全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽試題及答案

1、2011年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽試 題一、選擇題（每小題6分，共60分）1已知集合（） . (A) (B) (C) (D) 2已知, 若為實數(shù)，則最小的正整數(shù)的值為（） . (A) (B) (C) (D) 3已知成等比數(shù)列，q:， 則是的（） . (A) 充分不必要條件 (B) 必要不充分條件 (C) 充分且必要條件 (D) 既不充分也不必要條件4函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（） . (A) (B) (C) (D) 5已知均為正實數(shù)，則的最大值為（） . (A) 2 (B) (C) 4(D) 6直線與在區(qū)間上截曲線所得的弦長相等且不為零，則下列描述正確的是（） . （A）（B）（C）（D）7有6名

2、同學(xué)咨詢成績老師說：甲不是6人中成績最好的，乙不是6人中成績最差的，而且6人的成績各不相同那么他們6人的成績不同的可能排序共有 （） . (A) 120種 (B) 216 種 (C) 384 種 (D) 504種8若點在曲線上,點在曲線上，則的最小值是（） . (A) (B) (C) (D) 9已知函數(shù) (為常數(shù)，)，且，則的值是（） . (A) 8 (B) 4 (C) (D) 10在等差數(shù)列中，若，且它的前項和有最大值，那么當(dāng)取最小正值時， （）. (A) 1 (B) 10 (C) 19 (D) 20二、填空題（每小題6分，共24分）11已知，記的最大值為，則的表達(dá)式為 . 12已知，則 .

3、 13設(shè)為拋物線上相異兩點，則的最小值為_14已知中，是重心，三內(nèi)角的對邊分別為，且，則=_三、解答題（本大題共5題，共66分）15(12分)不等式對恒成立求實數(shù)的取值范圍16. （12分）已知在正方體中，分別為的中點，且 求四面體的體積17. （12分） 在平面直角坐標(biāo)系中, 已知圓與圓相交于點，, 點的坐標(biāo)為, 兩圓半徑的乘積為若圓和均與直線: 及軸相切，求直線的方程18. （15分）甲乙兩人進(jìn)行某種游戲比賽，規(guī)定每一次勝者得1分，負(fù)者得0分；當(dāng)其中一人的得分比另一人的多2分時即贏得這場游戲，比賽隨之結(jié)束；同時規(guī)定比賽次數(shù)最多不超過20次，即經(jīng)20次比賽，得分多者贏得這場游戲，得分相等為和

4、局已知每次比賽甲獲勝的概率為（），乙獲勝的概率為假定各次比賽的結(jié)果是相互獨立的，比賽經(jīng)次結(jié)束，求的期望的變化范圍19. （15分） 集合 若滿足：其任意三個元素，均滿足，則稱具有性質(zhì)，為方便起見，簡記具有性質(zhì)的所含元素最多的集合稱為最大集試問具有性質(zhì)的最大集共有多少個？并給出證明本文檔選自華東師范大學(xué)出版社的高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽備考手冊（2012）（預(yù)賽試題集錦），該書收錄了2011年各省市預(yù)賽試題和優(yōu)秀解答。預(yù)賽命題人員大多為各省市數(shù)學(xué)會成員，試題在遵循現(xiàn)行教學(xué)大綱，體現(xiàn)新課標(biāo)精神的同時，在方法的要求上有所提高。命題人員大多同時兼任各省市高考命題工作，試題對高考有一定的指導(dǎo)作用，本書架起了聯(lián)賽與高考

5、的橋梁，是一本不可或缺的備考手冊。圖書推薦： “奧數(shù)”聯(lián)賽沖刺篇 “奧數(shù)”IMO 終極篇更多免費圖書資料，請在百度文庫中搜索“學(xué)奧數(shù)，這里總有一本適合你”。解 答1B. 提示：，所以 2A. 提示：，是使為實數(shù)的最小的正整數(shù) 3A. 提示：充分性顯然成立，必要性不成立例：. 4A. 提示：由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)知，則或當(dāng)時，為增函數(shù)；當(dāng)時，為減函數(shù) 5B. 解法一 令，則所以解法二 令， 則， 此時，即有顯然當(dāng)時，；當(dāng)時，所以函數(shù)在, 即時取得最大值 6D. 提示：函數(shù)，的圖象只有被及這樣的兩直線所截，截得的弦長才能相等，且不為零所以截取函數(shù)的圖象所得弦長相等且不為零的兩直線應(yīng)為，即有解得，進(jìn)而7D

