三升四年級(jí)奧數(shù)講義

1、目 錄第一講 速算與巧算 . 2第二講 應(yīng)用題綜合（一） .9第三講 應(yīng)用題綜合（二）.14第四講 行程問題初步 .18第五講 奇數(shù)與偶數(shù) .23第六講 計(jì)數(shù)問題 .28第七講 體育比賽中的數(shù)學(xué) .33第八講 期中測試 .37第九講 余數(shù)與周期 .40第十講 簡單的抽屜原理 .45第十一講 巧求周長 .50第十二講 數(shù)字謎 .55第十三講 趣題巧解 .60第十四講 邏輯推理 .64第十五講 期末測試 .68第一講 速算與巧算親愛的同學(xué)們，你想一見到算式就能張口說出得數(shù)嗎？你想讓自己變得更聰明嗎？學(xué)了今天的速算技巧后你就可以夢想成真了！還等什么？來吧，一起出發(fā)！你還記得嗎？1. 加法交換律：兩個(gè)

2、數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變.2. 加法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者，先把后兩個(gè)數(shù)相加，再與第一個(gè)數(shù)相加，它們的和不變.3. 乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換兩個(gè)數(shù)的位置，其積不變， 即ab=ba,其中a，b為任意數(shù).4. 乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，可以先把前兩個(gè)數(shù)相乘后，再與后一個(gè)數(shù)相乘，或先把后兩個(gè)數(shù)相乘后，再與前一個(gè)數(shù)相乘，積不變，即abc=(ab)c=a(bc).習(xí) 能湊整的數(shù)，一般找能湊整的數(shù)看個(gè)位就可以了?！纠?】 計(jì)算：378+26+609分析：原式=（378+22）+（600+9）+（26-22）=400+600+9+4=1013.拓展 計(jì)算：1

3、998+198+18分析：原式=（2000-2）+（200-2）+（20-2） =2220-6 =2214.【例2】 計(jì)算：1000-90-80-20-10分析：原式 =1000-（90802010）=1000-200=800.【例3】 計(jì)算：1）6311 ； 2） 85211分析：在這個(gè)數(shù)的首尾之間添上相鄰兩數(shù)依次相加的和（和滿10要進(jìn)1）. 即“兩邊一拉，中間相加”.1）6311=693 （其中9是6+3），2）85211=9372（7=5+2 3=5+8末尾 9=8+1）.【例4】 計(jì)算 ：1515 ；2525 ；3535分析：建議教師先介紹個(gè)位數(shù)字為5的數(shù)的平方速算規(guī)律：首數(shù)加1的和乘

4、以首數(shù)，尾數(shù)相乘，兩積連起來即為所求的積.1515=225 ；2525=625 ；3535=1225.暑假精講1. 商不變性質(zhì)：被除數(shù)和除數(shù)乘（或除）以同一個(gè)非零數(shù)，其商不變.在連除時(shí)，可以交換除數(shù)的位置，商不變，即abc=acb2. 乘除法混合運(yùn)算的性質(zhì)（1）在乘除混合運(yùn)算中，被乘數(shù)、乘數(shù)或除數(shù)可以連同數(shù)字前面的運(yùn)算符號(hào)一起交換位置，例如abc=acb=bca(2)在乘除混合運(yùn)算中，去掉括號(hào)的規(guī)則以及去括號(hào)的情形 a(bc)=abc a(bc)=abc a(bc)=abc(3)兩個(gè)數(shù)之積除以兩個(gè)數(shù)之積，可以分別相除后再相乘，即 (ab)(cd)=(ac)(bd)=(ad)(bc).在乘除運(yùn)算

5、中，要做到既正確又迅速，首先要熟練地掌握乘除的各種運(yùn)算定律，性質(zhì)和運(yùn)算中積商的變化規(guī)律，其次要了解題目的特點(diǎn)，創(chuàng)造條件，選用合理，靈活的計(jì)算方法，下面我們通過一些例題介紹一些運(yùn)算的速算和巧算的方法.【例1】 計(jì)算：25912548分析：解題關(guān)鍵是觀察題目可以發(fā)現(xiàn)254得100，1258得1000，將它們分別合并便可達(dá)到速算原式=(254)(1258)9=10010009=. 【例2】 計(jì)算：456212525548分析：原式=456（25）（254）（1258）=456101001000=.鞏固 計(jì)算：192564125分析：原式=（254）（1258）（192） = 100100038 =.

6、【例3】 計(jì)算：5400254分析：根據(jù)除法性質(zhì)知一個(gè)數(shù)分別除以兩個(gè)數(shù)，等于除以這兩個(gè)數(shù)的積.原式=5400（254）=5400100=54.【例4】 計(jì)算：5(711) (1115) (1521) 分析：原式=571111151521=5（1111）（1515）（217）=53=15.【例5】 計(jì)算：373-3625125+12550分析：運(yùn)用abc=a(bc) .原式=（373）-29+6250=111+（6250-29）=3003+6221=9224.【例6】 5346+7154+8254分析：可以把53，199拆分.原式=（54-1）46+7154+8254=5446+7154+825

7、4-46=54（46+71+82）-46=54199-46=54（200-1）-46=54200=54-46=10800-100=10700.【例7】 （873477-198）（476874+199）分析：觀察到873與874，476與477的關(guān)系，可以考慮把整數(shù)進(jìn)行拆分.原式=873（476+1）-198 476（873+1）+199=873476+873-198 476873+476+199=873476+675 476873+675=1.【例8】 分析：原式=（-1）=-=.【例9】 9999926+3333324分析：原式=9999926+3333338=9999926+999998=

