光纖光學(xué)教學(xué)課件第三講

1、08.10.2020,第二章 光纖光學(xué)的基本方程,08.10.2020,光纖光學(xué)的研究方法,幾何光學(xué)方法：,光纖芯徑遠(yuǎn)大于光波波長(zhǎng)0時(shí), 可以近似認(rèn)為00，從而將光波近似看成由一根一根光線所構(gòu)成, 因此可采用幾何光學(xué)方法來分析光線的入射、傳播(軌跡) 以及時(shí)延(色散) 和光強(qiáng)分布等特性，這種分析方法即為光線理論。,優(yōu)點(diǎn)：簡(jiǎn)單直觀，適合于分析芯徑較粗的多模光纖。 缺點(diǎn)：不能解釋諸如模式分布、包層模、模式耦合以及光場(chǎng)分布等現(xiàn)象，分析單模光纖時(shí)結(jié)果存在很大的誤差。,08.10.2020,波動(dòng)光學(xué)方法：,是一種嚴(yán)格的分析方法，從光波的 本質(zhì)特性電磁波出發(fā)，通過求解電磁波所遵從的麥克斯韋方程，導(dǎo)出電磁波

2、的場(chǎng)分布。,優(yōu)點(diǎn)：具有理論上的嚴(yán)謹(jǐn)性，未做任何前提近似，因此適用于各種折射率分布的單模和多模光纖。 缺點(diǎn)：分析過程較為復(fù)雜。,08.10.2020,光纖光學(xué)的研究方法比較,08.10.2020,光線理論與波動(dòng)理論分析思路,電磁分離 波動(dòng)方程 wave equation,縱橫分離 波導(dǎo)場(chǎng)方程,時(shí)空分離 亥姆赫茲方程 Helmholtz equation,08.10.2020, HUST 2010,2010-3-2,6,補(bǔ)充數(shù)學(xué)知識(shí),08.10.2020, HUST 2010,2010-3-2,7,補(bǔ)充數(shù)學(xué)知識(shí),為梯度算符，在直角坐標(biāo)系與圓柱坐標(biāo)系中分別為：,08.10.2020,2.1 麥克斯韋

3、方程與亥姆赫茲方程,一、麥克斯韋方程,光纖是一種介質(zhì)光波導(dǎo)，具有如下特點(diǎn)： 無傳導(dǎo)電流； 無自由電荷； 線性各向同性。,DE BH,ee0n2,08.10.2020,邊界條件：在兩種介質(zhì)交界面上電磁場(chǎng)矢量的E(x,y)和H(x,y)切向分量要連續(xù),D與B的法向分量連續(xù)：,08.10.2020,電場(chǎng)、磁場(chǎng)關(guān)系式,矢量關(guān)系式,電場(chǎng)強(qiáng)度E的波動(dòng)方程式,該方程只與電場(chǎng)強(qiáng)度E有關(guān)，與磁場(chǎng)H無關(guān)。,8,電磁矢量分離：波動(dòng)方程,08.10.2020,9, HUST 2010,2010-3-2,矢量波方程,這是電磁波普遍適用的精確方程。 在光纖中，折射率變化非常緩慢，可近似認(rèn)為 于是上述方程可簡(jiǎn)化為標(biāo)量波方程

4、 Notice：該方程為近似結(jié)果，適用于光纖中的一般問題。若要進(jìn)行精密分析，要用矢量方程。,矢量E(x,y,z,t)和H(x,y,z,t)的每一個(gè)分量均滿足該式！,08.10.2020,分離變量: 時(shí)空坐標(biāo)分離,令場(chǎng)分量為： 得到關(guān)于E(x,y,z)和H(x,y,z)的方程式，即 亥姆霍茲方程：,前提：光纖傳播單色光波，時(shí)間函數(shù)為簡(jiǎn)諧函數(shù),08.10.2020,2.2 程函方程與射線方程,一、程函方程：光程函數(shù)方程,08.10.2020,二、光線方程,由光程函數(shù)方程可推得光線方程：,08.10.2020,單位矢量相等：,又有：,08.10.2020,光線方程,08.10.2020,光線方程的物

