17.0 勾股定理.ppt

1、第十七章 勾股定理,斯學派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此,在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯,年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀念票。,定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955,兩千多年前，古希臘有個畢達哥拉斯學派，他們首先發(fā)現(xiàn)了勾股定理，因此在國外人們通常稱勾股定理為畢達哥拉斯定理。為了紀念畢達哥拉斯學派，1955年希臘曾經(jīng)發(fā)行了一枚紀念郵票。,相傳，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)這一定理時，曾宰牛百頭，廣設(shè)盛宴，表示慶賀，對這個定理的重視可想而知。,勾股定理的歷史,相傳，一次畢達哥拉斯去朋友家作客，發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面反映直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系。,勾股定理的歷史,我國是最早了解勾股定理的國家之一。早在三千多

2、年前，周朝數(shù)學家商高就提出，將一根直尺折成一個直角，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五，即“勾三、股四、弦五”，它被記載于我國古代著名的數(shù)學著作周髀算經(jīng)中。,弦,勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。,如果直角三角形兩直角邊分別為a、b,斜邊為c，那么,即 :,那么勾股定理是如何證明的呢？,4,4,8,SA+SB=SC,C,圖甲,1.觀察圖甲，小方格 的邊長為1. 正方形A、B、C的 面積各為多少？,正方形A、B、C的 面積有什么關(guān)系？,C,圖乙,2.觀察圖乙，小方格 的邊長為1. 正方形A、B、C的 面積各為多少？,9,16,25,SA+SB=SC,正方形A、B、C的 面積

3、有什么關(guān)系？,4,4,8,SA+SB=SC,圖甲,圖乙,2.觀察圖乙，小方格 的邊長為1.,9,16,25,SA+SB=SC,正方形A、B、C的 面積有什么關(guān)系？,4,4,8,SA+SB=SC,圖甲,a,b,c,a,b,c,3.猜想a、b、c 之間的關(guān)系？,a2 +b2 =c2,a,a,a,a,b,b,b,b,c,c,c,c,用拼圖法證明,用拼圖法證明,用拼圖法證明, S大正方形=4S直角三角形+ S小正方形,a2 +b2 =c2,勾股定理,如果直角三角形兩直角邊分別為a， b，斜邊為c，那么,即直角三角形兩直角邊的平方和等于 斜邊的平方.,a,c,勾,弦,b,股,勾股定理的其它證法,勾股定理

4、是幾何中一個非常重要的定理，自古以來人們進行了大量的長期的研究，目前世界上可查到的證明方法有三百多種。,我國有記載的最早勾股定理的證明，是三國時，我國古代數(shù)學家趙爽在他所著的勾股圓方圖注中，用四個全等的直角三角形拼成一個中空的正方形來證明的。,每個直角三角形的面積叫朱實，中間的正方形面積叫黃實，大正方形面積叫弦實，這個圖也叫弦圖。,大正方形面積怎么求？,趙爽弦圖,結(jié)論：,美國第二十任總統(tǒng)伽菲爾德的證法在數(shù)學史上被傳為佳話人們?yōu)榱思o念 他對勾股定理直觀、簡捷、 易懂、明了的證明，就把 這一證法稱為“總統(tǒng)”證法。,有趣的總統(tǒng)證法,結(jié)論變形,c2 = a2 + b2,直角三角形兩直角邊的平方和等于斜

5、邊的平方。,結(jié)論：在直角三角形中，已知兩邊可以求第三邊.,例1 在RtABC中,BC=24,AC=7,求AB的長.,B,24,A,C,7,如果將題目變?yōu)椋?在RtABC中,AB=41, BC=40,求AC的長呢？,24, RtABC中, C是直角,AC2+BC2=AB2,八年級下冊,勾股定理-理解,例題分析,1 .在RtABC中，=90. (1) 已知：a=6，=8，求c； (2) 已知：a=40，c=41，求b； (3) 已知：c=13，b=5，求a； (4) 已知: a:b=3:4, c=15,求a、b.,(1)在直角三角形中,已知兩邊,可求第三邊; (2)可用勾股定理建立方程.,常見勾股