8、99999（26+8）=（-1）34=.【例10】 計(jì)算：1+122+l233+l2344+l23455分析：原式=1(2-1)+l2(3-1)+123(4-1)+1234(5-1)+l2345(6-1)=l2-1+l23-12+l234-123+l2345-1234+l23456-l2345=l23456-l=720-l=719【例11】 計(jì)算：2006+2005-2004-2003+2002+2001-2000-1999+1998+5-4-3+2+1分析：（法1）我們觀察可以發(fā)現(xiàn)，題目中每4個(gè)數(shù)一組可以相互抵消，將這些數(shù)先分組，簡化計(jì)算.原式=2006+（2005-2004-2003+20

9、02）+（2001-2000-1999+1998）+（5-4-3+2）+1=2006+0+0+0+1=2007.（法2）根據(jù)符號(hào)規(guī)律，可以4個(gè)數(shù)一組.原式=（2006+2005-2004-2003）+（6+5-4-3）+2+1=4（20044）+3=2007.拓展 計(jì)算：1992-1-2+3+4-5-6+7+8-1989-1990+1991分析：原式=（1992+1991-1990-1989）+（4+3-2-1） =4（19924） =1992.【例12】 計(jì)算：917+9117-517+4517分析：前鋪分配律的逆運(yùn)算是個(gè)難點(diǎn)，建議教師先從簡單題講清楚再講本題.計(jì)算1： 3619+6419=

10、（36+64）19=1900.計(jì)算2： 3619+64144=3619+64（19+125）=（36+64）19+64125=1900+88125=1900+8000=9900.例題原式=917-517+9117+4517=（9-5）17+（91+45）17=417+13617=68+8=76.【例13】 計(jì)算：76521327+76532727分析：原式=765（213+327）27=76554027=76520=15300.【例14】 計(jì)算：252626-262525分析：前鋪建議教師先給學(xué)生講清楚周期性數(shù)字的規(guī)律.如=1231001，=123，原式=2526101-2625101 =0.

11、拓展1 計(jì)算：分析：原式 =12（3）=（123）（）=41=4.拓展2 計(jì)算：（4545+5353）4949分析：原式=（45101+53101）（49101） =（45+53）10149101 =（45+53）49 =2.【例15】 20043-20034分析：原式=20042003-20032004=0.附加內(nèi)容【附1】 計(jì)算：（11109321）（22242527）分析：原式= （11222）（10525）（9627）（8324）74 =122174=112.【附2】 計(jì)算：（+）7分析：前鋪建議教師先講解拆數(shù)法：=1+210000+31000+4100+510+61，=2+31000

12、0+41000+5100+610+11，或者觀察豎式發(fā)現(xiàn)：每個(gè)數(shù)位上的和=（1+2+3+4+5+6）相應(yīng)的數(shù)量單位.講清楚拆數(shù)這個(gè)問題，題目就迎刃而解了.原式=（1+2+3+4+5+6）(+10000+1000+100+10+1) 7=217=3=.大顯身手1. 251732125分析：原式=（254）17（8125）= .2. 1）5799 ；2） 17999分析：1）原式= 5643 ；2）原式=16983.3. 56000（1400016）分析：原式= 64.4. 1500012515分析：原式=1500015125=1000125=8.數(shù)學(xué)迷宮仔細(xì)看看圖中有幾只猴子？第二講 應(yīng)用題綜合

13、（一）春季班同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平均數(shù)的應(yīng)用題，其中包括以兩組數(shù)的平均數(shù)和它們的總平均數(shù)間的關(guān)系為內(nèi)容的問題求解時(shí)應(yīng)恰當(dāng)選取基準(zhǔn)數(shù)并注意權(quán)重暑假我們學(xué)習(xí)的平均數(shù)問題包括算術(shù)平均數(shù)、加權(quán)平均數(shù)、連續(xù)數(shù)和求平均數(shù)、調(diào)和平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)求平均數(shù).解答這類應(yīng)用題時(shí)，主要是弄清楚總數(shù)、份數(shù)、一份數(shù)三量之間的關(guān)系，根據(jù)總數(shù)除以它相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求出一份數(shù)，即平均數(shù).首先，讓我們先回顧一下吧！你還記得嗎？1. 小強(qiáng)做跳繩練習(xí)，第一次跳了67下，第二次跳了76下她要想三次平均成績達(dá)到80下，第三次至少要跳多少下？分析：803(6776)97(下).2. 小明家先后買了兩批小豬，養(yǎng)到今年10月.第一批的3頭每頭重66千

14、克，第二批的5頭每頭重42千克.小明家養(yǎng)的豬平均多重？分析：兩批豬的總重量為663425408(千克).兩批豬的頭數(shù)為358(頭)，故平均每頭豬重408851(千克).3. 甲乙兩地相距240千米，一輛汽車從甲地往乙地送貨，去時(shí)以每小時(shí)40千米的速度行駛.返回時(shí)由于空載，以每小時(shí)60千米的速度行駛.這輛汽車往返的平均速度是每小時(shí)多少千米？分析：2402=480（千米），24040=6（小時(shí)），24060=4（小時(shí)），6+4=10（小時(shí)），48010=48（千米）.4. 小強(qiáng)為了培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)解題能力，除了認(rèn)真讀一些書外，還規(guī)定自己每周(一周為7天)平均每天做4道數(shù)學(xué)競賽訓(xùn)練題.星期一至星期三每