5、理意義：,當(dāng)光線與z 軸夾角很小時(shí)，有：,物理意義： 將光線軌跡(由r描述)和空間折射率分布(n)聯(lián)系起來; 由光線方程可以直接求出光線軌跡表達(dá)式; dr/dS是光線切向斜率, 對(duì)于均勻波導(dǎo)，n為常數(shù),光線以直 線形式傳播;對(duì)于漸變波導(dǎo),n是r的函數(shù),則dr/dS為一變量, 這表明光線將發(fā)生彎曲。而且可以證明,光線總是向折射率 高的區(qū)域彎曲。,08.10.2020,由光線方程可以證明下列關(guān)系式成立：,光線總是向折射率高的區(qū)域彎曲,課后作業(yè)題：證明上式。,08.10.2020,典型光線傳播軌跡,08.10.2020,麥克斯韋方程,場(chǎng)的波動(dòng)方程,亥姆霍茲方程,波導(dǎo)場(chǎng)方程,電、磁分離,時(shí)、空分離,縱

6、、橫分離,直角坐標(biāo)系 or 圓柱坐標(biāo)系下研究,任意場(chǎng)分量都滿足. 選哪個(gè)場(chǎng)分量 研究呢？ 能方便求出其他場(chǎng)分量！,2.3 波導(dǎo)場(chǎng)方程,08.10.2020,波動(dòng)理論,亥姆霍茲方程： 特征：拉普拉斯算符作用在場(chǎng)分量函數(shù)上的結(jié)果等于該函數(shù)與一常數(shù)-k2的乘積。 這類方程在數(shù)學(xué)上稱為本征方程，常數(shù)k稱為本征值，該函數(shù)稱為本征函數(shù)。 波動(dòng)理論：對(duì)于給定的邊界條件求本征方程的解 本征解及對(duì)應(yīng)本征值,08.10.2020,光纖波導(dǎo)光波傳輸特征： 在縱向（軸向）以“行波”形式存在，橫向以 “駐波”形式存在。場(chǎng)分布沿軸向只有相位變化， 沒有幅度變化。 進(jìn)行空間坐標(biāo)縱、橫分離，令 代入亥姆霍茲方程得到,空間坐標(biāo)

7、縱橫分離：波導(dǎo)場(chǎng)方程,08.10.2020,由此得到電場(chǎng)E和磁場(chǎng)H的場(chǎng)分布滿足的 波導(dǎo)場(chǎng)方程： 數(shù)學(xué)物理意義： 是波動(dòng)光學(xué)方法的最基本方程。它是一個(gè)典型的 本征方程,其本征值為或。當(dāng)給定波導(dǎo)的邊界條件時(shí),求解波導(dǎo)場(chǎng)方程可得本征解及相應(yīng)的本征值。通常將本征解定義為“模式”.,08.10.2020,模式及其基本性質(zhì),每一個(gè)模式對(duì)應(yīng)于沿光波導(dǎo)軸向傳播的一種電磁波; 每一個(gè)模式對(duì)應(yīng)于某一本征值并滿足全部邊界條件; 模式具有確定的相速群速和橫場(chǎng)分布. 模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。給定 的波導(dǎo)中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的,外 界激勵(lì)源只能激勵(lì)起光波導(dǎo)中允許存在的模式而不 會(huì)改變模式的固

8、有性質(zhì)。(和及邊界條件均由光纖本身決定，與外界激勵(lì)源無關(guān)),08.10.2020,橫模 光波在傳輸過程中，在光束橫截面上將形成具有各種不同形式的穩(wěn)定分布，這種具有穩(wěn)定光強(qiáng)分布的電磁波，稱為橫模。橫模（表現(xiàn)在光斑形狀）的分布是和光波傳輸區(qū)域的橫向（xy面）結(jié)構(gòu)相關(guān)的； 光纖中的模式：,光纖中的模式-橫模,08.10.2020,縱 模,相長(zhǎng)干涉 條件：2 nLK 縱模是與激光腔長(zhǎng)度相關(guān)的，所以叫做“縱?！保v模是指頻率而言的。,08.10.2020,模式的場(chǎng)分量,模式場(chǎng)分布由六個(gè)場(chǎng)分量唯一決定： 直角坐標(biāo)系：Ex Ey Ez Hx Hy Hz 圓柱坐標(biāo)系：Er Ef Ez Hr Hf Hz Ez

