圓周運(yùn)動(dòng)中的繩桿模型

1、圓周運(yùn)動(dòng)的繩桿模型,2,圓周運(yùn)動(dòng)知識是高考中的重要考點(diǎn)之一，歷年的壓軸題目都涉及圓周運(yùn)動(dòng)知識，并且該知識點(diǎn)成為解答高分值題目的關(guān)鍵知識橋接點(diǎn)。圓周運(yùn)動(dòng)知識板塊中既能考查中學(xué)階段很重要的受力分析能力，又能考查圓周運(yùn)動(dòng)的相關(guān)知識，更重要的是，能考查學(xué)生構(gòu)建模型、從圖象中獲取信息進(jìn)行解題的能力。我們應(yīng)該熟練掌握圓周運(yùn)動(dòng)以在高考中體現(xiàn)出自己的能力，特別是物體在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)（翻滾過山車、水流星、雜技節(jié)目中的飛車走壁等）中通過最高點(diǎn)和最低點(diǎn)的情況，經(jīng)常出現(xiàn)的臨界狀態(tài)的具體分析。,繩球模型 桿球模型 模型推廣及應(yīng)用,教學(xué)目標(biāo),向心力公式：,向心加速度公式：,知識回顧：,豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)一般是變速

2、圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度大小和方向在不斷發(fā)生變化，運(yùn)動(dòng)過程復(fù)雜，合外力不僅要改變運(yùn)動(dòng)方向，還要改變速度大小，所以一般不研究任意位置的情況，只研究特殊的臨界位置最高點(diǎn)和最低點(diǎn)。兩類模型輕繩類和輕桿類。,一、繩球模型,長為L的細(xì)繩拴著質(zhì)量為m 的小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。,試分析： （1）當(dāng)小球在最低點(diǎn)A 的速度為v1時(shí)，繩的拉力與速度的關(guān)系如何？,（2）當(dāng)小球在最高點(diǎn)B 的速度為v2 時(shí)，繩的拉力與速度的關(guān)系又如何？,o,思考：小球過最高點(diǎn)的最小速度是多少?,最低點(diǎn)：,最高點(diǎn)：,當(dāng)v=v0，小球剛好能夠通過最高點(diǎn)；,當(dāng)vv0，小球偏離原運(yùn)動(dòng)軌跡，不能通過最高點(diǎn)；,當(dāng)vv0，小球能夠通過最高點(diǎn)。,（

3、1）質(zhì)點(diǎn)過最高點(diǎn)的臨界條件：質(zhì)點(diǎn)達(dá)最高點(diǎn)時(shí)繩子的拉力剛好為零，質(zhì)點(diǎn)在最高點(diǎn)的向心力全部由質(zhì)點(diǎn)的重力來提供，這時(shí)有,，式中的,（2）質(zhì)點(diǎn)過最高點(diǎn)的最小向心加速度,（3）質(zhì)點(diǎn)能通過最高點(diǎn)的條件是,當(dāng)質(zhì)點(diǎn)的速度小于這一值時(shí)，質(zhì)點(diǎn)將運(yùn)動(dòng)不到最高點(diǎn)。,是質(zhì)點(diǎn)通過最高點(diǎn)的最小速度，叫臨界速度；,例1、“水流星” 是一種常見的雜技項(xiàng)目，該運(yùn)動(dòng)可以簡化為輕繩一端系著小球在豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)模型，如圖所示，已知繩長為L，重力加速度為g，忽略空氣阻力，則（）,A當(dāng)v06,B當(dāng)v0,C小球的速度v0越大，則在P、Q兩點(diǎn)繩對小球的拉力差越大 D小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)Q時(shí)，處于失重狀態(tài),時(shí)，小球一定能通過最高點(diǎn)P,時(shí)，輕繩

4、始終處于繃緊狀態(tài)L,練1、如圖所示，不少同學(xué)都看過雜技演員表演的“水流星”，一根細(xì)繩系著盛水的杯子，演員掄起繩子，杯子在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。杯子可視為質(zhì)點(diǎn)，杯子與圓心O的距離為1m，重力加速度大小為10m/s2為使杯子運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)（已經(jīng)杯口朝下）水不會(huì)從杯里灑出，則杯子通過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小可能為（）,A2m/s B3m/s C4m/s D5m/s,例2、如圖所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r0.4m，最低點(diǎn)處有一小球（半徑比r小的多），現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，則要使小球不脫離圓軌道運(yùn)動(dòng)，v0應(yīng)滿足（g10m/s2）（） v00v04m/sv02,m/sv02,m

