《物理學(xué)導(dǎo)論》（敬世超主編）習(xí)題解答第九章_真空中的穩(wěn)恒磁場(chǎng)

1、第九章 真空中的穩(wěn)恒磁場(chǎng)一、基本要求1. 知道基本磁現(xiàn)象，了解安培分子電流假說(shuō).2. 掌握磁感應(yīng)強(qiáng)度的概念.3. 理解畢奧薩伐爾定律，能計(jì)算一些簡(jiǎn)單問(wèn)題中的磁感應(yīng)強(qiáng)度.4. 理解穩(wěn)恒磁場(chǎng)的規(guī)律：磁場(chǎng)高斯定理和安培環(huán)路定理，知道用安培環(huán)路定理計(jì)算磁感應(yīng)強(qiáng)度的條件和方法.5. 理解安培定律和洛倫茲力公式，了解電偶極矩和磁矩的概念，能計(jì)算電偶極子在均勻電場(chǎng)中，簡(jiǎn)單幾何形狀載流導(dǎo)體和載流平面線圈在均勻磁場(chǎng)中或在無(wú)限長(zhǎng)直載流導(dǎo)線產(chǎn)生的非均勻磁場(chǎng)中所受的力和力矩，能分析點(diǎn)電荷在均勻電磁場(chǎng)（包括純電場(chǎng)、純磁場(chǎng)）中的受力和運(yùn)動(dòng).二、重點(diǎn)和難點(diǎn)1. 重點(diǎn)（1）理解磁場(chǎng)的高斯定理和安培環(huán)路定理，理解磁場(chǎng)的基本性質(zhì)

2、：無(wú)源有旋場(chǎng).（2）掌握使用磁場(chǎng)疊加原理來(lái)分析磁場(chǎng)的分布特征，掌握計(jì)算磁場(chǎng)的兩種基本方法.（3）知道計(jì)算載流導(dǎo)線或載流線圈在磁場(chǎng)中受到的磁力或磁力矩.（4）知道計(jì)算運(yùn)動(dòng)電荷或運(yùn)動(dòng)帶電體產(chǎn)生的磁場(chǎng)，知道計(jì)算磁通量. 2. 難點(diǎn)（1）磁感強(qiáng)度的理解，磁感強(qiáng)度的矢量性.（2）畢奧薩伐爾定律及其應(yīng)用.（3）非均勻磁場(chǎng)中載流導(dǎo)線所受磁力的計(jì)算. 平面載流線圈的磁矩.（4）平面載流線圈在非均勻磁場(chǎng)中的磁通量.（5）霍爾效應(yīng).三、基本內(nèi)容1. 基本磁現(xiàn)象和安培分子電流假說(shuō)基本磁現(xiàn)象：早期磁現(xiàn)象的認(rèn)識(shí)：吸鐵特性、磁極、同極相斥異極相吸；電流的磁效應(yīng)：電流（或運(yùn)動(dòng)電荷）是產(chǎn)生磁場(chǎng)的場(chǎng)源.安培分子電流假說(shuō)：安培認(rèn)

3、為，任何物質(zhì)的分子中都存在著等效圓形電流，該電流稱為分子電流；每個(gè)分子電流相當(dāng)于一個(gè)基元磁鐵；物質(zhì)對(duì)外顯示出磁性，就是物質(zhì)中的分子電流在外界作用下趨向于沿同一方向排列的結(jié)果.描述磁場(chǎng)的重要物理量-磁感強(qiáng)度B，并用圖示法-磁感線描述了磁場(chǎng)的分布2. 恒定電流、磁感應(yīng)強(qiáng)度的定義 電流強(qiáng)度的定義：電流密度適量的定義： j nnn磁感應(yīng)強(qiáng)度矢量的定義： B的大小等于單位磁矩的線圈在場(chǎng)點(diǎn)所受的最大磁力矩；其方向與試探線圈在該點(diǎn)處于穩(wěn)定平衡時(shí)法線的方向一致.其大小的數(shù)學(xué)表達(dá)式為： 3. 畢奧薩伐爾定律 微分形式：dB積分形式： BdB運(yùn)動(dòng)電荷產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度：dB 4. 磁場(chǎng)中的高斯定理和安培環(huán)路定理高斯