6、數(shù),試一試:,2、已知：RtBC中，AB，AC,則BC的長為 .,3、如圖,折疊長方形的一邊，使點D落在BC邊上的點F處，若AB=8，AD=10. 求：EC的長.,10,4,6,8,10,x,E,F,D,C,B,A,8-x,8-x,利用勾股定理證明,4、如圖， ABC 中，CDAB于D 求證：AC2 BC2 = AB （AD -BD）,18.1勾股定理2,1、在RtABC中，C=90, (1)已知a=3,b=4,則c=_ (2)已知a=6,c=10,則b=_ (3)已知a=2,b=4,則c=_ 2、直角三角形的兩條邊長分別為 5、12，則第三邊長為 .,測驗,3、如圖,折疊長方形的一邊，使點D

7、落在BC邊上的點F處，若AB=8，AD=10. 求：EC的長.,10,4,6,8,10,x,E,F,D,C,B,A,8-x,8-x,4、如圖，在ABC中，AB=AC，D點在CB延長線上， 求證：AD2-AB2=BDCD,如圖，在ABC中，AB=AC，D點在CB延長線上，求證：AD2-AB2=BDCD,證明：,過A作AEBC于E,E,AB=AC，BE=CE,在Rt ADE中，,AD2=AE2+DE2,在Rt ABE中，,AB2=AE2+BE2, AD2-AB2=(AE2+DE2)-(AE2+BE2),= DE2- BE2,= (DE+BE)( DE- BE),= (DE+CE)( DE- BE)

8、,=BDCD,勾股定理,如果直角三角形兩直角邊分別為a， b，斜邊為c，那么,即直角三角形兩直角邊的平方和等于 斜邊的平方.,a,c,勾,弦,b,股,探究1、求下列各邊長：,1,1,？,2,?,？,45,？,？,等腰直角三角形三邊的比為1：1：,45,探究2、求下列各邊長：,1,?,？,4,？,30,？,？,？,30,30,含有30的直角三角形三邊的比為1： ：2,練習1、在RtABC中，=90， AB=10,(1) A=30，求：BC、AC (2) A=45，求：BC、AC,A,C,O,B,D,練習2、一個3m長的梯子AB,斜靠在一豎直的墻AO上,這時AO的距離為2.5m,如果梯子的頂端A沿

9、墻下滑0.5m,那么梯子底端B也外移0.5m嗎?,探究3、在數(shù)軸上畫出表示的點。,擴展,利用勾股定理作出長為 的線段.,1,1,18.1勾股定理3,如圖,一圓柱高8cm,底面半徑2cm,一只螞蟻從點A爬到點B處吃食,要爬行的最短路程是( ) (的值取3),B,B,8,O,A,2,蛋糕,A,C,探究、,如圖,正四棱柱的底面邊長為5cm,側(cè)棱長為8cm,一只螞蟻欲從正四棱柱的底面上的點A沿棱柱側(cè)面到點C1處吃食物,那么它需要爬行的最短路徑是多少？,B,C,A,B1,C1,D1,A1,D,5,8,5,將四棱柱的側(cè)面展開,連結(jié)AC1,B,A,B1,D1,A1,D,5,5,8,直角三角形兩直角邊分別為5

10、厘米、12厘米，那么斜邊上的高是多少？,ab=ch,如圖，在ABC中，ACB = 90。，CD是高，若AB=13cm，AC = 5cm，求CD的長；,A,B,C,D, C=90,AC2+BC2=AB2,八年級下冊,勾股定理-運用,18.1勾股定理逆定理,勾股定理,互逆命題,如果直角三角形兩直角邊分別為a、b， 斜邊為c，那么,勾股定理的逆定理,互逆命題: 兩個命題中, 如果第一個命題的題設(shè)是第二個命題的結(jié)論, 而第一個命題的結(jié)論又是第二個命題的題設(shè),那么這兩個命題叫做互逆命題. 如果把其中一個叫做原命題, 那么另一個叫做它的逆命題.,互逆定理: 如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題, 那么它也