15、天做3道，星期四不做，星期五、六兩天共做了13道.那么，星期日要做幾道題才能達(dá)到自己規(guī)定的要求？分析：要先求出每周規(guī)定做的題目總數(shù)，然后求出星期一至星期六已做的題目數(shù).兩者相減就是星期日要完成的題目數(shù).每周要完成的題目總數(shù)是47=28(道)星期一至星期六已做題目331322(道)，所以，星期日要完成28-226(道).綜合列式為47-(3313)6(道).暑假精講【例1】 五個(gè)同學(xué)期末考試的數(shù)學(xué)成績平均94分，而其中有三個(gè)同學(xué)的平均成績?yōu)?2分，另兩個(gè)同學(xué)的平均成績是多少？分析：（945-923）2=97（分）.【例2】 一個(gè)房間里有9個(gè)人，平均年齡是25歲；另一個(gè)房間里有11個(gè)人，平均年齡是

16、45歲兩個(gè)房間的人合在一起，他們的平均年齡是幾歲？分析：（259+4511）（9+11）=36（歲）.【例3】 學(xué)而思三升四競賽班50人考試，全班平均分為85分，其中有40的人及格，及格人的平均分是93分，那么不及格人的平均分是多少分？ 分析：不及格人的平均分是（8550-9340）（50-40）=53（分）.【例4】 甲班51人，乙班49人，某次考試2個(gè)班全體同學(xué)的平均成績是81分，乙班平均分比甲班高7分，那么乙班的平均成績是多少分？分析：甲、乙2班總分為81（51+49）=8100（分），由于乙班平均分比甲班高7 分，如果甲班每人提高7分，那么2班平均分即為乙班現(xiàn)在的平均分（8100+75

17、1）（51+49）=84.57（分）.下面我們要學(xué)習(xí)一類新的應(yīng)用題盈虧問題. 盈虧問題就是把一定數(shù)量的物品分給若干對(duì)象，由兩種分配方案產(chǎn)生不同的盈虧數(shù)，反過來求被分配的物品數(shù)與分配的對(duì)象數(shù).解題的關(guān)鍵在于確定兩次分配數(shù)之差與盈虧總額(盈數(shù)+虧數(shù))，由此得到求解盈虧問題的公式：分配總?cè)藬?shù)=盈虧總額兩次分配數(shù)之差.需要注意的是，兩種分配方案的結(jié)果會(huì)出現(xiàn)一盈一虧、兩盈、兩虧等情況，所以我們要靈活把握.【例5】 六一兒童節(jié)到了，李老師給同學(xué)們準(zhǔn)備了一些漂亮的貼畫作禮物，如果每人分3張就會(huì)多出29張，如果每人分5張則少19張，那么李老師給幾個(gè)學(xué)生發(fā)禮物呢？ 分析：學(xué)生的人數(shù)：(29+19)(5-3)=2

18、4(個(gè)).【例6】 楊老師到新華書店去買書，若買5本則多3元；若買7本則少1.8元這本書的單價(jià)是多少？顧老師共帶了多少元錢？分析；買5本多3元，買7本少1.8元.盈虧總額為31.8=4.8（元），這4.8元?jiǎng)偤每梢再I7-52（本）書，因此每本書4.82=2.4（元），顧老師共帶錢2.45315（元）.【例7】 學(xué)校組織四年級(jí)師生去參觀清華、北大，原計(jì)劃租用45個(gè)座位的客車，但這樣有5人沒座，如果租用同樣數(shù)量的55個(gè)座位的客車，則正好多出1輛車.那么，原計(jì)劃租用45座客車幾輛？分析：租55個(gè)座位的客車，正好多出1輛車，也就是少了一車的人，即55人，所以，原計(jì)劃租用的客車數(shù)量(55+5)(55-4

19、5)=6(輛).【例8】 用繩子量一口井的深度，把繩子折兩折來量，多50厘米；折三折來量，還差30厘米，求繩長和井深各是多少？ 分析：根據(jù)題意，（502+303）（3-2）=190（厘米）.（190+50）2=480（厘米）或（190-30）30=480（厘米）.【例9】 海爾兄弟約好在動(dòng)物園門口見面，弟弟從家去動(dòng)物園，如果每分鐘走30米，就要遲到5分鐘，如果每分鐘走40米，可以提前2分鐘到動(dòng)物園，那么，海爾兄弟家到動(dòng)物園的距離是幾米？分析：遲到5分鐘相當(dāng)于少走了：305=150(米)，提前2分鐘到相當(dāng)于多走了：40 2=80(米)，所以，如果不遲到也不早到，弟弟走的時(shí)間為：(150+80)(

20、40-30)= 23(分鐘)，家到學(xué)校的距離為：30(23+5)=840(米).【例10】 百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送100只花瓶雙方商定每只運(yùn)費(fèi)1元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償1元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)92元問：搬運(yùn)過程中共打破了幾只花瓶?分析：假設(shè)100只花瓶在搬運(yùn)過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運(yùn)費(fèi)1100=100(元)實(shí)際上只得到92元，少得100-92=8(元)搬運(yùn)站每打破一只花瓶要損失1+1=2(元)因此共打破花瓶82=4(只)附加內(nèi)容【附1】 100名學(xué)生參加數(shù)學(xué)競賽，平均分?jǐn)?shù)是63分，其中參賽男同學(xué)平均分為60分，女同學(xué)平均分為70分，那么該校參賽男同學(xué)比

21、女同學(xué)多幾人？分析：參賽女同學(xué)人數(shù)為：100(63-60) (70-60)=30(人)所以參賽男同學(xué)比女同學(xué)多100-30-30=40（人）【附2】 學(xué)而思競賽班舉行歌唱比賽，五位評(píng)委打分計(jì)分時(shí)，先去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，在算出平均分作為該選手的最后得分下面是嘟嘟同學(xué)的得分：79，83，86，81，（第五個(gè)分?jǐn)?shù)被蓋上了），最后得分82請(qǐng)你算算第五位評(píng)委打多少分？ 分析：如果第五位評(píng)委的分?jǐn)?shù)是最高分獲最低分，那么另一個(gè)去掉的分?jǐn)?shù)就是79或86，剩下的3個(gè)分?jǐn)?shù)的平均分不等于82，不合題意.所以第五位評(píng)委的分?jǐn)?shù)是沒有被去掉的，去掉的是79和86，第五位評(píng)委的分?jǐn)?shù)是823-（83+81）=82（分

