小學(xué)奧數(shù)16數(shù)陣圖

1、最新 料推薦1.10.5 數(shù)陣圖1.10.5.1 基礎(chǔ)知識數(shù)陣是由幻方演化出來的另一種數(shù)字圖。 幻方一般均為正方形。圖中縱、橫、 對角線數(shù)字和相等。數(shù)陣則不僅有正方形、長方形，還有三角形、圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形，甚至多種圖形的組合。變幻多姿，奇趣迷人。一般按數(shù)字的組合形式，將其分為三類，即輻射型數(shù)陣、封閉型數(shù)陣、復(fù)合型數(shù)陣。數(shù)陣的特點(diǎn)是：每一條直線段或由若干線段組成的封閉線上的數(shù)字和相等。它的表達(dá)形式多為給出一定數(shù)量的數(shù)字，要求填入指定的圖中，使其具備數(shù)陣的特點(diǎn)。解數(shù)陣問題的一般思路是：1.求出條件中若干已知數(shù)字的和。2.根據(jù)“和相等” ，列出關(guān)系式，找出關(guān)鍵數(shù)重復(fù)使用的數(shù)。3.確定

2、重復(fù)用數(shù)后，對照“和相等”的條件，用嘗試的方法，求出其他各數(shù)。有時，因數(shù)字存在不同的組合方法，答案往往不是唯一的。1.10.5.2輻射型數(shù)陣?yán)?1將 1 5 五個數(shù)字， 分別填入下圖的五個中，使橫、豎線上的三個數(shù)字和都是 10。解：已給出的五個數(shù)字和是：1 23 4 5 15題中要求橫、豎每條線上數(shù)字和都是10，兩條線合起來便是20 了。 20 15 5，怎樣才能增加5 呢？因?yàn)橹行牡囊粋€數(shù)是個重復(fù)使用數(shù)。只有 5 連加兩次才能使五個數(shù)字的和增加 5，關(guān)鍵找到了，中心數(shù)必須填5。確定中心數(shù)后，按余下的1、 2、 3、 4，分別填在橫、豎線的兩端，使每條線上數(shù)的和是10 便可。例 2 將 1 7

3、 七個數(shù)字，分別填入圖中的各個內(nèi)，使每條線上的三個數(shù)和相等。1最新 料推薦解： 中共有 3 條 ，若每條 數(shù)字和相等， 三條 的數(shù)字 和必 3 的倍數(shù)。 中心數(shù) a， a 被重復(fù)使用了 2 次。即， 1 2 3 4 5 6 7 2a 28 2a，28 2a 能被 3 整除。（ 282a） 32832a3其中 283 9余 1，所以 2a3 余 2。由此，便可推得a 只能是 1、 4、 7 三數(shù)。當(dāng) a 1 ， 282a 30 30 3 10，其他兩數(shù)的和是10 1 9，只要把余下的2、3、4、5、 6、 7，按和 9 分成三 填入兩端即可。同理可求得a4、 a 7 兩端 填入的數(shù)。例 3 將從

4、 1 開始的 自然數(shù)填入各中，使每條 上的數(shù)字和相等。解： 中共有三條 ，若每條 數(shù)字和相等， 三條 的數(shù)字 和必 3 的倍數(shù)。 中心數(shù) a，a 被重復(fù)使用了兩次， 即：1 2 3 10 2a55 2a，552a 能被 3 整除。（55 2a） 3 553 2a3其中， 553 18 余 1，所以 2a3 余 2。由此，可推知a 只能在 1、4、7 中挑 。在a1 ， 55 2a 57，573 19，即中心數(shù)若填1，各條 上的數(shù)字和 19。但是除掉中心數(shù) 1，在其余九個數(shù)字中，只有兩 可 足 一條件，即：9 7 2 18，8 6 4 18，7 5 3 15 所以， a 不能填 1。 ， a7