4、定理：通過(guò)磁場(chǎng)中任一閉合曲面的總磁通量恒等于零，即BdS0 安培環(huán)路定理：在真空中的穩(wěn)恒磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度B沿任意閉合曲線的線積分，等于穿過(guò)這個(gè)閉合曲線的所有電流強(qiáng)度的代數(shù)和的0倍，即Bdl 5. 安培定律： 微分形式：dfIdlB積分形式：f df IdlB洛倫茲力：fqvB6. 磁力的功：A d7. 帶電粒子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)： 帶電粒子受力：同時(shí)受電場(chǎng)力和洛倫茲力的作用霍爾電勢(shì)差： UH，其中KH為霍耳系數(shù)四、解題示范例9-1如右圖所示的閉合弓形線框中通有電流，求圓心O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度. 解：O處的磁感應(yīng)強(qiáng)度可視為部分圓弧和部分直導(dǎo)線的電流在O點(diǎn)處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量疊加.圓弧在O點(diǎn)的

5、磁感應(yīng)強(qiáng)度：，方向垂直紙面向外；直導(dǎo)線在O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度：，方向垂直紙面向里.總磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，方向垂直紙面向里.簡(jiǎn)注：讀者應(yīng)熟悉磁感應(yīng)強(qiáng)度的疊加原理，記住簡(jiǎn)單形狀如直導(dǎo)線在其周圍、圓弧導(dǎo)線在其圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小，并熟練掌握用右手定則判定磁感應(yīng)強(qiáng)度的方向. 例9-2 如右圖所示，無(wú)限長(zhǎng)直圓柱形導(dǎo)體內(nèi)有一無(wú)限長(zhǎng)直圓柱形空腔，空腔與導(dǎo)體的兩軸線平行，間距為，若導(dǎo)體內(nèi)的電流密度均勻?yàn)椋姆较蚱叫杏谳S線。求腔內(nèi)任意點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：假設(shè)空腔中通有相同電流密度的電流，則可通過(guò)下述方法求實(shí)心導(dǎo)體在空心部分產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度，即以導(dǎo)體的軸線為圓心，過(guò)空腔中任一點(diǎn)作閉合回路，得：，可求得，方向：逆

6、時(shí)針?lè)较颍?同理，假設(shè)空心部分有一與正向電流相等的反向電流，則該電流在空心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度可通過(guò)如下方法求解，即過(guò)這一點(diǎn)以空腔導(dǎo)體的軸線為圓心作閉合回路，有，可求得 ，方向：順時(shí)針?lè)较? 所以總的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，方向：沿a方向.簡(jiǎn)注：求空心導(dǎo)體中電流在空心部分產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度較常用的方法為補(bǔ)償法，即假設(shè)空心部分通有正向電流后與實(shí)心部分電流構(gòu)成高對(duì)稱性電流，然后再假設(shè)通有反向電流.最后根據(jù)疊加原理求解即可.例9-3一均勻帶電長(zhǎng)直圓柱體，電荷體密度為，半徑為。若圓柱繞其軸線勻速旋轉(zhuǎn)，角速度為，求：（1）圓柱體內(nèi)距軸線處的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大?。唬?）兩端面中心的磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小.解：如圖中，選一矩形回

7、路經(jīng)過(guò)r點(diǎn).圓柱體轉(zhuǎn)動(dòng)相當(dāng)于無(wú)數(shù)多個(gè)薄通電螺線管，因此根據(jù)通電螺線管內(nèi)部、外部、端點(diǎn)處磁感應(yīng)強(qiáng)度分布的特點(diǎn)，可得如下求解過(guò)程.（1）過(guò)點(diǎn)作一個(gè)閉合回路，此回路的電流. 根據(jù)安培環(huán)路定理 ，方向如圖中箭頭.（2）帶電長(zhǎng)直圓柱體旋轉(zhuǎn)相當(dāng)于螺線管，端面的磁感應(yīng)強(qiáng)度是中間磁感應(yīng)強(qiáng)度的一半，所以端面的磁感應(yīng)強(qiáng)度 簡(jiǎn)注：本題為求解電荷體移動(dòng)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布，方法類似電流.具體求解過(guò)程中需要考慮磁感應(yīng)強(qiáng)度的疊加原理.例9-4如圖所示，直導(dǎo)線中通以交流電并置于真空中，已知：，其中是大于零的常量.求：與其共面的N匝矩形回路中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì).解：通電導(dǎo)線周圍的磁感應(yīng)強(qiáng)度為：，方向逆時(shí)針?lè)较? 因此，磁通量為：.

