高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(全)

1、高中數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 1. 對(duì)于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的“確定性、互異性、無序性”。2 進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí)，不要忘記集合本身和空集的特殊情況 注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。 空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。 3. 注意下列性質(zhì)： 要知道它的來歷：若B為A的子集，則對(duì)于元素a1來說，有2種選擇（在或者不在）。同樣，對(duì)于元素a2, a3,an,都有2種選擇，所以，總共有種選擇， 即集合A有個(gè)子集。當(dāng)然，我們也要注意到，這種情況之中，包含了這n個(gè)元素全部在何全部不在的情況，故真子集個(gè)數(shù)為，非空真子集個(gè)數(shù)為 （3）德摩根定律：有些版本可能是這種寫法，遇到后要

2、能夠看懂4. 你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法） 的取值范圍。7. 對(duì)映射的概念了解嗎？映射f：AB，是否注意到A中元素的任意性和B中與之對(duì)應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對(duì)應(yīng)能構(gòu)成映射？（一對(duì)一，多對(duì)一，允許B中有元素?zé)o原象。）注意映射個(gè)數(shù)的求法。如集合A中有m個(gè)元素，集合B中有n個(gè)元素，則從A到B的映射個(gè)數(shù)有nm個(gè)。如：若，；問：到的映射有 個(gè)，到的映射有 個(gè)；到的函數(shù)有 個(gè)，若，則到的一一映射有 個(gè)。函數(shù)的圖象與直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 個(gè)。 8. 函數(shù)的三要素是什么？如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同？ （定義域、對(duì)應(yīng)法則、值域）相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同；定義域一致 (兩點(diǎn)必須同時(shí)具備) 9. 求

3、函數(shù)的定義域有哪些常見類型？ 函數(shù)定義域求法：l 分式中的分母不為零；l 偶次方根下的數(shù)（或式）大于或等于零；10. 如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？ 義域是_。 例 若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t 的定義域?yàn)?。11、函數(shù)值域的求法1、直接觀察法對(duì)于一些比較簡單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。例 求函數(shù)y=的值域2、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。例、求函數(shù)y=-2x+5，x-1，2的值域。3、判別式法對(duì)二次函數(shù)或者分式函數(shù)（分子或分母中有一個(gè)是二次）都可通用，但這類題型有時(shí)也可以用其他方法進(jìn)行化簡，不必拘泥在判別式上面5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)

4、的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。6、函數(shù)單調(diào)性法 通常和導(dǎo)數(shù)結(jié)合，是最近高考考的較多的一個(gè)內(nèi)容7、換元法通過簡單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹唵魏瘮?shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型。換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。例 求函數(shù)y=x+的值域。8 數(shù)形結(jié)合法其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡單，一目了然，賞心悅目。例：求函數(shù)y=+的值域。倒數(shù)法有時(shí)，直接看不出函數(shù)的值域時(shí)，把它倒過來之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)另一番境況例 求函數(shù)y=的值域12. 求一個(gè)函數(shù)的解析式時(shí)

5、，注明函數(shù)的定義域了嗎？ 切記：做題，特別是做大題時(shí)， 一定要注意附加條件，如定義域、單位等東西要記得協(xié)商，不要犯我當(dāng)年的錯(cuò)誤，與到手的滿分失之交臂 15 . 如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？ （取值、作差、判正負(fù)）判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有三種：(1)定義法：根據(jù)定義，設(shè)任意得x1,x2，找出f(x1),f(x2)之間的大小關(guān)系可以變形為求的正負(fù)號(hào)或者與1的關(guān)系(2)參照圖象：若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a，b)對(duì)稱，函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間具有相同的單調(diào)性； （特例：奇函數(shù)）若函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線xa對(duì)稱，則函數(shù)f(x)在關(guān)于點(diǎn)(a，0)的對(duì)稱區(qū)間里具有相反的單調(diào)性。（特例：

6、偶函數(shù)）(3)利用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)f(x)與f(x)c(c是常數(shù))是同向變化的函數(shù)f(x)與cf(x)(c是常數(shù))，當(dāng)c0時(shí)，它們是同向變化的；當(dāng)c0時(shí)，它們是反向變化的。如果函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；（函數(shù)相加）如果正值函數(shù)f1(x)，f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們同向變化；如果負(fù)值函數(shù)f1(2)與f2(x)同向變化，則函數(shù)f1(x)f2(x)和它們反向變化；（函數(shù)相乘）函數(shù)f(x)與在f(x)的同號(hào)區(qū)間里反向變化。若函數(shù)u(x)，x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u(),()同向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yF(x)