11、是一個定理, 這兩個定理叫做互逆定理, 其中一個叫做另一個的逆定理.,定理與逆定理,我們已經(jīng)學習過哪些互逆的定理。,（1）任何一個命題都有逆命題； 原命題與逆命題的關(guān)系是題設(shè)和結(jié)論相互轉(zhuǎn)換 （2）原命題正確，逆命題不一定正確；原命題不正確，逆命題可能正確。 （3）一個定理未必有逆定理。,（1）等腰三角形的兩底角相等,原命題：如果一個三角形是等腰三角形，那么這個三角形的兩底角相等。,逆命題：如果一個三角形的兩底角相等，那么這個三角形是等腰三角形。,寫出下列命題的逆命題并判斷它們是否成立:,（2）兩直線平行，同位角相等,原命題：如果兩條直線平行，那么同位角相等。,逆命題：如果同位角相等，那么兩直線

12、平行。,（3）三內(nèi)角之比為1:2:3的三角形為 直角三角形,原命題：如果一個三角形三內(nèi)角之比為1：2：3， 那么這個三角形是直角三角形。,逆命題：如果一個三角形是直角三角形， 那么這個三角形三內(nèi)角之比為1：2：3。,練習：,說出下列命題的逆命題，并說明這些命題的逆命題成立嗎？ （1）兩條直線平行，內(nèi)錯角相等； （2）如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等； （3）全等三角形的對應角相等； （4）到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。,例1 判斷由a、b、c組成的三角形是不是直角三角形： (1) a15 , b 8 , c17,(2) a13 , b 15 , c14,解/p>

13、89 172289 15282172 這個三角形是直角三角形,下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是那么哪一個角是直角？,(1) a=25 b=20 c=15 _ _ ;,(2) a=13 b=14 c=15 _ _ ;,(4) a:b: c=3:4:5 _ _ ;,是,是,不是,是, A=900, B=900, C=900,(3) a=1 b=2 c= _ _ ;,像25,20,15,能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù).,B,A、銳角三角形 B、直角三角形C、鈍角三角形 D、等邊三角形,1.,已知：如圖，四邊形ABCD中，B900，AB3，BC4，CD12，A

14、D13,求四邊形ABCD的面積?,3,4,12,13,分析：先來判斷a,b,c三邊哪條最長，可以代m,n為滿足條件的特殊值來試，m=5,n=4.則a=9,b=40,c=41,c最大。,ABC是直角三角形,自主評價：,1、勾股定理的逆定理,2、什么叫做互逆命題、原命題與逆命題,3、什么稱為互為逆定理。,勾股定理練習課,勾股定理,如果直角三角形兩直角邊分別為a， b，斜邊為c，那么,即直角三角形兩直角邊的 平方和等于 斜邊的平方.,a,c,勾,弦,b,股,等腰直角三角形三邊的比為1：1：,含有30的直角三角形三邊的比為1： ：2,小結(jié)：,1、運用勾股定理計算 知兩邊長直接求一邊。 只知一邊長，可運

15、用方程求另兩邊。 對于含45度和30度的直角三角形，可用比例求邊長。 2、運用勾股定理證明：構(gòu)造直角三角形,（1）直角三角形的兩條直角邊長分別為3、4，則斜邊長為 . （2）等腰直角三角形的腰長是1，則底邊長為 . （3）直角三角形中，30度的角所對的邊為5，則另兩邊長為 .,測驗,4、等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，求：這個三角形的面積。,5、在平面直角坐標系中，點（-3，-4）與原點之間的距離是_， 點（3，- 4）與點（2，1）之間的距離是_.,7.若正方形的面積為3cm2，則它的對角線長是 . 8.一個直角三角形的三邊為三個連續(xù)偶數(shù)，則它的三邊長分別為 .,6.在 ABC中,C=

16、90, (1)若c=10,a:b=3:4,a=_,b=_. (2)若a=8,b=15,則c=_.,9、已知，如圖，在RtABC中，C=90，1=2，CD=1.5, BD=2.5, 求AC的長.,10、如圖，一塊直角三角形的紙片，兩直角邊AC=6，BC=8。現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，求CD的長,A,C,D,B,E,第8題圖,11、如圖，在Rt ABC中， C=90, A=15,BC=1,求ABC的面積。,B,C,A,D,12、 ABC中， A=45， B=30，BC=8，求AC的邊長。,A,B,C,13、如圖，小潁同學折疊一個直角三角形的紙片，使A與B重合，

