài)。,如圖，一質(zhì)量為m1，長度為l的均質(zhì)細棒，可繞過其頂端的光滑水平軸自由轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為m2的子彈以水平速度v0射入靜止的細棒下端，穿出后子彈的速度減小為v0/4。 （用兩種不同的解法）,子彈穿出后棒所獲得的角速度w。,解,求,

27、例,(1)應用動量定理和角動量定理求解,設棒對子彈的阻力為F，對子彈應用動量定理,(1),子彈對細棒的沖擊力為F,對細棒應用角動量定理,(2),(2),(1),比較式(1)和式(3) 得,式(2)變?yōu)?(3),(2) 應用系統(tǒng)角動量守恒定律求解,由此解得,所以,且,討論 水平方向動量守恒,？,？,v0/4。,求均勻的薄球殼繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量,例,解,R,切為許多垂直于軸的圓環(huán),z,dz,m,r,R,z,dz,m,r,求均勻球體繞直徑的轉(zhuǎn)動慣量,例,解,切為許多垂直于軸的圓盤,另解：,求均勻立方體(邊長l、質(zhì)量m)繞通過面心的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量,例,x,dx,解,求均勻立方體(邊長l、質(zhì)量m)繞通過

28、面心的中心軸的轉(zhuǎn)動慣量,例,解二,設,k是一個無量綱的量,C,z,立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量為,分成八個相同的小立方體,他們繞各自棱邊的轉(zhuǎn)動慣量為,八個相同的小立方體繞棱邊的轉(zhuǎn)動慣量=JC,即,解三 垂直軸定理,從半徑為R 的均質(zhì)圓盤上挖掉一塊半徑為r 的小圓盤，該系 統(tǒng)的質(zhì)量為m,兩圓盤中心O 和O相距為d ，且（d + r） R,d,O,O,R,r,挖掉小圓盤后，該系統(tǒng)對垂直于盤面, 且過中心軸的轉(zhuǎn)動慣量,例,解,求,使用補償法,則填滿后的總質(zhì)量為m+m,設小圓盤的質(zhì)量為m,m,一長為 l 的勻質(zhì)細桿，可繞通過中心的固定水平軸在鉛垂面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動，開始時桿靜止于水平位置。一質(zhì)量與桿相同的昆蟲以速

29、度 v0 垂直落到距點 O l/4 處的桿上，昆蟲落下后立即沿桿爬行，如圖所示。若要使桿以勻角速度轉(zhuǎn)動,O,r,昆蟲落到桿上的過程為完全非彈性碰撞,對于昆蟲和桿構(gòu)成的系統(tǒng)，合外力矩為零（忽略重力力矩），動量矩守恒,例,解,求 昆蟲沿桿爬行的速度。,使桿以勻角速度轉(zhuǎn)動,代入得,動量矩定理,其中,例 長為l 、質(zhì)量為 M 的均質(zhì)桿，一端懸掛，可繞通過O點垂直于紙面的軸轉(zhuǎn)動。今讓桿自水平位置無初速地落下，在鉛垂位置與質(zhì)量為 m 的物體 A 作完全非彈性碰撞，碰后物體A即于桿分離，沿摩擦系數(shù)為 的水平面滑動。,求 物體 A 沿水平面滑動的距離。,解,三個過程,如圖，一個質(zhì)量為m1，半徑為R 的圓形水平