5、，余下的數(shù) 合 12（ 197 12），也不能 足條件。因此，確定 a 只能填 4。例 4 將 1 9 九個數(shù)字，填入下 各中，使 、橫兩條 上的數(shù)字和相等。2最新 料推薦解： 1 9 九個數(shù)字和是：1 2 3 9 5945，把 45 平分成兩份：452 22余 1。 就是 ， 若使每行數(shù)字和 23， 需把 1 重復(fù)加一次， 即中心數(shù)填 1；若使數(shù)字和 24，中心數(shù) 填 3 。 之， 因 452 余數(shù)是 1，只能使 1、3、5、7、9 各個奇數(shù)重復(fù)使用，才有可能使橫、 行的數(shù)字和相等。 因而，此 可有多種解法。但中心數(shù)必 是 9 以內(nèi)的奇數(shù)。例 5 將 1 11 十一個數(shù)字，填入下 各中，使每

6、條 段上的數(shù)字和相等。解： 中共有五條 段， 全部數(shù)字的 和必 是5 的倍數(shù)，每條 上的數(shù)字和才能相等。1 11 十一個數(shù)字和 66，665 13 余 1，必 再增加4，可使各 上數(shù)字和 14。共五條 ，中心數(shù)重復(fù)使用4 次，填 1 恰符合條件。此 的基本解法是：中心數(shù)重復(fù)使用次數(shù)與中心數(shù)的 ，加上原余數(shù)1，所得的和必 是 5 的倍數(shù)。據(jù)此，中心數(shù)填6、 11 均可得解。1.10.5.3 封 型數(shù) 例 1 把 2、3、4、5、6、7 六個數(shù)字，分 填入中，使三角形各 上的數(shù)字和都是12。解：要使三角形每 上的數(shù)字和都是12， 三條 的數(shù)字和便是12336，而 2 34 5 6 7 27，36

7、與 27 相差 9。三個角 的數(shù)字都重復(fù)使用兩次，只有 三個數(shù)字的和是9，才能符合條件。確定了角 的數(shù)字，其他各數(shù)通 便容易求得了！ 可有 多解法，上 只是其中一種。例 2 把 1 9 九個數(shù)字，分 填入下 中，使每 上四個數(shù)的和都是21。解：要使三角形每條 上的數(shù)字和是21， 三條 的數(shù)字和便是：213 63。而 19 九個數(shù)字的和只有 45。 45 比 63 少 18，只有使三角形三個 角的數(shù)字和 18，3最新 料推薦重復(fù)使用兩次，才能使 和增加18。所以 確定 點(diǎn)的三個數(shù)。下面是填法中的一種。確定了 角的數(shù)后，其他各數(shù)便容易了。例 3 下 是四個互相 系的三角形。把 1 9 九個數(shù)字，填

8、入中，使每個三角形中數(shù)字的和都是 15。解：每個三角形數(shù)字和都是15，四個三角形的數(shù)字和便是：154 60，而 1 9 九個數(shù)字和只有45。 45 比 60 少 15。怎 才能使它增加15 呢？靠數(shù)字重復(fù)使用才能解決。中 的一個三角形，每個 角都 著其他三角形，每個數(shù)字都被重復(fù)使用兩次。因此，只要使中 的一個三角形數(shù)字和 15，便可以符合條件。因此，它的三個 角數(shù)字，可以分 ： 1、 9、 5 2、 8、 5 2、7、 6 4、6、 5 及 2、 9、 4 3、 8、 4 3、7、 5 8、6、 1。把中 的三角形各 角數(shù)字先填出，其他各個三角形便容易解決了。前 下 是其中的一種。例 4 把

9、2 10 九個數(shù)字，分 填入下 中，使每條直 上的三個數(shù)和 15。解： 2 10 九個數(shù)字的和 ：2 34 10 69 54若排成每個三角形每 的數(shù)字和都是15， 中含有每 都三個數(shù)字的三角形有兩個，共六條 ，數(shù)字 和 是156 90。 54 比 90 少 36。在外 的六個數(shù)都被重復(fù)使用了兩次，它 又分屬于兩個三角形。所以， 每個三角形三個 角的數(shù)和 ：36218。 ，便可以先填外三角形三個 角的數(shù)。三個數(shù)和 18 的有很多 ，可以通 出適宜的一 。填好了外 三角形各個數(shù)后，里面的三角形，因 角的數(shù)已知，其他各數(shù)便容易填寫了。上面是填法中的一種。例 5 把 1 10 十個數(shù)字，分 填入下 中