17、折痕為DE，若已知AC=10cm，BC=6cm,你能求出CE的長嗎？,C,14、 如圖，ACB=ABD=90，CA=CB，DAB=30，AD=8，求：AC的長。,15、如圖，在四邊形ABCD中，BAD =900，DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12， 求CD；,16、直角三角形兩直角邊分別為5厘米、12厘米，那么斜邊上的高是多少？,8.ABC中,周長是24,C=90,且 b=6,則三角形的面積是多少?,A,B,C,a,b,c,解：,周長是24，且b=6,a+c=24-6=18,設(shè)a=x,則c=18-x, C=90,a2+b2=c2,x2+62=(18-x)2,解得

18、：x=8,八年級下冊,勾股定理-運用,已知三角形ABC中，AB=10，BC=21，AC=17，求BC邊上的高線AD。,A,B,C,D,解：設(shè)BD=X，則DC=21X。,ADBC,AD2=AB2-BD2=102-X2,AD2=AC2-CD2=172-（21-X）2,解，得 X=6,102-X2=172-（21-X）2,AD2=102-62=64,AD=8,8.ABC中,周長是 , C=90,且 c=2,則三角形的面積是多少?,A,B,C,a,b,c,八年級下冊,勾股定理,勾股定理-運用,9.直角三角形中,斜邊長是 , 面積為2,則三角形的周長是多少?,如圖，在RtABC中C=90，AC=BC,且

19、BC=5, 求三角形ABC的面積和底邊上的高,如圖，在RtABC中C=90， A=30，,且AC=3, 求BC的長和三角形ABC的面積,12.如圖，ABC中，A=45， B=30，BC=8. 求AC的長.,A,B,C,D,8,4,4,4,2,八年級下冊,勾股定理-運用,6.如圖,四邊形ABCD中,B=D=90, C=45,AD=1,BC=2,求CD的長.,A,B,C,D,E,1,2,450,450,1,2,（1） B=90, C=45, BC=2,（2） B=90, C=45, 則E=45,ADE=90, C=45, AD=1,DE=AD=1,則BE=BC=2,八年級下冊,勾股定理,勾股定理-

20、運用,10.如圖，在四邊形ABCD中，BAD =900，DBC = 900 ， AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD和四邊形ABCD的面積；,D,A,B,C,八年級下冊,勾股定理,勾股定理-運用,9.在等腰ABC中，ABAC13cm ，BC=10cm,求ABC的面積。,A,B,C,D,13,13,10,H, ABAC, ADBC,作ADBC于 D,八年級下冊,勾股定理,勾股定理-運用,2、等腰三角形底邊上的高為8，周長為32，求這個三角形的面積,8,D,A,B,C,解：設(shè)這個三角形為ABC，高為AD，設(shè)BD為X，則AB為（16-X），,由勾股定理得： X2+82=(16-X)2,

21、即X2+64=256-32X+X2, X=6, SABC=BCAD/2=2 6 8/2=48,2.三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC邊上的高線AD=8,求（1）BD （2）CD （3）BC,25,或7,例4、在下圖中，BC長為3厘米，AB長為4厘米，AF長為12厘米，求正方形CDEF的面積。,AC2=32+42=52,SCDEF=FC2=AF2+AC2=122+52 =132=169厘米2,例5、如圖，直角三角形三邊上的半圓面積之間有什么關(guān)系？,S1+S2=S3,即：兩直角邊上的半圓面積之和等于斜邊上半圓的面積。,1、小明從家出發(fā)向正北方向走了150米，接著向正東方向走到離家250米遠的地方，小明向正東方向走了多遠？,2、一架云梯長25米，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米。 （1）這個梯子的頂端距地面有多高？ （2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑動了4米嗎？,鄭凱想知道學校旗桿的高，他發(fā)現(xiàn)旗桿頂端的繩子垂到地面還多1米，當他把繩子的下端拉開5米后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，你能幫他算出旗桿的高嗎？,A,B,C