30、轉(zhuǎn)臺可繞通過其中心的光滑豎直軸轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為m2的人站在轉(zhuǎn)臺的邊緣，開始時，人和轉(zhuǎn)臺都相對于地面靜止。,解,求,例,當人沿轉(zhuǎn)臺邊緣走完一周時，轉(zhuǎn)臺對地面轉(zhuǎn)過的角度。,取人和轉(zhuǎn)臺作為系統(tǒng)，系統(tǒng)動量矩守恒。,設人和轉(zhuǎn)臺對地角速度分別為和，則,當人在轉(zhuǎn)臺上走動一周時，人對轉(zhuǎn)臺走過2，對地走過,分三個物理過程計算,如圖，一根長為l, 質(zhì)量為m1的均質(zhì)細桿,可繞其一端的水平軸O作無摩擦轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將另一端懸掛于一勁度系數(shù)為k的輕彈簧下端，開始時細桿靜止并處于水平狀態(tài)。有一質(zhì)量為m2的小球（m2 m1）從距桿h高處落到桿的中點，并粘于桿上和它一起運動。設桿旋轉(zhuǎn)微小角度后，角速度就減小到零。,此時彈簧的伸長量。,

31、解,求,例,小球未落下時，細桿處于平衡狀態(tài)，設此時彈簧的伸長量為x0，則有,(1) 小球與桿接觸前的一瞬間，有,(2) 小球和細桿發(fā)生完全非彈性碰撞過程，設作用時間很短，忽略重力及彈簧力的力矩。 系統(tǒng)角動量守恒。設碰后角速度為 ，則有,(3) 桿與球碰撞后系統(tǒng)的下降過程機械能守恒，有,總伸長量為,有一轉(zhuǎn)臺，,M,R,初始的角速度為0,有一個人站在轉(zhuǎn)臺的中心，,m,u,以相對于轉(zhuǎn)臺的恒定速度u沿半徑向邊緣走去，,人走了t 時間后，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)過的角度,例,解,求,選(人和轉(zhuǎn)臺)為系統(tǒng)，對豎直軸的角動量守恒,在時間 t 內(nèi)，,人走到距中心的距離為,一飛輪如圖，,M,R,某一瞬時有一質(zhì)量為m的碎片從飛輪的

32、邊緣,飛出，且速度方向正好豎直向上。忽略重力矩的影響,例,解,求,(1) 碎片能上升的最大高度,(2) 余下部分的角速度，角動量，轉(zhuǎn)動動能,碎片離盤時的初速度為,(1),所以碎片能上升的最大高度為,(2),分離瞬間，碎片和余下部分組成的系統(tǒng)角動量守恒,角動量為,轉(zhuǎn)動動能為,O,P,h,一質(zhì)量為2m，半徑為R的均質(zhì)圓盤，可繞通過其中心O且與,盤面垂直的光滑水平固定軸，在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。有一質(zhì)量,為m的粘土塊從h的高度落到P點（自由落下），且=600,例,解,求,(1) 碰撞后瞬刻盤的0,(2) P點轉(zhuǎn)到x軸時盤的 ，,選(粘土塊+圓盤)為研究對象,系統(tǒng)對O點的角動量守恒,(1),忽略重力的矩,(

33、2),(m + 圓盤+地球）為系統(tǒng)，只有重力作功，機械能守恒,EP = 0,當P點轉(zhuǎn)到x軸時， (m + 圓盤) 系統(tǒng)所受力矩僅為 mgR,均勻直桿質(zhì)量 m,長為l。初始水平靜止，軸光滑，AO =l /4,桿下擺角后的角速度,例,解,求,l , m,O,A,B,mg,N,O,選（桿+地球）系統(tǒng)，只有重力作功，E守恒。,3r,m,m,r,O,解,C,求對過圓環(huán)中心且垂直于圓環(huán)平面的轉(zhuǎn)軸O 的轉(zhuǎn)動慣量,例,求空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量,例,解,為兩個實心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量的差值,圓盤繞中心軸旋轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)動慣量為:,實心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為:,空心圓柱繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量為:,z,R1,R2,l,