22、）.【附3】 早晨陳奶奶去超市買菜，如果她買6千克魚肉則還差10元如果買8千克豬肉則還剩2元已知每千克魚肉比豬肉貴5元那么陳奶奶帶了多少錢?分析：由于每千克魚肉比豬肉貴5元，6千克魚肉應(yīng)該比6千克豬肉貴：65=30(元)，這時(shí)，買6千克豬肉應(yīng)該剩下：3010=20(元)，所以，每千克豬肉的價(jià)錢為：(202)(86)=9(元)，陳奶奶所帶錢數(shù)：89+2=74(元).【附4】 樂樂從家去學(xué)校上學(xué)，每分鐘走50米，走了2分鐘后，發(fā)覺按這樣的速度走下去，到學(xué)校就會(huì)遲到8分鐘于是樂樂開始加快速度，每分鐘比原來多走10米，結(jié)果到達(dá)學(xué)校時(shí)離上課還有5分鐘問：樂樂家離學(xué)校有多遠(yuǎn)? 分析：樂樂從改變速度的那一點(diǎn)

23、到學(xué)校，若每分鐘走50米，則要遲到8分鐘，也就是到上課時(shí)間時(shí)，他離學(xué)校還有508=400(米)；若每分鐘多走10米，即每分鐘走60米，則到達(dá)學(xué)校時(shí)離上課還有5分鐘，如果一直走到上課時(shí)間，那么他將多走(50+10)5=300(米)所以盈虧總額，即總的路程相差400+300=700(米)兩種走法每分鐘相差10米，因此所用時(shí)間為700-10=70(分)，也就是說，從樂樂改變速度起到上課時(shí)間有70分鐘所以樂樂家到學(xué)校的距離為50(2+70+8)=4000(米)【附5】 四(2)班在這次的班級(jí)評(píng)比中，獲得了“全優(yōu)班”的稱號(hào)為了獎(jiǎng)勵(lì)同學(xué)們，班主任劉老師買了一些鉛筆和橡皮劉老師把這些鉛筆和橡皮分成一小堆一小

24、堆，以便分給幾位優(yōu)秀學(xué)生如果每堆有1塊橡皮2支鉛筆，鉛筆分完時(shí)橡皮還剩5塊；如果每堆有3塊橡皮和5支鉛筆，橡皮分完時(shí)還剩5支鉛筆那么，劉老師一共買了多少塊橡皮?多少支鉛筆? 分析：如果增加10支鉛筆，則按1塊橡皮、2支鉛筆正好分完；而按3塊橡皮、5支鉛筆分，則剩下10+5=15(支)鉛筆，但如果按3塊橡皮、6支鉛筆分，則正好分完，可以分成：15(65)=15(堆)，所以，橡皮數(shù)為：153=45(塊)，鉛筆數(shù)為：15610=80(支)大顯身手1. 暑假期間，小強(qiáng)每天都堅(jiān)持游泳，并對(duì)所游的距離作了記錄如果他在暑假的最后一天游670米，則平均每天游495米；如果最后一天游778米，則平均每天游498

25、米；如果他想平均每天游500米，那么最后一天應(yīng)游多少米？分析：（778-670）（498-495）=1083=36（天），說明小強(qiáng)一共游了36天.要想平均游500米的話，他最后一天應(yīng)該游670+36（500-495）=670+180=850米.2. 甲、乙兩地相距240千米，一輛汽車從甲地往乙地送貨，去時(shí)以每小時(shí)40千米的速度行駛.返回時(shí)由于空載，以每小時(shí)60千米的速度行駛.這輛汽車往返的平均速度是每小時(shí)多少千米？分析：2402=480（千米），24040=6（小時(shí)），24060=4（小時(shí)），6+4=10（小時(shí)），48010=48（千米）.3. 王老師帶班里的學(xué)生去頤和園春游，他們租了一些船在

26、昆明湖上劃船，如果增加1條船，正好每條船坐4人，如果減少1條船，正好每條船坐6人，那么，他們總共有幾人去了頤和園？分析：這道題也可以理解為：原來每條船坐4人正好，后來減少了2條船，每條船坐6人所以，租的船的數(shù)量為：6(1+1)(64)=6(條)，去頤和園的總?cè)藬?shù)為：64=24(人).4. 蘭蘭參加暑假的英語夏令營，老師為她們安排住宿，如果每個(gè)房間住5人，則多出18人，如果每個(gè)房間住7人，則有2個(gè)房間空著.那么，參加英語夏令營的同學(xué)有幾人？分析：房間數(shù)量：(18+72)(75)=16(個(gè))，參加夏令營的人數(shù)：165+18=98(人).成長故事永遠(yuǎn)看得起自己有一天某個(gè)農(nóng)夫的一頭驢子，不小心掉進(jìn)一口

27、枯井里，農(nóng)夫絞盡腦汁想辦法救出驢子，但幾個(gè)小時(shí)過去了，驢子還在井里痛苦地哀嚎著 最后，這位農(nóng)夫決定放棄，他想這頭驢子年紀(jì)大了，不值得大費(fèi)周章去把它救出來，不過無論如何，這口井還是得填起來于是農(nóng)夫便請(qǐng)來左鄰右舍幫忙一起將井中的驢子埋了，以免除它的痛苦 農(nóng)夫的鄰居們?nèi)耸忠话宴P子，開始將泥土鏟進(jìn)枯井中當(dāng)這頭驢子了解到自己的處境時(shí)，剛開始哭得很凄慘但出人意料的是，一會(huì)兒之后這頭驢子就安靜下來了農(nóng)夫好奇地探頭往井底一看，出現(xiàn)在眼前的景象令他大吃一驚：當(dāng)鏟進(jìn)井里的泥土落在驢子的背部時(shí)，驢子的反應(yīng)令人稱奇它將泥土抖落在一旁，然后站到鏟進(jìn)的泥土堆上面！ 就這樣，驢子將大家鏟倒在它身上的泥土全數(shù)抖落在井底，然后