8、簡(jiǎn)注：非均勻磁場(chǎng)中磁通量的求解通常要積分，即選取合適的面積元，使通過(guò)該面積元的磁感應(yīng)強(qiáng)度近似均勻，然后再通過(guò)積分法進(jìn)一步求解.例9-5 無(wú)限長(zhǎng)直線電流與直線電流共面，幾何位置如圖所示.試求直線電流受到電流磁場(chǎng)的作用力.解：在直線電流上任意取一個(gè)小電流元，此電流元到長(zhǎng)直線的距離為，無(wú)限長(zhǎng)直線電流在小電流元處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為 ，因此小電流元受到的力為 ，所以直線電流受到的安培力為.簡(jiǎn)注：求解通電導(dǎo)線在非均勻磁場(chǎng)中受到的安培力，一般先在受力導(dǎo)線上任意取一電流元，分析該電流元受力的大小和方向，然后建立合適的坐標(biāo)系并利用積分法進(jìn)行求解.例9-6 如圖所示，一半徑為的無(wú)限長(zhǎng)半圓柱面導(dǎo)體，載有與軸線上的長(zhǎng)

9、直導(dǎo)線的電流相同的電流.試求軸線上長(zhǎng)直導(dǎo)線單位長(zhǎng)度所受的磁力。解：軸線上長(zhǎng)直導(dǎo)線受到半圓柱面電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)的磁力，而半圓柱面可視為無(wú)限多個(gè)電流元產(chǎn)生磁場(chǎng)，相應(yīng)電流元的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，方向垂直于軸線并有右手螺旋定則判定.故 .在垂直軸線的二維坐標(biāo)系中分解可得，即；同理，即.因，所以.簡(jiǎn)注：同上題.第九章 習(xí)題解答9-1 選擇題9-1-1 解 由圖9-1-1可知，四條無(wú)限長(zhǎng)電流在O點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，為.根據(jù)右手定則，左上和右下電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相反，而左下和右上電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相同，所以，故選（B）9-1-2 解 在、和區(qū)域中產(chǎn)生垂直紙面向內(nèi)磁場(chǎng)的電流數(shù)分別為：3、4、2和3，根據(jù)磁感應(yīng)

10、強(qiáng)度的疊加原理，區(qū)域中的向內(nèi)磁感應(yīng)強(qiáng)度最大，因此磁通量最大，故選（B）.9-1-3 解 磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)路積分只與環(huán)路中電流的代數(shù)和有關(guān)，所以環(huán)路積分相等，但P1點(diǎn)和P2點(diǎn)周圍電流分布不同，所以它們的磁感應(yīng)強(qiáng)度不等，故選（D）. 9-1-4 解 當(dāng)S面向電流移動(dòng)時(shí)，穿過(guò)其各點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度隨距離變小而增大，但磁通量始終為零，不變，故選（D）9-1-5 解 I2在其左、右兩邊產(chǎn)生的磁場(chǎng)分別垂直紙面向外和內(nèi)，根據(jù)安培定律，I2的左半導(dǎo)線受合力向右，右半導(dǎo)線受合力也向右，所以導(dǎo)線向右運(yùn)動(dòng)，故選（C）9-1-6 解 電子作勻速直線運(yùn)動(dòng)的條件是靜電力和洛倫茲力互為平衡力，電子所受靜電力始終向下；根據(jù)右手定則

