北大2014高等代數(shù)部分試題解答思路_W

1、 本文由 SCIbird 編輯整理北大 2014 高等代數(shù)部分試題解答思路SCIbird1. 令2013f (x) = (x i)2 + 2014i=1問多項(xiàng)式f (x ) 是否在有理域內(nèi)可約？說明理由。猜想f (x )不可約，但不會(huì)證明。最初發(fā)現(xiàn)2014= 21953，進(jìn)而試圖證明f (x ) 除最高項(xiàng)外，所有系數(shù)都是偶數(shù)，然后取p = 2 應(yīng)用愛森斯坦判別法。但發(fā)現(xiàn)這個(gè)猜想不成立，因?yàn)檫@意味著f (1) 是奇數(shù)，但f (1) = 2014 是偶數(shù)。多次嘗試沒有 成功，放棄。感覺就難度而言，這道題不應(yīng)該放到第一位。 2. 如果MNMN 為零矩陣，那么NMNM 是否為零矩陣？說明理由。結(jié)論是的

2、， NMNM 不一定是零矩陣。質(zhì)數(shù)同學(xué)給出了反例： 000000101001 0,N = 0M =0010直接驗(yàn)證可知MNMN 為零矩陣，但NMNM 不是零矩陣。 3. 除了單位矩陣為，是否存在其它n 階埃爾米特矩陣M ，滿足：4M 5 + 2M 3 +M = 7En結(jié)論是不存在。證明的關(guān)鍵利用了如下結(jié)論：埃爾米特矩陣M 的最小多項(xiàng)式m(x ) 的根都是實(shí)根。令f (x ) = 4x 5 + 2x 3 +x 7 ，則f (1) = 0 . 容易證明 f (x ) = 20x 4 + 6x 2 +1 0這說明f (x ) 是嚴(yán)格單調(diào)遞增的，故f (x ) 有惟一的單實(shí)根x =1，因此 m(x )

3、 = x 1.故M = En .評(píng)注：本題有些分析味道，利用了函數(shù)單調(diào)性。證明f (x)= 20x4 +6x2 +1 0可 本文由 SCIbird 編輯整理利用判別式法。4. 設(shè)V 是n 維向量空間，線性變換A 的最小多項(xiàng)式次數(shù)是n .(1) 證明：存在非零向量 ，使得, A,L, An1 是V 的一組基；(2) 任何與A 可交換的線性變換，均可表示成A 的多項(xiàng)式。證明的關(guān)鍵是“考慮非零向量 的最小多項(xiàng)式”。即考慮使得p (A) = 0 的最小多項(xiàng)式p (x ) ，其中向量 是給定的。設(shè)線性變換A 的最小多項(xiàng)式為m (x ) ，類似的證明可知p (x ) 是m (x ) 的因式。于是當(dāng) 遍歷V

4、 中所有非零向量時(shí)，只能得到有限個(gè)p (x) ，不妨記作p1(x) ,L, pk (x) . 定義 Vi = V : pi (A) = 0顯然V V1 LVk .但一個(gè)熟知的結(jié)論是，若V1 ,L,Vk 都是V 的真子空間，則V V1 LVk 不成立。換句話說，有限個(gè)真子空間的并集不能覆蓋住整個(gè)V . 于是必有某個(gè)下標(biāo) j 使得Vj =V ，此時(shí)pj (x ) = m (x ) 且max deg p (x ) = deg m (x ) .(1) 用反證法。假設(shè)任取非零向量 ，向量組, A,L, An1 都是線性相關(guān)的。則所有非零向量 對(duì)應(yīng)最小多項(xiàng)式p (x ) 次數(shù)都不超過n 1，這與線性變換A

5、(2)前面證明了存在非零向量 ，使得, A,L, An1 是V 的一組基。所以任取非零向量v V ，存在多項(xiàng)式f (x) ，使得v = f (A) . 任取線性變換B ，滿足 AB = BA . 則存在多項(xiàng)式g (x ) ，使得B = g (A) . 我們只需證明B = g (A) .任取非零向量v V ，存在多項(xiàng)式f (x ) ，使得v = f (A) .所以 Bv = Bf (A) = f (A)B = f (A)g (A) = g (A)f (A) = g (A)v由v 的任意性可知B = g (A) . 即任何與A 可交換的線性變換，均可表示成A 的多項(xiàng)式。評(píng)注：xida在高等代數(shù)葵花