7、是遞增的；若函數(shù)u(x),x，與函數(shù)yF(u)，u()，()或u()，()反向變化，則在，上復(fù)合函數(shù)yF(x)是遞減的。（同增異減）若函數(shù)yf(x)是嚴(yán)格單調(diào)的，則其反函數(shù)xf1(y)也是嚴(yán)格單調(diào)的，而且，它們的增減性相同。f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x) 都是正數(shù)增增增增增增減減/減增減/減減增減減 17. 函數(shù)f(x)具有奇偶性的條件是什么？ （f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱） 注意如下結(jié)論： （1）在公共定義域內(nèi)：兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。 （3）f（x）是定義域在（-6,0），（0，6）上的奇函數(shù)，若

8、x0時(shí)f（x）= 求x0時(shí)f（x）判斷函數(shù)奇偶性的方法一、 定義域法一個(gè)函數(shù)是奇（偶）函數(shù)，其定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，它是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要條件.若函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則函數(shù)為非奇非偶函數(shù).二、 奇偶函數(shù)定義法在給定函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的前提下，計(jì)算，然后根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義判斷其奇偶性.三、 復(fù)合函數(shù)奇偶性f(g)g(x)fg(x)f(x)+g(x)f(x)*g(x)奇奇奇奇偶奇偶偶非奇非偶奇偶奇偶非奇非偶奇偶偶偶偶偶18.函數(shù)，T是一個(gè)周期。） 我們在做題的時(shí)候，經(jīng)常會(huì)遇到這樣的情況：告訴你f(x)+f(x+t)=0,我們要馬上反應(yīng)過來，這時(shí)說這個(gè)函數(shù)周期2t. 推導(dǎo)：，

9、同時(shí)可能也會(huì)遇到這種樣子：f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x).其實(shí)這都是說同樣一個(gè)意思：函數(shù)f(x)關(guān)于直線對(duì)稱， 對(duì)稱軸可以由括號(hào)內(nèi)的2個(gè)數(shù)字相加再除以2得到。比如，f(x)=f(2a-x),或者說f(a-x)=f(a+x)就都表示函數(shù)關(guān)于直線x=a對(duì)稱。 如： 19. 你掌握常用的圖象變換了嗎？ 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(x,-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(-x,-y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(y,x) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,y) 聯(lián)想點(diǎn)（x,y）,(2a-x,0) 注意如下“翻折”變換： 19. (k為斜率，b為直線與y軸的交點(diǎn)) 的雙曲

10、線。 應(yīng)用：“三個(gè)二次”（二次函數(shù)、二次方程、二次不等式）的關(guān)系二次方程求閉區(qū)間m，n上的最值。 求區(qū)間定（動(dòng)），對(duì)稱軸動(dòng)（定）的最值問題。 一元二次方程根的分布問題。 利用它的單調(diào)性求最值21. 如何解抽象函數(shù)問題？ （賦值法、結(jié)構(gòu)變換法） （對(duì)于這種抽象函數(shù)的題目，其實(shí)簡單得都可以直接用死記了1、 代y=x，2、 令x=0或1來求出f(0)或f(1)3、 求奇偶性，令y=x；求單調(diào)性：令x+y=x1 幾類常見的抽象函數(shù) 1. 正比例函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）kx（k0）-f（xy）f（x）f（y）2. 冪函數(shù)型的抽象函數(shù) f（x）xa-f（xy） f（x）f（y）；f（）例1已知函數(shù)f（x

11、）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，f(1) 2求f(x)在區(qū)間2,1上的值域.例2已知函數(shù)f（x）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y均有f（xy）2f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f(x)2，f(3) 5，求不等式 f（a22a2）0,xN；f（ab） f（a）f（b），a、bN；f（2）4.同時(shí)成立？若存在，求出f（x）的解析式，若不存在，說明理由.例6設(shè)f（x）是定義在（0，）上的單調(diào)增函數(shù)，滿足f（xy）f（x）f（y），f（3）1，求：（1） f（1）；（2） 若f（x）f（x8）2，求x的取值范圍.例7設(shè)函數(shù)y f（x）的反函數(shù)是yg（x）.如果f（ab）f（a）

12、f（b），那么g（ab）g（a）g（b）是否正確，試說明理由. 例9已知函數(shù)f（x）（x0）滿足f（xy）f（x）f（y），（1） 求證：f（1）f（1）0；（2） 求證：f（x）為偶函數(shù)；（3） 若f（x）在（0，）上是增函數(shù)，解不等式f（x）f（x）0.例10已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y滿足f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）1，求證：（1） 當(dāng)x0時(shí)，0f（x）1；（2） f（x）在xR上是減函數(shù).練習(xí)題：1.已知：f（xy）f（x）f（y）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y都成立，則（ ）（A）f（0）0 （B）f（0）1 （C）f（0）0或1 （D）以上都不對(duì)2. 若對(duì)任意