11、，僅當(dāng)電子向Z負(fù)方向運(yùn)動(dòng)時(shí)才可能受向上的洛倫茲力，故選（C）.9-1-7 解 根據(jù)右手定則，電子所受洛倫茲力的方向向右，所有右邊主要聚集電子，左邊聚集正離子，故選（A）. 9-1-8 解 由，因?yàn)榇啪嘏c磁場(chǎng)方向相同，所以磁力矩為零，而，故選（B）.9-1-9 解 磁場(chǎng)對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功，因此動(dòng)能不變，但電荷可能受洛倫茲力，所以動(dòng)量可能改變，故選（C）.9-1-10 解 通電螺繞環(huán)中磁感應(yīng)強(qiáng)度為，由可計(jì)算得，故選（B）. 9-2 填空題9-2-1 解 設(shè)導(dǎo)線間P點(diǎn)離左導(dǎo)線的距離為x,則其磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為，方向垂直紙面向外，（A） P在中點(diǎn)，則x=d/2，代入可得，方向向外；（B），若令B=0，則可

12、求得x=d/3.9-2-2 解 本題采用補(bǔ)償法，即假設(shè)在缺口處分別通有正、反向電流，電流線密度與圓筒相同，則正向電流與圓筒電流構(gòu)成完整的無(wú)限長(zhǎng)圓筒電流，其在內(nèi)部產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零.所以軸線處磁感應(yīng)強(qiáng)度相當(dāng)于反向電流產(chǎn)生的，故，方向垂直缺口所對(duì)應(yīng)半徑且向右.9-2-3 解 通過(guò)袋形的磁通量為通過(guò)平面端口的相反數(shù)，為.9-2-4 解 通過(guò)直導(dǎo)線周圍一個(gè)矩形線圈的磁通量為，其中R2和R1分別是線圈右、左邊到直導(dǎo)線的距離，因圖9-2-4中兩線圈的右、左邊到直導(dǎo)線的距離比相等，均為2，故兩線圈中的磁通量相等，故答案為1：1.9-2-5 解由安培環(huán)路定理：Bdl ，可得（A）-0I1，（B）0（I1+I

13、2），（3）0.9-2-6 解 在均勻磁場(chǎng)中彎曲導(dǎo)線的安培力相當(dāng)于首尾相連直導(dǎo)線所受的安培力，故磁場(chǎng)力大小為BId，方向垂直導(dǎo)線兩端點(diǎn)連線向上.9-2-7 解 由，可得，.9-2-8 解 在圓盤中任選一半徑為r,寬為dr的細(xì)圓環(huán)，該圓環(huán)的磁矩為，方向垂直盤面.所有細(xì)圓環(huán)的磁矩方向相同，因此盤的磁矩為，方向垂直盤面.細(xì)圓環(huán)在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，且所有細(xì)圓環(huán)的磁感應(yīng)強(qiáng)度方向相同，也垂直盤面，所以總磁感應(yīng)強(qiáng)度為.9-2-9 解 由磁力矩公式，因?yàn)榇啪嘏c磁感應(yīng)強(qiáng)度垂直，所以，其中磁矩Pm由上題給出.9-3計(jì)算題9-3-1. 解:（1）導(dǎo)線水平段在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為零, 因此P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度由

14、豎直段產(chǎn)生, 即根據(jù)右手定則可判斷其方向垂直紙面向外.（2）兩水平段半長(zhǎng)直導(dǎo)線在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相同,因此相當(dāng)于一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線. 所以P點(diǎn)的磁場(chǎng)為一無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線和半圓共同產(chǎn)生的，即方向垂直紙面向里.（3）三邊在P點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)完全相同，因此P點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為方向垂直紙面向里.9-3-2. 解: O點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為部分圓弧和直線段共同產(chǎn)生，且它們的方向相同，所以方向垂直紙面向里.9-3-3. 解：導(dǎo)線可分為四段，其中水平部分在O點(diǎn)不產(chǎn)生磁場(chǎng)，因此O點(diǎn)的磁場(chǎng)為兩半圓和豎直向下半無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線共同產(chǎn)生的，即磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為方向垂直紙面向里.9-3-4. 解：取薄金屬板上寬度為dx的長(zhǎng)直電流元，其電流