6、寶典（考研攻略）中對(duì),A,L,An1這類“循環(huán)類”問題進(jìn)行了更詳細(xì)的論述，推薦大家去看一看。 本文由 SCIbird 編輯整理5. 設(shè)V 是所有n階復(fù)矩陣所組成的向量空間，求所有形如MNNM 矩陣所組成向量空間的維數(shù)。記所有形如MN NM 型矩陣所組成向量空間為W ，則dimW = n 2 1. 證明的關(guān)鍵是利用跡公式tr (MN ) = tr (NM ) ，于是tr (MN NM )= 0，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)“跡零矩陣”的研究。 令U =AV :tr (A) = 0，則U 是V 的子空間（真子集），故dimU n 2 1.利用跡公式tr (MN NM ) = 0 可知W U ，所以dimW

7、n 2 1.考察V 的標(biāo)準(zhǔn)基底Eij ，其中矩陣Eij 在第i 行、第 j 列處為 1，其它地方為 0. 下面利用矩陣Eij 來構(gòu)造子空間W 的基底： 直接計(jì)算表明，當(dāng)i j 時(shí)，恒有 Eij = Eik Ekj Ekj Eik2于是滿足i j 的Eij 有n n 個(gè)。 另一方面，當(dāng)m = 2, 3,L, n 時(shí)，有 E11 Emm = E1m Em1 Em1E1m這樣的E11 Emm 有n 1個(gè)。 上述的E (i j )和E E(m =2, 3,L,n )共n2 1個(gè)，且它們是線性ij11mm無關(guān)的。這就證明了dimW = n2 1.評(píng)注：本題有一定的難度。首先，不難將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)“跡零矩陣

8、”的研究U = A V :tr (A) = 0容易證明dimU = n 2 1 ，比如構(gòu)造基底Eij (i j )和E11 Emm (m = 2, 3,L, n )這n 2 1個(gè)跡零矩陣都是線性無關(guān)的。關(guān)鍵是證明上述矩陣都能表示成MN NM的形式。這需要一些技巧，主要是利用矩陣元素的乘法關(guān)系cij = aikbkjk =1n由此觀察到Eij = Eik Ekj ，接下來的構(gòu)造就自然了。需要說明的是W 的基底構(gòu)造方法不唯一。6. 歐氏空間V 中，對(duì)稱線性變換A 稱為是“正的”，若 V 恒有( , A) 0 本文由 SCIbird 編輯整理成立，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) = 0 時(shí)成立。(1) 證明線性變換

9、A 是正的，則A 可逆；(2) 證明若線性變換B 是正的， AB 也是正的，則B1 A1 也是正的；(3) 證明若線性變換A 是正的，則存在正的線性變換B ，滿足A = B2 .為敘述方便，直接將線性變換A 視作方陣A . 題中說明A 是對(duì)稱矩陣，所以A 的特征值都是實(shí)數(shù)。沒明白命題時(shí)為什么故弄玄虛，“正的”不就是正定性嗎？幾個(gè)小問都是常見結(jié)論。為證明第(1)問，只需證明A 的特征值都是正數(shù)即可。為證明第(2)問需要用到這樣一個(gè)結(jié)論： 設(shè)A 與 B 為n 階實(shí)對(duì)稱矩陣且A 是正定矩陣，則存在可逆矩陣P 使得PTAP = E , P BTP = diag ,L, （對(duì)角矩陣）。 1n北大在 20

10、12 年考過這道題，證明見龍鳳呈祥同學(xué)的解答。前面已經(jīng)證明了A 與B 的特征值都是正數(shù)，所以由上面的結(jié)論可知 PT(AB)P = diag1 ,L,1 1n由AB 的正定性可知1i 0，即對(duì)角線上的元素都是正數(shù)。 不難證明B1 , A1 都是對(duì)稱矩陣，所以B1 A1 也是對(duì)稱矩陣。又 PTAP = E , PTBP = P1A1(P1)T = E , P1B1 (P1 )T =diag1/ ,L,1/ 1n由此可知 1=diag1,L,1nP1 (B1 A1 )(P1 )T11對(duì)角線上元素都是正數(shù)，故B1 A1 是正定矩陣。 第(3)問的證明實(shí)質(zhì)是對(duì)角線開平方。證明方法與上面大同小異。實(shí)對(duì)稱矩陣A 可 相似對(duì)角化，即存在正交矩陣P ，使得 1P1AP = On 構(gòu)造矩陣 本文由 SCIbird 編輯整理11OPB = P