10、，使每個三角形三個 角的三個數(shù)字和相等。4最新 料推薦解：圖中有三個三角形， 頂角數(shù)字互不聯(lián)系， 中心的一個數(shù)獨(dú)立于各個三角形之外。因此，要使各三角形頂角的數(shù)字和相等。去掉中心數(shù)后，數(shù)字總和應(yīng)是3 的倍數(shù)，而且三角形頂角的數(shù)字三組中不能出現(xiàn)重復(fù)。如：以 10 為中心數(shù)，可填為如上圖樣。例 6 將 1 12 分別填入下圖中，使圖中每個三角形周邊上的六個數(shù)的和都相等。解：圖中共有四個三角形，共有六個邊。 112 的數(shù)字和是78。每條邊上的數(shù)字和應(yīng)為：786 13。這樣，我們可以推想：因?yàn)閮?nèi)部的三條邊都被重復(fù)計(jì)算兩次，只要每個數(shù)增加1，十二個數(shù)的總和便增加6，它們同樣可以填出來，因而，本題的解法是很

11、多的。1111123577、把、 、 、 、 、 九個數(shù)分別填入下圖中，使每條直線上的三個234612341212數(shù)的和都相等。解：九個分?jǐn)?shù)排成方陣， 使縱、橫、對角線的三個數(shù)和相等， 這已經(jīng)符合幻方的要求了，因此，可以按幻方的制作方法求解。這十二個分?jǐn)?shù)，按從小到大的順序排列是：11115172312、 、 、 、 、 、6431221234把它們按序排列為斜方形：將上、下兩數(shù)，左、右兩數(shù)對調(diào)，再把中間四數(shù)向外拉出，5最新 料推薦這樣重新組成的數(shù)陣，便是求得的解了。例 8 將 1 8 八個數(shù)字，分別填入下圖中，使每個小三角形頂點(diǎn)上三數(shù)之和為12。解：圖中共有四個小三角形，每個三角形頂點(diǎn)數(shù)字的和

12、若都是12，數(shù)字總和便是12448，可是 1 8 八個數(shù)字總和只有36。 36 比 48 少 12。只有靠共用頂角上數(shù)的重復(fù)使用，才能解決。 因此，必須把四個公用頂角的數(shù)字和填成12。把 1 8 八個數(shù)四個一組，和為 12的有：6 32 15 42 1上述兩組中，經(jīng)驗(yàn)證，只有6 3 2 1 可以作公用頂點(diǎn)的數(shù)字。例 9 在下圖五個內(nèi)，各填入一個自然數(shù)，使圖中八個三角形中頂點(diǎn)的數(shù)字和各不相同。求能滿足這個條件的自然數(shù)中最小的五個數(shù)。解：能滿足使八個三角形頂點(diǎn)數(shù)字和各不相同的任意自然數(shù)有很多組，但自然數(shù)中能滿足這個條件的最小自然數(shù)卻只有一組。最小的一組自然數(shù)中的五個數(shù)，若有兩個相同的，其中三個數(shù)的

13、和可以多到有7 個不同值，因此，五個數(shù)互不相同。如果這五個數(shù)是1， 2， 3，4， 5，則其中三個數(shù)的和有如下組合方式：1 23 6 23 4 9 3 4 5 121 24 7 13 4 8 2 3 5 102 45 11這樣，總共只有七種不同的和，而圖中共八個三角形，可知1，2，3，4，5 五個自然數(shù)不能滿足條件。例 10 在下列圖中三個正方形中，每個正方形的四個頂點(diǎn)上，只填入1， 2， 3， 4 四數(shù)，使圖中八個三角形頂點(diǎn)數(shù)字和互不相同。6最新 料推薦解： 中， 角在大正方形 上的四個三角形， 角都分 兩個三角形共用，只有正方形的四個角分 只屬于一個三角形，所以，四個三角形 點(diǎn)數(shù)字的和 等于：（ 1 2 3 4） 3 3030 不是 4 的倍數(shù)，因而，外面的四個三角形 點(diǎn)數(shù)字和不可能相等。同理，里面的四個三角形 點(diǎn)數(shù)字和也不可能相等。 中要求，每個三角形 點(diǎn)數(shù)字和不相同， 1 4 四個數(shù)之和最小 是 1 1 2 4，