點(diǎn)差法公式在雙曲線中點(diǎn)弦問題中的妙用

1、；點(diǎn)差法公式在雙曲線中點(diǎn)弦問題中的妙用廣西南寧外國(guó)語學(xué)校隆光誠(chéng)（郵政編碼530007）圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題是高考常見的題型，在選擇題、填空題和解答題中都是命題的熱點(diǎn)。它的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若已知直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差，得到一個(gè)與弦 的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大減少運(yùn)算量。我們稱這種代點(diǎn)作差的方法為“點(diǎn)差法”，它的一般結(jié)論叫做點(diǎn)差法公式。本文就雙曲線的點(diǎn)差法公式在高考中的妙用做一些粗淺的探討，以饗讀者。定理在雙曲線 x2y 210b0l與雙曲

2、線相交于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)（ a ， ）中，若直線a2b2P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中點(diǎn)，弦 MN 所在的直線 l 的斜率為 k MN ，則 kMNy0b2.x02ax12y121,(1)( x1 ,y1 ) 、 ( x2 , y2 ) ，則有a 2b2證明：設(shè) M、 N 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x2 2y221.(2)a 2b2(1)x12x2 2y12y2 20.(2) ，得a 2b2y2y1y2y1b22 .x2x1x2x1a又 kMNy2y1y1y22 y0y0.x2x1,x22x0x0x1y0b 2kMNx0a 2 .同理可證，在雙曲線y 2x 2M 、 N 兩點(diǎn)，a21（ a 0

3、， b 0）中，若直線 l 與雙曲線相交于b 2點(diǎn) P( x0 , y0 ) 是弦 MN 的中點(diǎn)，弦 MN 所在的直線 l 的斜率為 k MN ，則 kMNy0a 2.x0b2典題妙解2例 1 已知雙曲線C : y 2x1，過點(diǎn) P(2,1) 作直線 l 交雙曲線 C 于 A 、 B 兩點(diǎn) .3.；（ 1）求弦 AB 的中點(diǎn)M 的軌跡；（ 2）若 P 恰為弦 AB的中點(diǎn)，求直線l 的方程 .解：（ 1） a 21, b 23, 焦點(diǎn)在 y 軸上 .2設(shè)點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 (x, y) ，由 k ABya2得： y1y1 ，xbx2x3整理得： x23 y 22x3y0.所求的軌跡方程為x 23

4、y 22x3y0.（ 2）P 恰為弦 AB 的中點(diǎn)，y0a211 , 即 k AB2 .由 kAB得： kABx0b2233直線 l的方程為 y12 ( x2) ，即2x3 y10.3例 2已知雙曲線 C : 2x 2y 22與點(diǎn) P(1,2).（ 1）斜率為 k 且過點(diǎn) P 的直線 l 與 C 有兩個(gè)公共點(diǎn)，求k 的取值范圍；（ 2）是否存在過點(diǎn)P 的弦 AB ，使得 AB 的中點(diǎn)為 P？（ 3）試判斷以Q(1,1)為中點(diǎn)的弦是否存在 .解：（ 1）直線 l 的方程為 y2k (x1) ，即 ykx2k.ykx2k,得 (k22)x22(k22 )xk24k6 0.由2x2y22.k直線 l

5、與 C 有兩個(gè)公共點(diǎn)，k 220,得4(k 22k )24(k 22)(k 24k6) 0.解之得： k 3 且 k2.22, 3 ).k 的取值范圍是 (,2 )(2,2 )(2（ 2）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x 2y21,a 21,b 22.2設(shè)存在過點(diǎn) P 的弦 AB ，使得 AB 的中點(diǎn)為 P，則由 k ABy0b2得： k 2 2, k 1.x02a由（ 1）可知， k1時(shí)，直線 l 與 C 有兩個(gè)公共點(diǎn)，存在這樣的弦.這時(shí)直線 l的方程為 yx1.；（ 3）設(shè)以Q(1,1)為中點(diǎn)的弦存在，則由kABy0b2得： k 12, k 2.x0a 2由（ 1）可知， k2時(shí)，直線 l 與 C 沒

6、有兩個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)以 Q(1,1) 為中點(diǎn)的弦不存在 .例 3 過點(diǎn) M (2,0) 作直線 l交雙曲線 C : x2y 21 于 A 、B 兩點(diǎn)，已知 OPOA OB （ O為坐標(biāo)原點(diǎn)） ，求點(diǎn) P 的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線.解：在雙曲線 C : x2y 21中， a 2b 21，焦點(diǎn)在 x 軸上 .設(shè)弦 AB 的中點(diǎn)為 Q .OPOAOB,由平行四邊形法則知：OP 2OQ ，即 Q 是線段 OP 的中點(diǎn) .設(shè)點(diǎn) P 的坐標(biāo)為 ( x, y) ，則點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為x , y.22yb2yyyy由221，kAB xa2 得： x2x x 4 x22整理得： x2y24 x0.配方得： (

7、 x2) 2y 21.44點(diǎn) P 的軌跡方程是(x2)2y 21 ，它是中心為( 2,0)，對(duì)稱軸分別為x 軸和直線44x 2 0 的雙曲線 .例 4. 設(shè)雙曲線 C 的中心在原點(diǎn)，以拋物線y 223x4 的頂點(diǎn)為雙曲線的右焦點(diǎn)，拋物線的準(zhǔn)線為雙曲線的右準(zhǔn)線（）試求雙曲線C 的方程；（）設(shè)直線 l: y2x1與雙曲線 C 交于 A, B 兩點(diǎn)，求 AB ；（）對(duì)于直線l : ykx1，是否存在這樣的實(shí)數(shù)k ，使直線 l 與雙曲線 C 的交點(diǎn) A, B 關(guān)于直線 l : yax4( a 為常數(shù) )對(duì)稱，若存在，求出 k 值；若不存在，請(qǐng)說明理由解：（）由 y223x4 得 y22 3( x2 )

