幾何與代數課件：lec21 特征值與特征向量的性質-講義提綱

1、,幾何與代數,2010年國家級精品課程,教學內容和學時分配,第五章 特征值與特征向量,問題式預習,1. 方陣的行列式和跡與特征值間有什么關系？,2. 方陣的化零多項式的根與特征值間有什么關系？,思考題,投影矩陣有什么性質？,若ARmn, r(A)=n, 則r(ATA)=,n,為b在R(A)上的投影矩陣.,P=E？,PT=？,P2 = ？,并以R(A)是一個平面的情況為例說明P2b的幾何含義.,當A可逆時 P = E .,PT = E .,P2 = P .,P2b = P(Pb),Pb在R(A)上，再往R(A)上投影還是Pb.,解1:,所以A的全部特征值為 0(n1重根),例3. 設0, Rn,

2、 求A=T的特征值和特征向量.,設a10,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,解: 當=0時, (EA)x = 0, 即Ax = 0.,不妨設,例3. 設0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,對應=0的 特征向量為,不全 為0,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,此時，線性無關的特征向量只有一個.,解: 當= T時, (T EA) x = 0.,因為Ax = x.,即 x = x.,注意到,所以即為A的對應特征值 = T的特征向量.,所以只要找一個非零向量滿足上述方程即可.,例3. 設0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,r(TEA) +

3、 r(x) n.,r(TEA) n1.,r(TEA)+r(A) r(TEA+A) = r(TE) = n.,r(TEA) = n1.,則對應 = T的特征向量為,r(A)=1,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,(EA) =有非零解 |EA|=0, 是方陣A的一個特征值 .,A為方陣, 不是A的特征值 (EA)可逆.,例4.設3階矩陣A的特征值為2,1,4,則可逆的矩陣:,(A) EA,(B) 4EA,(C) 2EA,(D) 2E+A,例5.若方陣A不可逆，則A的一個特征值為( ),0,例6.若方陣A滿足A2=2A,0不是A的特征值,則A=,A可逆,A = 2E,第五章

4、特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,一. 特征值、特征向量的定義和計算,先解|EA|=0, 求; 將代入 (EA) =, 求非零通解.,0, s.t. A = , EA不可逆,例7. 證明f() 是的n次多項式, 并求n, n1的系數及常數項.,d1 = (a11)(a22)(ann),f(0),= (1)n|A|,= |A|,f() = |EA| =,A的跡, 記為trA,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,二. 特征值的性質,定理5.1. 設1, , n(實數或復數, 可重復)是n階方陣A=(aij)的n個特征值, 即 |EA| = (1) (2)(n)

5、，則,證明：,|EA| = (1) (2)(n),第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,定理5.1.設1, , n(實數或復數)是n階方陣A=(aij),的n個特征值, 則,推論1：方陣A可逆 A的特征值均不為0.,推論2：方陣A可逆, 是A的特征值, 則1/是A1的特征值, |A|/是A*的特征值.,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,性質1: 若是A的特征值, 則也是AT 的特征值.,性質2. 設是A的特征值,則k是Ak的一個特征值.,性質3. 設是方陣A的一個特征值, f是一個,多項式, 則f()是方陣f(A)的一個特征值.,第五章 特征值與特征

6、向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,性質3. 設是A的特征值,則f()是f(A)的特征值.,例8.設3階矩陣A的特征值為1,2,3, 則 trB = ?,1153 = 19,例9.設3階矩陣A的特征值為2,1,1,則,推論1：方陣A可逆 A的特征值均不為0.,推論2：方陣A可逆, 是A的特征值, 則1/是A1的特征值, |A|/是A*的特征值.,A的特征值為1=1, 2 = 1,例10. f(x) = x21, 根為1, 1,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,(稱f為A的一個化零多項式),1=2 =1,1=2 = 1,化零多項式的根為：1, 1,1=1, 2 = 1,

7、A的特征值為1=1, 2 = 1,例10. f(x) = x21, 根為1, 1,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,1=2 =1,1=2 = 1,化零多項式的根為：1, 1,1=1, 2 = 1,A 的任一特征值都是化零多項式的根.,(稱f為A的一個化零多項式),性質4. 若f 是多項式, A是一個方陣, 使f(A) =O,則A的任一特征值必滿足f() = 0.,例10. f(x) = x21, 根為1, 1,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,1=2 =1,1=2 = 1,1=1, 2 = 1,A 的任一特征值都是化零多項式的根.,性質4. 若f

8、 是多項式, A是一個方陣, 使f(A) =O,則A的任一特征值必滿足f() = 0.,注1: A的化零多項式的根未必都是A的特征值.,注2: A的化零多項式的根 A的特征值.,注3: A的化零多項式的根是A的所有可能的特征值.,例10. f(x) = x21, 根為1, 1,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,1=2 =1,1=2 = 1,1=1, 2 = 1,注1: A的化零多項式的根未必都是A的特征值.,注2: A的化零多項式的根 A的特征值.,注3: A的化零多項式的根是A的所有可能的特征值.,例11. 若 A2 = E, 求A的所有可能的特征值.,解：由A2 E

9、= 0知, f(x) = x21為A一個化零多項式.,f(x) = x21=0 的根1,1為A的所有可能的特征值.,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,注1: A的化零多項式的根未必都是A的特征值.,注2: A的化零多項式的根 A的特征值.,注3: A的化零多項式的根是A的所有可能的特征值.,例11. 若 A2 = E, 求A的所有可能的特征值.,解：由A2 E= 0知, f(x) = x21為A一個化零多項式.,f(x) = x21=0 的根1,1為A的所有可能的特征值.,錯誤做法：,A2 = E,A2 E =0,(A+E)(A E ) =0,|A+E| |A E |

10、=0,|A+E| =0, |A E | =0,=1,1,錯誤在于只能說明1,1 是A的可能的特征值，但不能保證是所有可能的特征值。,解法2:,所以A的所有可能的特征值滿足,所以A的所有可能的特征值,所以A的全部特征值為 0(n1重根),例3. 設0, Rn, 求A=T的特征值和特征向量.,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,二. 特征值的性質,0,s.t. A = .,設是A的特征值, 則f()是f(A)的特征值.,A的化零多項式的根可能是但未必都是A的特征值.,A 的任一特征值都是化零多項式的根.,A可逆A的特征值均不為0, 1/是A1的特征值.,是可逆陣A的特征值, 則|A|/是A*的特征值.,若是方陣A的特征值, 則也是AT 的特征值.,第五章 特征值與特征向量,5.1 方陣的特征值和特征向量,(EA) =有非零解,是方陣A的一個特征值, |EA|=0 EA不可逆,二. (A