9、和 Hz 總是獨(dú)立滿足波導(dǎo)場(chǎng)方程 場(chǎng)的橫向分量可由縱向分量來表示6個(gè)場(chǎng)分量可簡(jiǎn)化為2個(gè)縱向場(chǎng)分量的求解。,說明：光纖為圓柱型波導(dǎo)，通常在圓柱坐標(biāo)系下研究更為方便。此時(shí)其兩個(gè)橫向分量相互交疊，沒有如此簡(jiǎn)單的分量方程，只有縱向分量滿足獨(dú)立的波導(dǎo)場(chǎng)方程。,08.10.2020,直角坐標(biāo)系縱橫關(guān)系式,08.10.2020,圓柱坐標(biāo)系縱橫關(guān)系式,08.10.2020,30,橫縱關(guān)系式,已知場(chǎng)的橫向向分量，可知場(chǎng)的縱向分量,直角坐標(biāo)系下,圓柱坐標(biāo)系下,08.10.2020,縱橫關(guān)系式推導(dǎo),對(duì)于單色波，任一場(chǎng)分量 由麥克斯韋方程組可得： 直角坐標(biāo)系下： 柱坐標(biāo)系下：,08.10.2020,直角坐標(biāo)系各分量方

10、程,08.10.2020,1、模場(chǎng)分布,即波導(dǎo)場(chǎng)方程滿足邊界條件的本征解 直角坐標(biāo)系：(Ex、Ey、Ez) (Hx、Hy、Hz) 圓柱坐標(biāo)系：(Er、E、Ez) (Hr、H、Hz),2.4 模式及其基本性質(zhì),08.10.2020,34,2、模式命名,根據(jù)場(chǎng)的縱向分量Ez和Hz的存在與否,可將模式命名為: (1)橫電磁模(TEM): EzHz0; (2)橫電模(TE): Ez0, Hz0; (3)橫磁模(TM): Ez0, Hz0; (4)混雜模(HE或EH):Ez0, Hz0。 光纖中存在的模式多數(shù)為HE(EH)模,有時(shí)也出現(xiàn)TE(TM)模。,08.10.2020,3、縱向傳播常數(shù)（b）,b實(shí)

11、際上是等相位面沿z軸的變化率； b數(shù)值分立，對(duì)應(yīng)一組導(dǎo)模； 不同的導(dǎo)模對(duì)應(yīng)于同一個(gè)b數(shù)值，我們稱這些導(dǎo)模是簡(jiǎn)并的；,z方向單位長(zhǎng)度位相變化率; 波矢量k的z-分量,縱向傳播常數(shù)（b）：即與本征解相對(duì)應(yīng)的本征值,08.10.2020,3、歸一化頻率（V）,給定光纖中,允許存在的導(dǎo)模由其結(jié)構(gòu)參數(shù)所限定。光纖的結(jié)構(gòu)參數(shù)可由其歸一化頻率V表征: V值越大，允許存在的導(dǎo)模數(shù)就越多。,08.10.2020,4、橫向傳播常數(shù)（U、W）,橫向分量：,（對(duì)應(yīng)于纖芯）,（對(duì)應(yīng)于包層）,定義橫向傳播常數(shù)：,滿足：,場(chǎng)歸一化傳播常數(shù)：,芯區(qū)：c1為實(shí)數(shù); 包層：c2為純虛數(shù),08.10.2020,橫向傳播常數(shù)（U、W）的特性,08.10.2020,5、相速度與群速度,相速度：場(chǎng)的等相位面沿z軸的傳播速度,群速度：光脈沖或波包中心或光能量沿z軸的傳播速度,在光纖中,Vp大于光速c/n1而Vg小于光速c/n1,并有如下關(guān)系式: Vp c/(n1cosz ) c /n1 Vg(c/ n1)cosz c /n1 其中z是波矢K與z軸夾角。僅當(dāng)z0時(shí)才有VpVgc/n1。 不同的z角相應(yīng)于不同的導(dǎo)模,對(duì)應(yīng)于不同的相速Vp和群速Vg。,08.10.2020,6、色散與群延時(shí),群延時(shí)：光脈沖行經(jīng)單位長(zhǎng)度距離所需時(shí)間。,色散：不同模式之間會(huì)產(chǎn)生不同的群延時(shí)，這種群延時(shí)引起