5、/s,A B C D,【解答】解：對于第（1）種情況，當(dāng)v0較大時(shí)，小球能夠通過最高點(diǎn)，這時(shí)小球在最高點(diǎn)處需要滿足的條件是mgm,，又根據(jù)機(jī)械能守恒定律有,mv2+2mgr,，可求得v02,對于第（2）種情況，當(dāng)v0較小時(shí)，小球不能通過最高點(diǎn)，這時(shí)對應(yīng)的臨界條件是小球上升到與圓心等高位置處，速度恰好減為零，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有mgr,可知v02,故選：C。,m/s；,m/s。,練2、如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為0.6kg的小球以某一初速度從P點(diǎn)水平拋出，恰好從圓弧ABC的A點(diǎn)的切線方向進(jìn)入圓?。ú挥?jì)空氣阻力，進(jìn)入圓弧時(shí)無機(jī)被能損失）已知圓弧的半徑R0.6m，60，小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的速度vA8m/sg取1

6、0m/s2，求： （1）小球做平拋運(yùn)動(dòng)的初速度v0 （2）P點(diǎn)與A點(diǎn)的高度差 （3）小球剛好能到達(dá)圓弧最高點(diǎn)C， 求此過程小球克服摩擦力所做的功。,例3、如圖甲所示，用一輕質(zhì)繩拴著一質(zhì)量為m的小球，在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)（不計(jì)一切阻力），小球運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)繩對小球的拉力為T，小球在最高點(diǎn)的速度大小為v，其Tv2圖象如圖乙所示，則（）,A當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣葹?B輕質(zhì)繩長為,C小球在最低點(diǎn)受到的最小拉力為5a D若把輕繩換成輕桿，則從最高點(diǎn)由靜止轉(zhuǎn)過90的過程中桿始終對小球產(chǎn)生支持力,【解答】解：A、B、在最高點(diǎn)時(shí)，繩對小球的拉力和重力的合力提供向心力，則得：mg+Tm,得：T,由圖象知，T0時(shí)，v

7、2b圖象的斜率k,，則得：,得繩長 L,當(dāng)v20時(shí)，Ta，由得：amg，得 g,C、只要v2b，繩子的拉力大于0，根據(jù)牛頓第二定律得： 最高點(diǎn)：T1+mgm ,最低點(diǎn)：T2mgm,從最高點(diǎn)到最低點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：,聯(lián)立解得：T2T16mg，即小球在最低點(diǎn)和最高點(diǎn)時(shí)繩的拉力差均為6a，故C錯(cuò)誤； D、若把輕繩換成輕桿，則從最高點(diǎn)由靜止轉(zhuǎn)過90的過程中開始時(shí)桿對小球的作用力為支持力；當(dāng)轉(zhuǎn)過90后，小球的向心力必定由桿的拉力提供，所以可知，在小球從最高點(diǎn)由靜止轉(zhuǎn)過90的過程中，桿對小球的作用力開始時(shí)是支持力，然后是拉力。故D錯(cuò)誤。 故選：AB。,- mg,；故A正確，B正確；,2mg

8、L,二、桿球模型：,長為L的輕桿一端固定著一質(zhì)量為m的小球，使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)。,試分析： （1）當(dāng)小球在最低點(diǎn)A的速度為v2時(shí)，桿的受力與速度的關(guān)系怎樣？,（2）當(dāng)小球在最高點(diǎn)B的速度為v1時(shí)，桿的受力與速度的關(guān)系怎樣？,A,B,16,o,思考:最高點(diǎn)的最小速度是多少?,桿球模型：,A,B,最低點(diǎn)：,最高點(diǎn)：,拉力,支持力,17,運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)在一輕桿的作用下，繞中心點(diǎn)作變速圓周運(yùn)動(dòng)，由于輕桿能對質(zhì)點(diǎn)提供支持力和拉力，所以質(zhì)點(diǎn)過最高點(diǎn)時(shí)受的合力可以為零，質(zhì)點(diǎn)在最高點(diǎn)可以處于平衡狀態(tài)。所以質(zhì)點(diǎn)過最高點(diǎn)的最小速度為零。 （1）當(dāng),時(shí)，輕桿對質(zhì)點(diǎn)有豎直向上的支持力，其大小等于質(zhì)點(diǎn)的重力，即,（

9、2）當(dāng),時(shí)，,（3）當(dāng),（4）當(dāng),時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的重力大于其所需的向心力，輕桿對質(zhì)點(diǎn)的豎直向上的支持,的增大而減小。,力，支持力隨,，質(zhì)點(diǎn)的重力不足以提供向心力，桿對質(zhì)點(diǎn)有指向圓心的拉力，且拉力隨,速度的增大而增大；,例4、一輕桿一端固定質(zhì)量為m的小球，以另一端O為圓心，使小球做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，以下說法正確的是（） A球過最高點(diǎn)時(shí)，桿所受的彈力可以等于零 B球過最高點(diǎn)時(shí)，最小速度為,C球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對球的彈力一定與球的重力方向相反 D球過最高點(diǎn)時(shí)，桿對球的彈力可以與球的重力反向，此時(shí)重力一定大于桿對球的彈力,例5、如圖所示，可視為質(zhì)點(diǎn)的、質(zhì)量為m的小球，在半徑為R的豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓

10、周運(yùn)動(dòng)，下列有關(guān)說法中正確的是（）,A小球能夠到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為0 B小球能夠通過最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為g,C如果小球在最低點(diǎn)時(shí)的速度大小為,D如果小球在最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為2,則此時(shí)小球?qū)艿赖膬?nèi)壁的作用力為3mg,則小球通過最低點(diǎn)時(shí)對管道的外壁的作用力為6mg,20,練3、如圖所示，一個(gè)半徑為R1.5m的金屬圓環(huán)豎直固定放置，環(huán)上套有一個(gè)質(zhì)量為m的小球，小球可在環(huán)上自由滑動(dòng)，與環(huán)間的動(dòng)摩擦因數(shù)為0.75不計(jì)空氣阻力，重力加速度g10m/s2當(dāng)小球向右滑動(dòng)經(jīng)過環(huán)的最高點(diǎn)時(shí)：（結(jié)果可用根號表示） （1）若此刻環(huán)對小球的摩擦力為零，求此刻小球的速率 （2）若此刻環(huán)對小球的摩擦力大小為0.3m

11、g，求此刻環(huán)對小球的作用力大小 （3）若此刻環(huán)對小球的摩擦力大小為0.3mg，求此刻小球的速率,21,【解答】解：（1）摩擦力f0，則環(huán)對小球的彈力N0 ，對小球受力分析有：,解得小球速率,（2）滑動(dòng)摩擦力 fN，將f0.3mg、0.75代入解得環(huán)對小球的彈力,由勾股定理，環(huán)對小球的作用力,（3）由第二小題可知，環(huán)對小球的彈力N0.4mg，當(dāng)環(huán)對小球的彈力向上時(shí)：,當(dāng)環(huán)對小球的彈力向下時(shí)：,解得小球的速率,N,0.4mg,解得小球的速率 v13m/s,例6、如圖所示，輕桿長為3L，在桿的A、B兩端分別固定質(zhì)量均為m的球A和球B，桿上距球A為L處的點(diǎn)O裝在光滑的水平轉(zhuǎn)動(dòng)軸上，外界給予系統(tǒng)一定的能

12、量后，桿和球在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)。在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中，忽略空氣的阻力。若球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，球B對桿恰好無作用力，則下列說法正確的是（）,A球B轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，其速度為vB,B球B在最低點(diǎn)時(shí)速度為,C球B在最高點(diǎn)時(shí)，桿對水平軸的作用力為1.5mg D球B在最高點(diǎn)，桿對水平軸的作用力為0.75mg,gL,【解答】解：球B運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，球B對桿恰好無作用力，即重力恰好提供向心力，有：,得：,兩球的角速度相等，故球A的速度為：,再以A為研究對象由向心力公式得：,B球轉(zhuǎn)到最低點(diǎn)時(shí)，設(shè)當(dāng)球B運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)球的速度vB，則球A的速度為：,由系統(tǒng)的動(dòng)能定理得：,解得：,故AC正確，BD錯(cuò)誤； 故選：AC。,解得：F1

13、.5mg,2mgL,24,豎直平面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)一般可以劃分為這兩類，如豎直（光滑）圓弧內(nèi)側(cè)的圓周運(yùn)動(dòng)，水流星的運(yùn)動(dòng)，過山車運(yùn)動(dòng)等，可化為豎直平面內(nèi)輕繩類圓周運(yùn)動(dòng)；汽車過凸形拱橋，小球在豎直平面內(nèi)的（光滑）圓環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，小球套在豎直圓環(huán)上的運(yùn)動(dòng)等，可化為輕豎直平面內(nèi)輕桿類圓周運(yùn)動(dòng)。,最高點(diǎn)情況分類討論,（拉力）,最低點(diǎn)：,（支持力）,（只有重力）,25,豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的臨界問題,練3、如圖甲，小球用不可伸長的輕繩連接后繞固定點(diǎn)O在豎直面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，小球經(jīng)過最高點(diǎn)時(shí)的速度大小為v，此時(shí)繩子的拉力大小為FT，拉力FT與速度的平方v2的關(guān)系如圖乙所示，圖象中的數(shù)據(jù)a和b包括重力加速度g都為已知量，以下說法正確的是（）,A數(shù)據(jù)a與小球的質(zhì)量無關(guān) B數(shù)據(jù)b與小球的質(zhì)量無關(guān) C比值,D利用數(shù)據(jù)a、b和g能夠求出小球的質(zhì)量 和圓周軌道半徑,只與小球的質(zhì)量有關(guān)，,與圓周軌道半徑無關(guān),27,練4、如圖所示，質(zhì)量為M1kg的薄壁細(xì)圓管豎直放置在固