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1、2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試數(shù) 學(xué)(理)(天津卷)一選擇題(共8小題,每小題5分,共40分。在每小題列出的四個選項中,選出符合題目要求的一項)1設(shè)全集為,集合,則( )(A) (B) (C) (D)2變量滿足約束條件,則目標函數(shù)的最大值是( ) (A)6 (B)19 (C)21 (D)453閱讀如圖的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,若輸入的值為20,則輸出的值為( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)44設(shè),則“”是“”的( )(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不充分也不必要條件5已知,則的大小關(guān)系為( )(A) (B) (C) (D)6將函數(shù)的圖象
2、向右平移個單位長度,所得圖象對應(yīng)的函數(shù)( ) (A)在區(qū)間上單調(diào)遞增 (B)在區(qū)間上單調(diào)遞減(C)在區(qū)間上單調(diào)遞增 (D)在區(qū)間上單調(diào)遞減7已知雙曲線的離心率為2,過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點。設(shè)到雙曲線同一條漸近線的距離分別為,且,則雙曲線的方程為( )(A) (B)(C) (D)8如圖,在平面四邊形中,。若點為邊上的動點,則( ) (A) (B) (C) (D)3二填空題(共6小題,每小題5分,共30分)9是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù) 。10在的展開式中,的系數(shù)為_。11已知正方體的棱長為1,除面外,該正方體其余各面的中心分別為點(如圖),則四棱錐的體積為_。12已知圓的圓心為,直線 (為
3、參數(shù))與該圓相交于兩點,則的面積為_。13已知,且,則的最小值為_。14已知,函數(shù)。若關(guān)于的方程恰有2個互異的實數(shù)解,則的取值范圍是_。三解答題(本大題共6小題,共80分。解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟)15(本小題13分)在中,內(nèi)角所對的邊分別為。已知。求角的大小;設(shè),求和的值。16(本小題13分)已知某單位甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)分別為,現(xiàn)采用分層抽樣的方法從中抽取7人,進行睡眠時間的調(diào)查。應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取多少人?若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,現(xiàn)從這7人中隨機抽取3人做進一步的身體檢查。用表示抽取的3人中睡眠不足的員工人數(shù),求隨機變量的分布列
4、與數(shù)學(xué)期望;設(shè)為事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的員工,也有睡眠不足的員工”,求事件發(fā)生的概率。17(本小題13分)如圖,且,且,且,平面,。若為的中點,為的中點,求證:平面;求二面角的正弦值;若點在線段上,且直線與平面所成的角為,求線段的長。 18(本小題13分)設(shè)是等比數(shù)列,公比大于0,其前項和為,是等差數(shù)列。已知,。求和的通項公式;設(shè)數(shù)列的前項和為,求;證明:。19(本小題14分)設(shè)橢圓的左焦點為,上頂點為。已知橢圓的離心率為,點的坐標為,且。求橢圓的方程;設(shè)直線:與橢圓在第一象限的交點為,且與直線交于點。若 (為原點),求的值。20(本小題14分)已知函數(shù),其中。求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;若曲
5、線在點處的切線與曲線在點處的切線平行,證明:;證明:當時,存在直線,使是曲線的切線,也是曲線的切線。2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試(天津卷)解答一選擇題 BCBAD ACA二填空題 9;10;11;12;13;1415解:由正弦定理可得,故由題可得,從而可得。又因為,所以;由余弦定理可得,故。又,故。因,故,從而,所以。012316解:由已知,甲、乙、丙三個部門的員工人數(shù)之比為,由于采用分層抽樣的方法從中抽取7人,因此應(yīng)從甲、乙、丙三個部門的員工中分別抽取3人,2人,2人;的可能取值為,所以,隨機變量的分布列如右表所示,隨機變量的數(shù)學(xué)期望;設(shè)事件為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有1人,
6、睡眠不足的員工有2人”;事件為“抽取的3人中,睡眠充足的員工有2人,睡眠不足的員工有1人”,則,且與互斥,由知,故所求概率。17解:依題意,可以建立以為原點,分別以的方向為軸的正方向的空間直角坐標系(如圖),可得,。由題,。設(shè)是平面的法向量,則,即,取得。又,故。又因為直線平面,所以平面; 由題,。設(shè)是平面的法向量,則,即,取得。設(shè)是平面的法向量,則,即,取得。故,從而,所以二面角的正弦值為;設(shè)線段的長為,則,故。易知,為平面的一個法向量,故。由題意得,解得。所以線段的長為。18解:設(shè)的公比為,的公差為。則由得,因,故,從而。由得,解得,故。所以;由知,故;因,故。19解:設(shè)橢圓的焦距為,由已
7、知知,又由,可得。由已知可得,而,故,從而。所以,橢圓的方程為;設(shè),則。又,且,故,可得。由消去可得。易知:,由消去可得。因,故,整理得,解得或。00極小值20解:由題,故。令得,由知當x變化時,的變化情況如右表所示。故函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;由可知曲線在點處的切線斜率為,由可知曲線在點處的切線斜率為。因這兩條切線平行,故,即。兩邊取對數(shù)得,所以;曲線在點處的切線:,曲線在點處的切線:。要證明當時,存在直線,使是曲線的切線,也是曲線的切線,只需證明當時,存在,使得和重合。即只需證明當時,方程組有解。由方程組消去得,因此,只需證明當時,關(guān)于的方程存在實數(shù)解。設(shè),則要證明當時,函數(shù)存在零點。因為,所以時,時單調(diào)遞減
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