15、為到P點(diǎn)的距離為x，該線電流在點(diǎn)P 激發(fā)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為因所有線電流在點(diǎn)P 激發(fā)的磁場(chǎng)方向均相同,故點(diǎn)P的磁感應(yīng)強(qiáng)度為方向垂直紙面向外.9-3-5. 解：環(huán)心O在兩根通電直導(dǎo)線的延長(zhǎng)線上，故它們?cè)贠點(diǎn)產(chǎn)生的磁場(chǎng)為零，長(zhǎng)為l的載流圓弧在其圓心處的磁場(chǎng)為，設(shè)左右兩段圓弧的弧長(zhǎng)分別為,則兩者在O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為考慮到兩段圓弧在電路中是并聯(lián)關(guān)系,而在并聯(lián)電路中,電流分配與電阻成反比,電阻又與導(dǎo)線長(zhǎng)度成正比，所以，因此可得.由此可得, 兩段圓弧在O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小相等，方向相反.所以總磁感應(yīng)強(qiáng)度為零,即.9-3-6. 解: 將無(wú)限長(zhǎng)載流圓柱形金屬薄片看作是由許多平行而無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線組成,對(duì)應(yīng)于范圍

16、內(nèi)無(wú)限長(zhǎng)直導(dǎo)線的電流為，它在環(huán)心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為對(duì)整個(gè)半圓柱金屬薄片積分,得，故環(huán)心處磁感應(yīng)強(qiáng)度為,方向沿x軸正向.9-3-7. 解: 由于此平面螺旋線圈繞得很密，可近似看成是由許多同心圓組成的，因?yàn)槔@制均勻，所以沿半徑方向單位長(zhǎng)度的匝數(shù)為,在線圈平面內(nèi),取半徑為的圓環(huán)作電流元，則此圓環(huán)的匝數(shù)為，等效電流為，該圓環(huán)電流在O產(chǎn)生的磁場(chǎng)為：方向垂直紙面向外；所以由疊加原理，O點(diǎn)磁感應(yīng)強(qiáng)度為方向垂直紙面向外9-3-8 解: 沿圓周單位長(zhǎng)度的線圈匝數(shù)為，在距O點(diǎn)x處取一弧寬為dl、半徑為y的圓環(huán)，則圓環(huán)上繞有匝線圈.通過(guò)圓環(huán)上的電流大小為，該圓電流在球心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為,方向沿x軸正向.由于所

17、有小圓環(huán)電流產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相同，所以,方向沿x軸正向.9-3-9 解: 根據(jù)電子繞核運(yùn)動(dòng)的角動(dòng)量量子化假說(shuō)：L=mva0=h/2, 可得電子的速率v=h/2ma0，從而求出等效電流i=ev/2a0=he/42ma02. 該電流在圓心處產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為.9-3-10. 解: 帶電圓環(huán)旋轉(zhuǎn)時(shí)相當(dāng)于一圓形電流，根據(jù)教材P358-359中圓形電流在圓心和軸線上任意點(diǎn)產(chǎn)生磁場(chǎng)的規(guī)律可得，（1）圓心處：；（2）軸線上：.9-3-11. 解: 帶電直線沿直線運(yùn)動(dòng)相當(dāng)于一無(wú)限長(zhǎng)直線電流，根據(jù)無(wú)限長(zhǎng)直線電流的磁感應(yīng)強(qiáng)度分布規(guī)律可得.9-3-12. 解: 參考例9-4可得.9-3-13 解: 無(wú)限長(zhǎng)通電柱體的磁

18、感應(yīng)強(qiáng)度分布為， . 題中兩導(dǎo)線軸線間區(qū)域中的磁場(chǎng)為兩導(dǎo)線單獨(dú)產(chǎn)生的磁場(chǎng)的疊加，而且兩分磁場(chǎng)方向相同.因此磁通量對(duì)該式積分可得.9-3-14 解:（1）根據(jù)安培環(huán)路定理，磁感應(yīng)強(qiáng)度的環(huán)路積分只與閉合路徑所包圍的電流有關(guān)，故參考上題可得；.（2）兩柱面間磁通量為.9-3-15解: 單塊無(wú)限大平面電流產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度為，方向見(jiàn)下圖.由題意，電流流向相反，使得兩平面電流在之間產(chǎn)生的磁場(chǎng)方向相同，兩側(cè)方向相反，因此有：（1）之間：，（2）兩側(cè)：.9-3-16解: 參考例9-2，可利用補(bǔ)償法求解.本題中電流密度為，（1）圓柱體軸線上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為空腔中方向電流產(chǎn)生，即 ；（2）利用例9-2的結(jié)果可得.9-3