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1、第三節(jié) 泰勒級數,二、泰勒定理,三、將函數展開成泰勒級數,一、問題的引入,四、典型例題,五、小結與思考,2,一、問題的引入,問題: 任一個解析函數能否用冪級數來表達？,如圖:,3,由柯西積分公式 , 有,其中 K 取正方向.,則,4,5,由高階導數公式, 上式又可寫成,其中,可知在K內,6,令,則在K上連續(xù),7,即存在一個正常數M,8,從而在K內,泰勒級數,9,由上討論得重要定理泰勒展開定理,10,二、泰勒定理,其中,泰勒級數,泰勒展開式,泰勒介紹,11,說明:,3.任何解析函數在一點的泰勒級數是唯一的.,12,因為解析，可以保證無限次可各 階導數的連續(xù)性;,所以復變函數展為泰勒級數的實用范圍

2、就 要比實變函數廣闊的多.,注意,問題：利用泰勒級數可以將函數展開為冪級數，展開式是否唯一？,13,那末,即,因此, 任何解析函數展開成冪級數的結果就是泰勒級數, 因而是唯一的.,14,三、將函數展開成泰勒級數,常用方法: 直接法和間接法.,1.直接法:,由泰勒展開定理計算系數,15,例如，,故有,16,仿照上例 ,17,2. 間接展開法 :,借助于一些已知函數的展開式 , 結合解析函數的性質, 冪級數運算性質 (逐項求導, 積分等)和其它數學技巧 (代換等) , 求函數的泰勒展開式.,間接法的優(yōu)點:,不需要求各階導數與收斂半徑 , 因而比直接展開更為簡潔 , 使用范圍也更為廣泛 .,18,例

3、如，,19,附: 常見函數的泰勒展開式,20,21,例1,解,四、典型例題,22,上式兩邊逐項求導,23,例2,分析,如圖,24,即,將展開式兩端沿 C 逐項積分, 得,解,25,例3,解,26,例4,解,27,例5,解,28,五、小結與思考,通過本課的學習, 應理解泰勒展開定理,熟記 五個基本函數的泰勒展開式,掌握將函數展開成 泰勒級數的方法, 能比較熟練的把一些解析函數 展開成泰勒級數.,29,奇、偶函數的泰勒級數有什么特點?,思考題,30,奇函數的泰勒級數只含 z 的奇次冪項, 偶函數 的泰勒級數只含 z 的偶次冪項.,思考題答案,放映結束，按Esc退出.,31,泰勒資料,Born: 18 Aug 1685 in Edmonton, Middlesex, EnglandDied: 29 Dec 173

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