28、再站上去很快地，這只驢子便得意地上升到井口，然后在眾人驚訝的表情中快步地跑開了！第三講 應(yīng)用題綜合（二）年齡問題和還原問題春季班都學(xué)習(xí)過基礎(chǔ)的知識(shí)：年齡問題的解題要點(diǎn)是分析題意從表示年齡間倍數(shù)關(guān)系的條件入手理解數(shù)量關(guān)系.關(guān)鍵抓住“年齡差”不變.應(yīng)用“差倍”、“和倍”或“和差”問題數(shù)量關(guān)系式解決；還原問題我們學(xué)習(xí)了用倒推法解單、多個(gè)變量的還原問題.今天我們?cè)偬岣吆屯卣挂幌?來吧，我們出發(fā)！你還記得嗎？1. 今年姐姐13歲，弟弟今年10歲，當(dāng)姐弟年齡之和達(dá)101歲時(shí)，姐弟各是多少歲？分析： 法1：兩人年齡和每年增加2歲算出過多少年兩人年齡和達(dá)101歲，就可在現(xiàn)在的年齡上各人增加同樣多的歲數(shù)101(

29、1310)=10123=78(歲)，782 39(年)，姐：133952(歲) ，弟：103949(歲) 法2：可以把本題理解為一道“和差問題”，由已知姐姐和弟弟今年分別是13歲和10歲，可求出兩人今年的年齡差是：13-10=3（歲）當(dāng)兩人的年齡和是101歲時(shí)，兩人的年齡差還是3歲所以，姐姐的年齡為（101+3）2=52（歲），弟弟的年齡為52-3=49（歲）2. 今年爸爸48歲，兒子20歲，幾年前爸爸的年齡是兒子的5倍？分析：今年爸爸與兒子的年齡差為“4820=28”歲，因?yàn)槎说哪挲g差不隨時(shí)間的變化而改變，所以當(dāng)爸爸的年齡為兒子的5倍時(shí)，兩人的年齡差還是這個(gè)數(shù)，這樣就可以用“差倍問題”的解

30、法當(dāng)爸爸的年齡是兒子年齡的5倍時(shí)，他們的年齡差是兒子年齡的4倍，所以兒子的年齡是：（4820）（51）7（歲），由20713（歲），推知13年前爸爸的年齡是兒子年齡的5倍3. 小新在做一道加法題，由于粗心，將個(gè)位上的5看作9，把十位上的8看作3，結(jié)果所得的和是123正確的答案是多少? 分析：（倒推法）把個(gè)位上的5看作9，相當(dāng)于把正確的和多算了4，求正確的和，應(yīng)把4減去；把十位上的8看作3，相當(dāng)于把正確的和少算了50，求正確的和，應(yīng)把50加上去所以正確的和是123+50- 4=169即：123+(80-30)- (9-5)=169.4. 一群螞蟻搬家，原存一堆食物第一天運(yùn)出總數(shù)的一半少12克第二

31、天運(yùn)出剩下的一半少12克，結(jié)果窩里還剩下43克問螞蟻家原有食物多少克?分析：（倒推法）教師可畫線段圖幫助學(xué)生理解如果第二天再多運(yùn)出12克，就是剩下的一半，所以第一天運(yùn)出后，剩下的一半重量是43-12=3l(克)；這樣，第一天運(yùn)出后剩下的重312=62(克)那么，一半的重量是6212=50(克)，原有食物502=100(克) 即 (43-12)2-122=100(克).暑假精講【例1】 父親15年前的年齡相當(dāng)于兒子12年后的年齡當(dāng)父親的年齡是兒子的4倍時(shí)，父親多少歲?分析：父親比兒子大15+12=27歲兒子是27(41)=9歲父親是94=36歲【例2】 小明一家有4人：爺爺、爸爸、媽媽和小明爺爺

32、比爸爸大26歲，媽媽比小明也大26歲已知這家人今年的年齡之和為126歲，而5年前的年齡之和為107歲，那么小明與他爺爺?shù)哪挲g之差是幾歲？分析：5年來，小明家的年齡之和增加了126-107=19歲這家現(xiàn)有4口人，而1945，這說明小明還不滿5歲，他今年只有19-35=4歲于是今年媽媽4+26=30歲，爺爺和爸爸的年齡之和為126-4-30=92歲又爺爺比爸爸大26歲，因此今年?duì)敔?92+26)2=59歲，他比小明大59-4=55歲【例3】 6年前，母親的年齡是兒子的5倍.6年后母子年齡和是78歲.問：母親今年多少歲？分析： 母子今年年齡和： 78-6 2=66（歲），母子6年前年齡和： 66-6

33、2=54（歲），母親6年前的年齡：54（5+1）5=45（歲），母親今年的年齡：45+6=51（歲）【例4】 王老師與王平和李剛兩位同學(xué)的平均年齡是20歲，李老師與王平和李剛兩位同學(xué)的平均年齡是18歲王老師今年32歲，李老師今年多少歲?分析：王老師比李老師大203183=6(歲)故李老師今年的年齡為326=26(歲)【例5】 林林1999年上四年級(jí)，他出生年份的各位數(shù)字之和是最大的一位數(shù)的3倍，問他1999年幾歲？分析：他出生于1989年，1999年時(shí)他10歲.【例6】 新天地廣場運(yùn)進(jìn)一批新款式彩色電視機(jī)，第一天售出總數(shù)的一半多10臺(tái)，第二天售出剩下的一半多20臺(tái)，還剩95臺(tái)這批新款彩電有多少

