2018年高中數(shù)學(xué)幾個(gè)重要的不等式2.3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式課件北師大版.pptx

1、,第二章幾個(gè)重要的不等式,3數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式,3.1數(shù)學(xué)歸納法 3.2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,一、閱讀教材P36P37“數(shù)學(xué)歸納法”的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題： 1數(shù)學(xué)歸納法 (1)數(shù)學(xué)歸納法的概念：設(shè)有一個(gè)關(guān)于正整數(shù)n的命題，若當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí)該命題成立，又在假設(shè)當(dāng)n取第_個(gè)值時(shí)該命題成立后可以推出n取第_個(gè)值時(shí)該命題成立，則該命題對_都成立，這種證明方法叫作數(shù)學(xué)歸納法 (2)數(shù)學(xué)歸納法適用范圍：可用于證明與_有關(guān)的命題,k(kN，kn0),k1,一切自然數(shù)nn0,正整數(shù),2數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟 (1)驗(yàn)證當(dāng)n取_ (如n01或2等)時(shí)命題正確 (2)假設(shè)當(dāng)nk(kN，kn0)時(shí)命題

2、正確，證明當(dāng)_時(shí)命題也正確 在完成了上述兩個(gè)步驟之后，就可以斷定命題對于從n0開始的所有正整數(shù)都正確,第一個(gè)值 n0,nk1,1(1)數(shù)學(xué)歸納法中，n取得的第一個(gè)值n0是否一定是1? (2)如何理解歸納假設(shè)在證明中的作用？ 提示：(1)n0不一定是1，是符合命題的第一個(gè)正整數(shù) (2)歸納假設(shè)在證明中起一個(gè)橋梁的作用，用于聯(lián)系第一個(gè)值n0和后續(xù)的n值所對應(yīng)的情形在歸納遞推的證明中，必須以歸納假設(shè)為基礎(chǔ)進(jìn)行證明，否則，就不是數(shù)學(xué)歸納法,用數(shù)學(xué)歸納法證明“12222n12n1(nN)”的過程如下： (1)當(dāng)n1時(shí)，左邊201，右邊2111，等式成立 (2)假設(shè)nk(k1，且kN)時(shí)，等式成立，即 1

3、2222k12k1，,沒有用到歸納假設(shè),二、閱讀教材P38P39“數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用”的有關(guān)內(nèi)容，完成下列問題： 3貝努利不等式 對任何實(shí)數(shù)x1和任何正整數(shù)n，有(1x)n_.,1nx,2在貝努利不等式中，當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實(shí)數(shù)且x1時(shí)，不等式形式將有何變化？ 提示：當(dāng)指數(shù)n推廣到任意實(shí)數(shù)且x1時(shí)， 若01，則(1x)a1ax.,用數(shù)學(xué)歸納法證明等式,【點(diǎn)評】應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明代數(shù)恒等式的關(guān)鍵是在運(yùn)用歸納假設(shè)，分析p(k)與p(k1)的差異及聯(lián)系，利用拆、添、并、放等手段，從p(k1)中分離出p(k)，再進(jìn)行局部調(diào)整，也可考慮尋求兩者的結(jié)合點(diǎn)，以便順利過渡，利用歸納假設(shè)，經(jīng)過恒等變形，得到結(jié)論需

4、要的形式,用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式,【點(diǎn)評】在用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式問題中，從nk到nk1的過渡中，利用歸納假設(shè)是比較困難的一步它不像用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式問題，只需拼湊出所需要的結(jié)構(gòu)來而證明不等式的第二步中，從nk到nk1，只用拼湊的方法，有時(shí)也行不通因?yàn)閷Σ坏仁絹碚f，它還涉及放縮的問題，它可能需通過放大或縮小的過程，才能利用上歸納假設(shè)因此，我們可以利用比較法、綜合法、分析法等來分析從nk到nk1的變化，從中找到放縮尺度，準(zhǔn)確地拼湊出所需要的結(jié)構(gòu),貝努利不等式的應(yīng)用,【點(diǎn)評】貝努利不等式可把二項(xiàng)式的乘方(1x)n縮小為1nx的形式，這在用數(shù)值估計(jì)和放縮法證明不等式中可發(fā)揮較大的作用,3已知n為

5、正整數(shù)，求證：(1cos x)n(1n)cos x. 證明：因?yàn)閏os x1， 所以由貝努利不等式，得 (1cos x)n1(cos x)n1ncos x. 又1ncos x(1cos x)(1n)cos x (1n)cos x， 所以(1cos x)n(1n)cos x.,用數(shù)學(xué)歸納法解決與正整數(shù)n有關(guān)的探索型問題,【點(diǎn)評】解決該類問題的思路：先通過給n賦一些特殊值，通過對得到的結(jié)果觀察、判斷，猜想出一般性結(jié)論，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明,1數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟缺一不可，第一步中驗(yàn)證n的初始值至關(guān)重要，它是遞推的基礎(chǔ)，但n的初始值不一定是1，而是n的取值范圍內(nèi)的最小值 2第二步證明的關(guān)鍵是運(yùn)用歸納假設(shè)在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí)，應(yīng)分析p(k)與p(k1)的差異與聯(lián)系，利用拆、添、并、放、縮等手段，或從歸納假設(shè)出發(fā)，從p(k1)中分離出p(k)再進(jìn)行局部調(diào)整,3數(shù)列中的不少問題都可用數(shù)學(xué)歸納法予以證明，既可以是恒等式也可以是不等式，有一定的綜合性，其中用不完全歸納法