34、m,d,一半圓形均質(zhì)細桿，其半徑為R ，質(zhì)量為 m ，AA/為過半圓形圓心和端點的軸。,細桿對軸AA/的轉(zhuǎn)動慣量,例,解,求,R,A,A/,r,dl,m,另解：,z,R,v0,R / 2,v = ?,Mz角動量守恒,mv0 R,mv R / 2,v = 2v0,例,拉力做的功？,如圖所示，一質(zhì)量為M的均質(zhì)方形薄板，其邊長為L，鉛直,放置著，它可以自由地繞其一固定邊轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動慣量為,若有一質(zhì)量為m，速度為v的小球垂直于板面碰在,板的邊緣上。設碰撞是完全彈性的。,碰撞后，小球的速度和板轉(zhuǎn)動的角速度,例,解,求,(1/3)ML2,選(子彈+板)為研究對象,該系統(tǒng)在子彈入射前后對軸的角動量守恒,碰撞是

35、完全彈性的，機械能守恒,如圖，兩個質(zhì)量均為m的小孩，各抓住跨過滑輪繩子的兩端。一個用力向上爬，另一個則抓住繩子不動。若滑輪的質(zhì)量和軸上的摩擦力都可忽略，開始時兩小孩都不動,(1) 哪一個小孩先到達滑輪,(2) 若兩個小孩質(zhì)量不等時情況如何,例,解,求,R,O,(1) 以小孩、滑輪作為系統(tǒng),則系統(tǒng)對O點的總角動量為,+,而系統(tǒng)所受的外力矩只有兩個小孩的重力矩，,且合力矩為零,所以系統(tǒng)對O點的總角動量守恒,開始時兩小孩都不動,所以,隨后,但,(2) 若兩個小孩質(zhì)量不等,m1m2,系統(tǒng)所受的外力矩為,系統(tǒng)對O點的總角動量為,開始時兩小孩都不動,所以,隨后,總角動量不守恒,若,m1m2,若,m1m2,

36、總之，在任何情況下總是體輕的小孩上升的快，先到達滑輪。,一個硬膠輪繞無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動，,O1,O2,10,20,m1,m2,r,R,無摩擦的水平軸轉(zhuǎn)動，兩軸平行，,今使兩輪邊緣接觸,接觸后的系統(tǒng)，角動量是否守恒,另一個硬膠輪繞另一,例,解,問,系統(tǒng)的角動量守恒的條件，,對定軸的合力矩為零,若選O1為系統(tǒng)力矩的參考點,由于接觸產(chǎn)生的一對摩擦力的對O1點力矩的和為零,輪對各自軸產(chǎn)生的一對約束力對O1點力矩的和不為零,各自的重力對O1點力矩的和不為零,所以系統(tǒng)的角動量不守恒,注意,計算系統(tǒng)的力矩，必須對同一參考點而言,一質(zhì)量為M，長為l 的均勻細直桿，可繞通過其中心O且與桿,垂直的光滑水平固定軸，

37、在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。質(zhì)量為m的,子彈沿水平方向射入桿的下端且留在桿內(nèi)，并使桿擺動，若,桿擺動的最大偏角為,O,(1) 子彈入射前的速度v0,(2) 最大偏角時，桿轉(zhuǎn)動的角加速度,例,解,求,選(子彈+桿)為研究對象,該系統(tǒng)在子彈入射前后對O點的角動量守恒,桿上擺的過程中，僅有重力矩作功，機械能守恒,(1),(2), 擴展 ,水中的旋渦,火龍卷風,星 系,第6*章 固體與流體,固體：能保持其體積和形狀的物質(zhì),液體：能保持其體積但不能保持其形狀的物質(zhì),氣體：既不能保持其體積也不能保持其形狀的物質(zhì),流體：,氣體,液體,流體的基本特性：,流動性，沒有固定的形狀。,連續(xù)介質(zhì)模型：將流體看成由無限多流體質(zhì)點所 組成的稠密而無間隙的連續(xù)介質(zhì)。,宏觀上體積足夠小，可看作質(zhì)點； 微觀上體積足夠大，內(nèi)部有足夠多的分子。,流體質(zhì)點,1 應力與應變,一. 應力,