34、臺(tái)?分析：根據(jù)題意可畫出線段示意圖進(jìn)行倒推還原由示意圖可知：95臺(tái)加上20臺(tái)正好是剩下的一半，所以用(95+20)2=剩下的臺(tái)數(shù)；剩下的臺(tái)數(shù)加上10臺(tái)，正好是總數(shù)的一半，于是可求出這批彩電的臺(tái)數(shù)(95+20)2+102=480（臺(tái)）. 【例7】 村姑賣蛋，第一次賣出一籃的一半又二個(gè)；第二次賣出余下的一半又二個(gè)；第三次賣出再剩下的一半又二個(gè)，這時(shí)籃里只剩下二十個(gè)蛋這籃雞蛋有多少個(gè)?從上面線段圖可以看出：最后剩下20個(gè)再加上第三次賣出的再余下的一半以外的2個(gè)，就是再余下的一半，由此可求出再余下的是：(20+2)2=44(個(gè))44個(gè)再加上第二次賣出余下的一半以外的2個(gè)就是余下的一半，因此可求出余下的

35、是：(44+2)2=92(個(gè))92個(gè)再加上第一次賣出一籃的一半以外的2個(gè)就是全籃的一半，因此可求出全籃雞蛋的個(gè)數(shù)是(92+2)2=188(個(gè))【例8】 A，B，C三位小朋友都有若干本圖書，如果A將自己的書給B，C，使B，C的書各增加一倍然后B又將現(xiàn)有的圖書給A，C，使A，C現(xiàn)有的圖書各增加一倍；最后C再將自己已有的圖書給A，B，使A，B的圖書各增加一倍，這時(shí)三人的圖書都是240本A，B，C三位小朋友原來各有圖書多少本?ABC第一次390210120第二次60420240第三次120120480240240240分析：如圖：【例9】 三人存款不等，只知如果甲給乙40元，乙又給丙30元，丙再給甲2

36、0元，給乙70元，這時(shí)三人都有240元三人原來各有存款多少元？分析：甲原有：240-20+40=260（元）；乙原有：240-70+30-40=160（元）；丙原有：240+20+70-30=300（元）.附加內(nèi)容【附1】 甲、乙、丙、丁四人現(xiàn)在的年齡和是64歲，甲21歲，乙17歲甲18歲時(shí)，丙的年齡是丁的3倍丁現(xiàn)在的年齡是多少歲?分析：（法1）當(dāng)甲18歲時(shí)，乙的年齡為173=14(歲)丁現(xiàn)在的年齡為(641814)(1+3)=324=8(歲)（法2）甲18歲是3年前，所以4人總年齡是64-34=52（歲），所以丙丁年齡和為52-18-14=20（歲），丁就是20（1+3）=5（歲），現(xiàn)在的年

37、齡是5+3=8（歲）.【附2】 竹籃內(nèi)有若干李子，將它的一半又一個(gè)給小朋友甲，把剩下的一半又兩個(gè)給小朋友乙，最后取剩余的一半又三個(gè)給小朋友丙，這時(shí)竹籃里的李子恰好發(fā)完問竹籃內(nèi)原來有多少個(gè)李子?分析：（倒推法）“剩余的一半又三個(gè)恰好發(fā)完”說明剩余的一半剛好是3個(gè)，即第二次發(fā)完后還剩6個(gè)，“剩下的一半又兩個(gè)”，則第一次發(fā)完后還剩（6+2）2=16（個(gè)），“將它的一半又一個(gè)”，則原來有（16+1）2=34（個(gè)）.大顯身手1. 小櫻今年16歲，小桃今年11歲，幾年后，小櫻和小桃的年齡之和是45歲?分析：小櫻和小桃今年年齡和為16+11=27(歲)小櫻和小桃經(jīng)過4527=18(年) 兩人的年齡之和是45

38、歲時(shí) 這時(shí)，小櫻和小紅每人經(jīng)過的年數(shù)都為：182=9(年) 2. 已知明明今年2歲，爸爸今年28歲，那么請(qǐng)問11年后爸爸的年齡是小明的年齡的多少倍?分析：(28+11)(2+11)=3913=3（倍）3. 小龜問老龜：“老爺爺，您今年多少歲?”老龜說：“把我的年齡加上20，再縮小2倍之后減去15，再擴(kuò)大3倍，正好是105歲你能算出我今年多少歲嗎?”分析：（法1）根據(jù)題意，從最后一個(gè)條件105歲開始倒推：最后的數(shù)擴(kuò)大3倍是105歲，如果沒擴(kuò)大3倍，應(yīng)該是1053=35(歲)；這個(gè)35歲是減去15得到的，如果沒減去15，應(yīng)該是35+15=50(歲)；這個(gè)50歲是縮小2倍后得到的，如果沒有縮小2倍，

39、應(yīng)該是502=100(歲)；這個(gè)100歲是老龜?shù)哪挲g加上20后得到的，那么老龜?shù)哪挲g應(yīng)該是80歲（法2）設(shè)老龜今年x歲依題意有(x+20)2153=105解得x=804. 小紅、小華和小剛各有一些故事書，小紅給小華3本，小華給小剛5本后，三個(gè)人的書的本數(shù)同樣多.小華原來比小剛多多少本?分析：（倒推法）5+(5-3)= 7(本).成長故事老鷹和火雞有一群火雞看著老鷹張著翅膀自由自在地在天上翱翔，十分的羨慕于是和老鷹的頭頭商量是否能夠派一個(gè)教練來教他們飛行的方法，老鷹頭頭爽快的答應(yīng)下來 老鷹教練很有耐心地教導(dǎo)火雞張開翅膀?qū)W飛行：翅膀張開，用力地拍！火雞們?cè)诶销椊叹毜拇罅χ笇?dǎo)下拼命地張著翅膀、用力地