6、. 解法一 以記甲成績排名第一的所有可能的排序之集， 以記乙成績排名為最后的所有可能的排序之集，則，甲排名第一或乙排名最后的所有可能的排序數(shù)為 按照老師所述，這位同學(xué)成績可能的排序數(shù)為 解法二 以乙的成績不在最后為前提，考慮甲的成績不在第一的所有可能排序（1）甲的成績排在最后的所有可能的排序數(shù)為；（2）甲的成績不在最后，又不在第一的所有可能排序數(shù)為所以甲不在首，乙不在尾的所有可能排序數(shù)為xyo8C. 提示： 兩拋物線，關(guān)于直線對稱所求的最小值為拋物線上的點到直線距離的最小值的兩倍設(shè)為上任意點,則,9B. 提示：由已知可得又令，則有 從而有 即知 10C. 提示：設(shè)該等差數(shù)列的公差為顯然 由，知

7、 且 因此由知從而有所以11提示：, 令，則 且拋物線頂點的橫坐標(biāo)為，所以即12提示：原方程等價于：所以或 由（1）得：，且函數(shù)在上為增函數(shù)所以 由此得所以 令，易知在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，；當(dāng)時，因此當(dāng)且僅當(dāng)時，由（2）得：因為 ，故無整數(shù)解，即此方程無解綜上所述, 原方程的解為13. 解法一 設(shè)，則設(shè)直線和軸交于點若直線的斜率存在，設(shè)為，則直線的方程為，將其代入拋物線方程得由二元一次方程根與系數(shù)的關(guān)系得， 由此得所以當(dāng)直線的斜率不存在時，有所以仍有顯然，當(dāng)且僅當(dāng)時，即直線的斜率不存在時等號成立， 有最小值解法二 設(shè)，則所以當(dāng)時，取最小值14. 提示：因為，所以所以因為不共線，所以有設(shè)則，由余

8、弦定理可得 所以15設(shè)，則有， ，原不等式化為： 即,整理得因為 ，即得令， 則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上的最大值為即知的取值范圍為16. 連結(jié)交于，連結(jié)，則因為分別為的中點，所以，因此又因為面，在平面內(nèi)，所以由此得 面因為 ，所以 .在梯形中因此四面體的體積為 17. 由題意知，共線. 設(shè)圓與圓的半徑分別為，直線的斜率為.令，則圓與圓的圓心分別為，, 兩圓的方程分別為 xyOC1C2點是兩圓的公共點，所以由此可知是方程的兩個根，即有從而知直線的方程為18. 以記比賽經(jīng)次結(jié)束的概率若為奇數(shù)，則甲乙得分之差亦為奇數(shù)， 因而有考慮頭兩次比賽的結(jié)果：（1）甲連勝或乙連勝兩次，稱為有勝負(fù)的兩次，此結(jié)果

9、出現(xiàn)的概率為；（2）甲乙各勝一次，稱為無勝負(fù)的兩次，此結(jié)果有兩種情況，故出現(xiàn)的概率為比賽經(jīng)次結(jié)束，必為偶數(shù)，則1,2兩次，3,4兩次，兩次均未分勝負(fù)若，則第兩為有勝負(fù)的兩次，從而有若，比賽必須結(jié)束， 所以 綜上所述 由，知令，則，所以令則因 ，所以有 19. 令，對任一，令顯然，集合設(shè)最大集元素的個數(shù)為，則若，設(shè)中除之外的最小元為，集合中與的乘積大于的元素個數(shù)記為，則結(jié)論1 當(dāng)時，有事實上，若有，即，則可解得不難驗證，當(dāng)時，均有令，且，這里，設(shè)，且結(jié)論2 若是最大集，則事實上，否則的話，由結(jié)論1，知，因為，所以 因此容易求得：， ，所以，這與為最大集矛盾結(jié)論3 若是最大集，則假定.(1) 當(dāng)時， 由結(jié)論2的證明可知因為，則 由此知和中至少有一個不屬于，所以；(2)當(dāng)時， 若，同理可得；若有 ，則，