13、實(shí)數(shù)x、y總有f（xy）f（x）f（y），則下列各式中錯(cuò)誤的是（ ）（A）f（1）0 （B）f（） f（x） （C）f（） f（x）f（y） （D）f（xn）nf（x）（nN）3.已知函數(shù)f（x）對(duì)一切實(shí)數(shù)x、y滿足：f（0）0，f（xy）f（x）f（y），且當(dāng)x0時(shí)，f（x）1，則當(dāng)x0時(shí)，f（x）的取值范圍是（ ）（A）（1，） （B）（，1）（C）（0，1） （D）（1，）4.函數(shù)f（x）定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)定義域內(nèi)不同的x1、x2都有f（x1x2），則f（x）為（ ）（A）奇函數(shù)非偶函數(shù) （B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù)5.已知不恒為零的函數(shù)f（x

14、）對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y滿足f（xy）f（xy）2f（x）f（y），則函數(shù)f（x）是（ ）（A）奇函數(shù)非偶函數(shù) （B）偶函數(shù)非奇函數(shù)（C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （D）非奇非偶函數(shù)函數(shù)1. 函數(shù)的奇偶性（1）若f(x)是偶函數(shù)，那么f(x)=f(x)= ;（2）若f(x)是奇函數(shù)，0在其定義域內(nèi)，則 （可用于求參數(shù)）；（3）判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式：f(x)f(-x)=0或 （f(x)0）; (4)若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先化簡，再判斷其奇偶性；（5）奇函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對(duì)稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性；2. 復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：若已知

15、的定義域?yàn)閍，b,其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域由不等式ag(x)b解出即可；若已知fg(x)的定義域?yàn)閍,b,求 f(x)的定義域，相當(dāng)于xa,b時(shí)，求g(x)的值域（即 f(x)的定義域）；研究函數(shù)的問題一定要注意定義域優(yōu)先的原則。（2）復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性由“同增異減”判定；3.函數(shù)圖像（或方程曲線的對(duì)稱性）(1)證明函數(shù)圖像的對(duì)稱性，即證明圖像上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在圖像上；（2）證明圖像C1與C2的對(duì)稱性，即證明C1上任意點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱中心（對(duì)稱軸）的對(duì)稱點(diǎn)仍在C2上，反之亦然；（3）曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(y=-x+a)的對(duì)稱曲線C2的方程為f(ya,x

16、+a)=0(或f(y+a,x+a)=0);（4）曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)（a,b）的對(duì)稱曲線C2方程為：f(2ax,2by)=0;（5）若函數(shù)y=f(x)對(duì)xR時(shí)，f(a+x)=f(ax)恒成立，則y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對(duì)稱；（6）函數(shù)y=f(xa)與y=f(bx)的圖像關(guān)于直線x= 對(duì)稱；4.函數(shù)的周期性(1)y=f(x)對(duì)xR時(shí)，f(x +a)=f(xa) 或f(x2a )=f(x) (a0)恒成立,則y=f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；（2）若y=f(x)是偶函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x=a對(duì)稱，則f(x)是周期為2a的周期函數(shù)；（3）若y=f(x)奇函數(shù)，其圖像又關(guān)于直線x

17、=a對(duì)稱，則f(x)是周期為4a的周期函數(shù)；（4）若y=f(x)關(guān)于點(diǎn)(a,0),(b,0)對(duì)稱，則f(x)是周期為2 的周期函數(shù)；（5）y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a,x=b(ab)對(duì)稱，則函數(shù)y=f(x)是周期為2 的周期函數(shù)；（6）y=f(x)對(duì)xR時(shí)，f(x+a)=f(x)(或f(x+a)= ，則y=f(x)是周期為2 的周期函數(shù)；5.方程k=f(x)有解 kD(D為f(x)的值域)；6.af(x) 恒成立 af(x)max,; af(x) 恒成立 af(x)min;7.（1） (a0,a1,b0,nR+); (2) l og a N= ( a0,a1,b0,b1);(3) l og a b的符號(hào)由口訣“同正異負(fù)”記憶; (4) a log a N= N ( a0,a1,N0 );8. 判斷對(duì)應(yīng)是否為映射時(shí)，抓住兩點(diǎn)：（1）A中元素必須都有象且唯一；（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象； 9. 能熟練地用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，求反函數(shù)，判斷函數(shù)的奇偶性。10.對(duì)于反函數(shù)，應(yīng)掌握以下一些結(jié)論：（1）定義域上的單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)；（2）奇函數(shù)的反函數(shù)也是奇函數(shù)；（3）定義域?yàn)榉菃卧丶呐己瘮?shù)不存在反函數(shù);（4）周期函數(shù)不存在反函數(shù)；（5）互