40、拍，它們好高興自己會(huì)飛了，雖然飛得不是很高，但是它們已經(jīng)會(huì)飛了！ 太陽西下，該是下課回家的時(shí)候了，老鷹教練對(duì)它們說：你們今天好棒！你們都飛得很好，你們可以飛了！太陽下山了，我也要回家了！結(jié)果呢？老鷹是飛著回家，火雞仍然是走路回家第四講 行程問題初步在春季班時(shí)我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了簡單的行程問題相遇問題的基本類型（兩人單次直線相遇），同學(xué)們，你們還記得做行程問題的基本工具是什么嗎？沒錯(cuò)，就是畫“線段圖”.今天我們將學(xué)習(xí)更加復(fù)雜的相遇問題.先來回顧一下相遇問題的基礎(chǔ)知識(shí)吧！ 你還記得嗎？1. 團(tuán)團(tuán)和圓圓同時(shí)從甲、乙兩個(gè)書店相對(duì)出發(fā)，團(tuán)團(tuán)每分鐘走460米，圓圓每分鐘走480米3分鐘后兩人相遇甲、乙兩個(gè)書店相

41、隔是多少千米？分析：（法1）根據(jù)公式：總路程=速度和相遇時(shí)間，所以甲、乙兩個(gè)書店的路程是（460+480）3=2820（米）（法2）如圖，還可以先分別求兩人各走了多少再相加，4603+4803=2820（千米）2. 胖胖和瘦瘦兩家相距255千米，兩人同時(shí)騎車從家出發(fā)相對(duì)而行，胖胖每小時(shí)行45千米，瘦瘦每小時(shí)行40千米兩人相遇時(shí)，胖胖和瘦瘦各行了多少千米？分析：255（45+40）=3（小時(shí)）胖胖：453=135（千米），瘦瘦：403=120（千米）3. 孫悟空在花果山，豬八戒在高老莊，花果山和高老莊中間有條流沙河，一天，他們約好在流沙河見面，孫悟空的速度是200千米小時(shí)豬八戒的速度是150千米

42、小時(shí)，他們同時(shí)出發(fā)2小時(shí)后還相距500千米，則花果山和高老莊之間的距離是多少千米？分析：建議教師畫線段圖我們可以先求出2小時(shí)孫悟空和豬八戒走的路程：(200+150)2=700(千米)，又因?yàn)檫€差500米，所以花果山和高老莊之間的距離：700+500=1200(千米)4. 甲乙兩輛汽車分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲車先行1小時(shí)，甲車每小時(shí)行48千米，乙車每小時(shí)行5O千米，5小時(shí)相遇求A、B兩地間的距離分析：這題不同的是兩車不“同時(shí)”（法1 ）求A、B兩地間的路程就是求甲、乙兩車所行的路程和這樣可以充分別求出甲車、乙車所行的路程，再把兩部分合起來48（15）288（千米），5O525O（千米）

43、，28825O538（千米）（法2 ）還可以先求出甲、乙兩車5小時(shí)所行的路程和，再加上甲車1小時(shí)所行的路程（485O）549O（千米），49O48538（千米）暑假精講【例1】 兩輛汽車分別從A、B兩地出發(fā)相向而行，甲車先行三小時(shí)后乙車從B地出發(fā)，乙車出發(fā)5小時(shí)后兩車還相距15千米甲車每小時(shí)行48千米，乙車每小時(shí)行5O千米求A、B兩地間相距多少千米？分析：（485O）549O（千米），49O48315649（千米），A、B兩地間相距649千米【例2】 甲乙兩列火車從相距144千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行28千米，乙車每小時(shí)行22千米，乙車先出發(fā)2小時(shí)后，甲車才出發(fā)甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇?

44、分析：甲、乙兩車出發(fā)時(shí)間有先有后，乙車先出發(fā)2小時(shí)，這段時(shí)間甲車沒有行駛，那么乙車這2小時(shí)所行的路程不是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的時(shí)間乙車先行駛路程：222=44(千米)甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行路程144-44=100(千米)，甲、乙兩車速度和：28+22=50(千米)，甲車行的時(shí)間：10050=2(小時(shí)) 【例3】 甲乙兩列火車從相距770千米的兩地相向而行，甲車每小時(shí)行45千米，乙車每小時(shí)行41千米，乙車先出發(fā)2小時(shí)后，甲車才出發(fā)甲車行幾小時(shí)后與乙車相遇?分析：甲乙兩車出發(fā)時(shí)間有先有后，乙車先出發(fā)2小時(shí)，

45、這段時(shí)間甲車沒有行駛，那么乙車這2小時(shí)所行的路程不是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，所以要先求出甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的路程，再除以速度和，才是甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行的時(shí)間乙車先行駛路程：412=82(千米)甲、乙兩車同時(shí)相對(duì)而行路程770-82=688(千米)，甲、乙兩車速度和：45+41=86(千米)，甲車行的時(shí)間：68886=8(小時(shí)) 【例4】 甲乙兩人同時(shí)從兩地相向而行甲每小時(shí)行5千米，乙每小時(shí)行4千米兩人相遇時(shí)乙比甲少行3千米兩地相距多少千米？ 分析：兩人行駛的時(shí)間為3（5-4）=3小時(shí)，所以兩地相距(5+4)3=27千米.【例5】 李明和王亮同時(shí)分別從兩地騎車相向而行，李明每小時(shí)行

