18年高考真題——理科數(shù)學(xué)(天津卷)

1、2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)（理）（天津卷）一選擇題（共8小題，每小題5分，共40分。在每小題列出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)）1設(shè)全集為，集合，則（ ）（A） （B） （C） （D）2變量滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值是（ ） （A）6 （B）19 （C）21 （D）453閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入的值為20，則輸出的值為（ ） （A）1 （B）2 （C）3 （D）44設(shè)，則“”是“”的（ ）（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件5已知，則的大小關(guān)系為（ ）（A） （B） （C） （D）6將函數(shù)的圖象

2、向右平移個單位長度，所得圖象對應(yīng)的函數(shù)（ ） （A）在區(qū)間上單調(diào)遞增 （B）在區(qū)間上單調(diào)遞減（C）在區(qū)間上單調(diào)遞增 （D）在區(qū)間上單調(diào)遞減7已知雙曲線的離心率為2，過右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)。設(shè)到雙曲線同一條漸近線的距離分別為，且，則雙曲線的方程為（ ）（A） （B）（C） （D）8如圖，在平面四邊形中，。若點(diǎn)為邊上的動點(diǎn)，則（ ） （A） （B） （C） （D）3二填空題（共6小題，每小題5分，共30分）9是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù) 。10在的展開式中，的系數(shù)為_。11已知正方體的棱長為1，除面外，該正方體其余各面的中心分別為點(diǎn)(如圖)，則四棱錐的體積為_。12已知圓的圓心為，直線 (為

3、參數(shù))與該圓相交于兩點(diǎn)，則的面積為_。13已知，且，則的最小值為_。14已知，函數(shù)。若關(guān)于的方程恰有2個互異的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是_。三解答題（本大題共6小題，共80分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15（本小題13分）在中，內(nèi)角所對的邊分別為。已知。求角的大??；設(shè)，求和的值。16（本小題13分）已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人，進(jìn)行睡眠時間的調(diào)查。應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人？若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，現(xiàn)從這7人中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查。用表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列

4、與數(shù)學(xué)期望；設(shè)為事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的員工，也有睡眠不足的員工”，求事件發(fā)生的概率。17（本小題13分）如圖，且，且，且，平面，。若為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，求證：平面；求二面角的正弦值；若點(diǎn)在線段上，且直線與平面所成的角為，求線段的長。 18（本小題13分）設(shè)是等比數(shù)列，公比大于0，其前項(xiàng)和為，是等差數(shù)列。已知，。求和的通項(xiàng)公式；設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，求；證明：。19（本小題14分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為。已知橢圓的離心率為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，且。求橢圓的方程；設(shè)直線：與橢圓在第一象限的交點(diǎn)為，且與直線交于點(diǎn)。若 (為原點(diǎn))，求的值。20（本小題14分）已知函數(shù)，其中。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；若曲

5、線在點(diǎn)處的切線與曲線在點(diǎn)處的切線平行，證明：；證明：當(dāng)時，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線。2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（天津卷）解答一選擇題 BCBAD ACA二填空題 9；10；11；12；13；1415解：由正弦定理可得，故由題可得，從而可得。又因?yàn)?，所以；由余弦定理可得，故。又，故。因，故，從而，所以?12316解：由已知，甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為，由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人，因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人，2人，2人；的可能取值為，所以，隨機(jī)變量的分布列如右表所示，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；設(shè)事件為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有1人，

6、睡眠不足的員工有2人”；事件為“抽取的3人中，睡眠充足的員工有2人，睡眠不足的員工有1人”，則，且與互斥，由知，故所求概率。17解：依題意，可以建立以為原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向的空間直角坐標(biāo)系（如圖），可得，。由題，。設(shè)是平面的法向量，則，即，取得。又，故。又因?yàn)橹本€平面，所以平面； 由題，。設(shè)是平面的法向量，則，即，取得。設(shè)是平面的法向量，則，即，取得。故，從而，所以二面角的正弦值為；設(shè)線段的長為，則，故。易知，為平面的一個法向量，故。由題意得，解得。所以線段的長為。18解：設(shè)的公比為，的公差為。則由得，因，故，從而。由得，解得，故。所以；由知，故；因，故。19解：設(shè)橢圓的焦距為，由已

7、知知，又由，可得。由已知可得，而，故，從而。所以，橢圓的方程為；設(shè)，則。又，且，故，可得。由消去可得。易知：，由消去可得。因，故，整理得，解得或。00極小值20解：由題，故。令得，由知當(dāng)x變化時，的變化情況如右表所示。故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；由可知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，由可知曲線在點(diǎn)處的切線斜率為。因這兩條切線平行，故，即。兩邊取對數(shù)得，所以；曲線在點(diǎn)處的切線：，曲線在點(diǎn)處的切線：。要證明當(dāng)時，存在直線，使是曲線的切線，也是曲線的切線，只需證明當(dāng)時，存在，使得和重合。即只需證明當(dāng)時，方程組有解。由方程組消去得，因此，只需證明當(dāng)時，關(guān)于的方程存在實(shí)數(shù)解。設(shè)，則要證明當(dāng)時，函數(shù)存在零點(diǎn)。因?yàn)?，所以時，時單調(diào)遞減