高中不等式例題(超全超經(jīng)典)

1、1 不等式的性質(zhì)：二不等式大小比較的常用方法：1作差：作差后通過(guò)分解因式、配方等手段判斷差的符號(hào)得出結(jié)果；2作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函數(shù)的單調(diào)性；7尋找中間量或放縮法 ；8圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。三重要不等式1.（1）若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）2. (1)若，則 (2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）(3)若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）3.若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）;若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）若，則 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）4.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）注：（1）當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定植時(shí)，可以

2、求它們的和的最小值，當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定植時(shí)，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實(shí)際問(wèn)題方面有廣泛的應(yīng)用 應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y3x 2 （2）yx解題技巧：技巧一：湊項(xiàng) 例1：已知，求函數(shù)的最大值。評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。技巧二：湊系數(shù)例1. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。技巧三： 分離 例3. 求的值域。技巧四：換元解析二：本題看似無(wú)法運(yùn)用基本不等式，可先換元，令t=x1，化簡(jiǎn)原式在分離求最值。當(dāng),即t=時(shí),（當(dāng)t=2

3、即x1時(shí)取“”號(hào)）。技巧五：注意：在應(yīng)用最值定理求最值時(shí)，若遇等號(hào)取不到的情況，應(yīng)結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性。例：求函數(shù)的值域。解：令，則因，但解得不在區(qū)間，故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。因?yàn)樵趨^(qū)間單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間為單調(diào)遞增函數(shù)，故。所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椤?已知，求函數(shù)的最大值.；3，求函數(shù)的最大值.條件求最值1.若實(shí)數(shù)滿足，則的最小值是 .分析：“和”到“積”是一個(gè)縮小的過(guò)程，而且定值，因此考慮利用均值定理求最小值， 解： 都是正數(shù)，當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，由及得即當(dāng)時(shí)，的最小值是6變式：若，求的最小值.并求x,y的值技巧六：整體代換：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò)。2

4、：已知，且，求的最小值。應(yīng)用二：利用基本不等式證明不等式1已知為兩兩不相等的實(shí)數(shù)，求證：1）正數(shù)a，b，c滿足abc1，求證：(1a)(1b)(1c)8abc例6：已知a、b、c，且。求證：分析：不等式右邊數(shù)字8，使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)“2”連乘，又，可由此變形入手。解：a、b、c，。同理，。上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)。應(yīng)用三：基本不等式與恒成立問(wèn)題例：已知且，求使不等式恒成立的實(shí)數(shù)的取值范圍。解：令， 。 ， 應(yīng)用四：均值定理在比較大小中的應(yīng)用：例：若，則的大小關(guān)系是 .分析： （ RQ四不等式的解法.1.一元一次不等式的解法。2.一元二

5、次不等式的解法3.簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線；并注意奇穿過(guò)偶彈回；（3）根據(jù)曲線顯現(xiàn)的符號(hào)變化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集。如（1）解不等式。（答：或）；（2）不等式的解集是_（答：或）；（3）設(shè)函數(shù)、的定義域都是R，且的解集為，的解集為，則不等式的解集為_(kāi)（答：）；（4）要使?jié)M足關(guān)于的不等式（解集非空）的每一個(gè)的值至少滿足不等式中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.（答：）4分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并

6、將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如（1）解不等式（答：）；（2）關(guān)于的不等式的解集為，則關(guān)于的不等式的解集為_(kāi)（答：）.5.指數(shù)和對(duì)數(shù)不等式。6絕對(duì)值不等式的解法：（1）含絕對(duì)值的不等式|x|a與|x|a的解集（2）|ax+b|c(c0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法|ax+b|c-cax+bc;| ax+b|c ax+bc或ax+b-c.（3）|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的解法方法一：利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思

7、想；方法二：利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想；方法三：通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。方法四：兩邊平方。例1：解下列不等式： 【解析】：（1）解法一（公式法）原不等式等價(jià)于x2-2xx或x2-2x3或x0或0x1原不等式的解集為xx0或0x3 解法2（數(shù)形結(jié)合法）作出示意圖，易觀察原不等式的解集為xx0或0x3第（1）題圖 第（2）題圖【解析】：此題若直接求解分式不等式組，略顯復(fù)雜，且容易解答錯(cuò)誤；若能結(jié)合反比例函數(shù)圖象，則解集為,結(jié)果一目了然。例2：解不等式：【解析】作出函數(shù)f(x)=|x|和函數(shù)g(x)=的圖象，易知解集為例3：?！窘夥?】令 令，分別

8、作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，知原不等式的解集為【解法2】原不等式等價(jià)于令分別作出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象，易求出g（x）和h（x）的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)為所以不等式的解集為【解法3】 由的幾何意義可設(shè)1（，），（，），（x，y），若，可知的軌跡是以1、2為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，其中右頂點(diǎn)為（，），由雙曲線的圖象和x+1x-1知x.7含參不等式的解法：求解的通法是“定義域?yàn)榍疤幔瘮?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類(lèi)討論是關(guān)鍵”注意解完之后要寫(xiě)上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集. 如（1）若，則的取值范圍是_（答：或）；（2）解不等

9、式（答：時(shí)，；時(shí)，或；時(shí)，或）提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于的不等式 的解集為，則不等式的解集為_(kāi)（答：（1,2）例2.(1)求函數(shù)的最大和最小值； (2)設(shè)，函數(shù). 若，求的最大值例3.兩個(gè)施工隊(duì)分別被安排在公路沿線的兩個(gè)地點(diǎn)施工，這兩個(gè)地點(diǎn)分別位于公路路牌的第10km和第20km處.現(xiàn)要在公路沿線建兩個(gè)施工隊(duì)的共同臨時(shí)生活區(qū)，每個(gè)施工隊(duì)每天在生活區(qū)和施工地點(diǎn)之間往返一次.要使兩個(gè)施工隊(duì)每天往返的路程之和最小，生活區(qū)應(yīng)該建于何處？七證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮

10、法(比較法的步驟是：作差（商）后通過(guò)分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小，然后作出結(jié)論。).常用的放縮技巧有：如（1）已知，求證： ；(2) 已知，求證：；（3）已知，且，求證：；(4)若a、b、c是不全相等的正數(shù)，求證：；（5）已知，求證：；(6)若，求證：；(7)已知，求證：；（8）求證：。八不等式的恒成立,能成立,恰成立等問(wèn)題：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問(wèn)題若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上若不等式在區(qū)間上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間上如（1）設(shè)實(shí)數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，的取值范圍是_（答：）；（2）不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍_（答：）；（3）若不等式對(duì)滿足的所有都成立，則的取值范圍_（答：（,）；（4）若不等式對(duì)于任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_（答：）；（5）若不等式對(duì)的所有實(shí)數(shù)都成立，求的取值范圍.若不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 此題直接求解無(wú)從著手，結(jié)合函數(shù)易知，a只需滿足條件：0a1，且從而解得2). 能成立問(wèn)題若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上；若在區(qū)間上存在實(shí)數(shù)使不等式成立,則等價(jià)于在區(qū)間上的.如已知不等式在實(shí)數(shù)集上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)