8、 ，3.；p3 ，拋物線的頂點(diǎn)是(2,0) ，準(zhǔn)線是 x321.32323c2,在雙曲線 C 中，a 231.a21 ,b 21.3c23雙曲線 C 的方程為 3x 2y21 .（）由y2x1,得： x24x 20 .3x 2y21.( ,),( ,) ，則.設(shè)y1 B x2y2x1x24, x1 x22A x1| AB |(1k 2 )( x1x2 ) 24x1 x2 (1 2 2 )(4) 2422 10 .（）假設(shè)存在這樣的實(shí)數(shù)k ，使直線 l 與雙曲線C 的交點(diǎn)A, B 關(guān)于直線 l 對(duì)稱，則 l 是線段 AB的垂直平分線 . 因而 a1 ，從而 l : yky0b2y0由 k AB

9、x0a2 得： kx03 ，由 y01 x04 得： ky0x0k由、得：x0k, y03 .1 x 4 . 設(shè)線段 AB 的中點(diǎn)為 P(x0 , y0 ) .kky03x0 .4k .由 y0kx01得： 3 k 21， k2 .又由 3x 2y 21, 得： (k 23)x 22kx20.ykx1.直線 l 與雙曲線C 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，4k 28(k 23) 0，即 k 2 6，且 k 23.符合題意的 k 的值存在， k2.金指點(diǎn)睛1. (03 全國(guó) )已知雙曲線中心在原點(diǎn)且一個(gè)焦點(diǎn)為F (7 ,0) ，直線 yx 1與其相交于M 、 N 兩點(diǎn)，MN 的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2），則此

10、雙曲線的方程為（3.；x2y2B.x 2y 21C.x 2y 2x2y 2A.14351D.1342252.（ 02 江蘇）設(shè) A、 B 是雙曲線 x 2y 21上兩點(diǎn)，點(diǎn) N (1,2) 是線段 AB 的中點(diǎn) .2（ 1）求直線 AB 的方程；（ 2）如果線段 AB 的垂直平分線與雙曲線相交于C、 D 兩點(diǎn)，那么 A 、 B、 C 、D 四點(diǎn)是否共圓，為什么？3. 已知雙曲線 x2y 21 ，過點(diǎn) P(1 ,3 ) 作直線 l 交雙曲線于 A、 B 兩點(diǎn) .322（ 1）求弦 AB 的中點(diǎn) M 的軌跡 ;（ 2）若點(diǎn) P 恰好是弦 AB 的中點(diǎn)，求直線l 的方程和弦 AB 的長(zhǎng) .4、雙曲線

11、 C 的中心在原點(diǎn)， 并以橢圓 x2y 21 的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)， 以拋物線 y22 3x 的準(zhǔn)線為2513右準(zhǔn)線 .（ 1）求雙曲線C 的方程；（ 2）設(shè)直線 l: ykx3( k 0) 與雙曲線 C 相交于 A 、 B 兩點(diǎn)，使 A 、 B 兩點(diǎn)關(guān)于直線l : ymx6( m0) 對(duì)稱，求 k 的值 .參考答案25y0b255b21.解：在直線 yx1中， k1 ， x得 13.時(shí)， y. 由 kMNx0a222a2333b 25得 a22,b 2又由 a225 .a 2b 2c27故答案選 D.22y0b22.解：（ 1） a1,b2，焦點(diǎn)在 x 上.由 kAB x0a 2 得： k AB22

12、 ， k AB1.所求的直線AB 方程為（ 2）設(shè)直線 CD 的方程為y21 (x1) ，即 xy10 .xym0 ，點(diǎn) N (1,2) 在直線 CD 上，1 2 m 0 ， m3.直線 CD 的方程為 xy 3 0.；yb2得： 1y，即 y2x .又設(shè)弦 CD 的中點(diǎn)為 M ( x, y) ，由 kCDa 22xxxy 3 0,由得 x3, y 6 .y 2x.點(diǎn) M 的坐標(biāo)為 ( 3,6) .xy 10,又由y2得 A(1,0), B(3,4) .x21.2由兩點(diǎn)間的距離公式可知：| MA | | MB | | MC | | MD | 2 10 .故 A 、 B、 C、 D 四點(diǎn)到點(diǎn)M

13、的距離相等，即A 、 B、 C、 D 四點(diǎn)共圓 .3.解：（ ）a21,b23，焦點(diǎn)在 x 上.設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為 (x, y).1若直線 l 的的斜率不存在，則lx 軸，這時(shí)直線 l 與雙曲線沒有公共點(diǎn)，不合題意，故直線l 的的斜率存在 .yb2y3y由 kAB23 ，得：xa21xx2整理，得： 6x22y233y0.x點(diǎn) M 的軌跡方程為 6x 22 y23x3y0 .y0b23（ 2）由 kAB得： kAB23，k AB1.x0a21321) ，即 y所求的直線 l方程為 y1 ( xx 1.22由x 2y 21,得x2x20，3yx1.解之得： x12, x21 .| AB |1 k 2 | x2x1 |2 3 3 2.4. 解：（ 1）在橢圓 x 2y 21中， a5, b13, ca2b 22 3 ，2513.；焦點(diǎn)為 F1 (23,0), F2 (23,0) .在拋物線 y223x 中， p3.3 ， 準(zhǔn)線為 x2在雙曲線中，a233,b3.c2. 從而 ax2y2.所求雙曲線 C 的方程為139（ 2）直線 l 是弦 AB 的垂直平分線，m1，從而 l : y1x 6 . 設(shè)弦 AB 的中點(diǎn)為kkP( x0 , y0