46、18千米，王亮每小時(shí)行16千米，兩人相遇時(shí)距全程中點(diǎn)3千米問全程長多少千米?分析：根據(jù)題意，畫個(gè)草圖，能幫助我們找出數(shù)量關(guān)系依題意作行程草圖如下： 李明走了全程的一半多3千米，王亮走了全程的一半少3千米，李明比王亮實(shí)際多走了32=6(千米)由已知李明每小時(shí)比王亮多走1816=2(千米)，那么多少小時(shí)李明比王亮多行6千米呢?需要62=3(小時(shí))，這就是兩人的相遇時(shí)間，有了相遇時(shí)間，全程就容易求出了全程(18+16)3=102(千米).【例6】 兩地相距900米，甲、乙二人同時(shí)、同地向同一方向行走，甲每分鐘走80米，乙每分鐘走100米，當(dāng)乙到達(dá)目標(biāo)后，立即返回，與甲相遇，從出發(fā)到相遇共經(jīng)過多少分鐘

47、?分析：甲、乙二人開始是同向行走，乙走得快，先到達(dá)目標(biāo)當(dāng)乙返回時(shí)運(yùn)動(dòng)的方向變成了同時(shí)相對(duì)而行，把相同方向行走時(shí)乙用的時(shí)間和返回時(shí)相對(duì)而行的時(shí)間相加，就是共同經(jīng)過的時(shí)間乙到達(dá)目標(biāo)時(shí)所用時(shí)間：900100=9(分鐘)甲9分鐘走的路程：809=720(米)甲距目標(biāo)還有：900720=180(米)相遇時(shí)間：180(100+80)=1(分鐘)，共用時(shí)間：9+1=10(分鐘).簡便解：畫圖可知兩人總共走了2個(gè)全程，所以總?cè)虨?800，所以時(shí)間為1800(80+100)=10分鐘【例7】 一個(gè)圓形操場跑道的周長是500米，兩個(gè)學(xué)生同時(shí)同地相背而行甲每分鐘走66米，乙每分鐘走59米經(jīng)過幾分鐘才能相遇?分析：

48、500（66+59）=500125=4分鐘.【例8】 阿呆和阿瓜同時(shí)從距離20千米的兩地相向而行，阿呆每小時(shí)走6千米，阿瓜每小時(shí)走4千米. 阿瓜帶著一只小狗，狗每小時(shí)走10千米這只狗同阿瓜一道出發(fā)碰到阿呆的時(shí)候，它就掉頭朝阿瓜這邊走，碰到阿瓜時(shí)又朝阿呆那邊走，直到兩人相遇，問這只小狗一共走了多少千米?分析：要求狗走的路程，由于狗在兩人之間要跑多少個(gè)來回，每一次所用的時(shí)間是多少，這些量無法確知，所以不可能把每次狗與兩人相遇走的路程分別求出再相加仔細(xì)分析整個(gè)過程，抓住其中不變的關(guān)系：不論狗在兩人之間跑了多少個(gè)來回，狗走的路程所用的總時(shí)間等于兩人相遇所用的時(shí)間所以，只要求出兩人相遇所用的時(shí)間，就可以

49、求出狗所走的路程這樣，問題就轉(zhuǎn)化為阿呆和阿瓜兩人相遇時(shí)間的問題相遇時(shí)間20(6+4)=2（小時(shí))，狗共跑路程102=20(千米).【例9】 甲騎自行車每小時(shí)行18千米，乙步行每小時(shí)行6千米，如果兩人同時(shí)在同一地點(diǎn)同一方向出發(fā)，甲走了48千米到達(dá)某地，立即按原路返回，在途中和乙相遇.問：從出發(fā)到相遇共經(jīng)過多少時(shí)間？ 分析：由題意知，甲走了48千米到達(dá)某地說明全程為48千米，甲乙從出發(fā)到相遇共行了兩個(gè)全程，則再依兩人的速度和，求出相遇時(shí)間.所以甲乙速度和為18+6=24（千米）.甲乙的相遇時(shí)間為48224=4（小時(shí)）.【例10】 一輛汽車和一輛摩托車同時(shí)從甲乙兩地相對(duì)開出，摩托車每小時(shí)行54千米汽

50、車每小時(shí)行48千米.兩車相遇后又以原來的速度繼續(xù)前進(jìn)，摩托車到乙地立即返回.汽車到甲地立即返回.兩車在距離中點(diǎn)108千米的地方再次相遇，那么甲乙兩地的路程是多少千米？ 分析：第二次相遇距中點(diǎn)108千米，說明兩車共有1082=216（千米）的路程差，由此可知兩車共行216（54-48）=36（小時(shí)）.又因?yàn)榈诙蜗嘤鰞绍嚬沧吡?個(gè)全程，所以走一個(gè)全程用363=12（小時(shí)）.記可求出甲乙兩地的路程是（54+48）12=1224（千米）.附加內(nèi)容【附1】 有一個(gè)自行車隊(duì)，以每小時(shí)35千米的速度前進(jìn)，甲選手突然發(fā)力，以每小時(shí)45千米的速度前進(jìn)，車隊(duì)速度不變，當(dāng)甲選手行進(jìn)了10千米后掉頭返回，問再過多久可以與自行車隊(duì)相遇？分析：甲走10千米的時(shí)間為（小時(shí) ）， 車隊(duì)走的時(shí)間也是（小時(shí) ）， 車隊(duì)走的路程是： （千米），此時(shí)車隊(duì)與甲相距（千米），甲掉頭返回與車隊(duì)相遇的時(shí)間為（小時(shí) ） 【附2】 甲乙兩人同時(shí)從AB兩地相向而行，