高中數(shù)學(xué)選修2-2反證法.ppt

1、直接證明與間接證明,反證法,直接證明：,(1)綜合法,(2)分析法,由因?qū)Ч?執(zhí)果索因,古時(shí)候有個(gè)人叫王戎，7歲那年的某一天和小伙伴在路邊玩，看見一棵李子樹上的果實(shí)多得把樹枝都快壓斷了，小伙伴們都跑去摘，只有王戎站著沒動(dòng)。他說(shuō)：“李子是苦的,我不吃。”小伙伴摘來(lái)一嘗，李子果然苦得沒法吃。,路邊苦李,小故事,小伙伴問(wèn)王戎:“這就怪了!你又沒有吃,怎么知道李子是苦的啊?”,王戎說(shuō):“如果李子是甜的,樹長(zhǎng)在路邊,李子早就沒了！李子現(xiàn)在還那么多,所以啊,肯定李子是苦的，不好吃!”,例: 小華睡覺前，地上是干的，早晨起來(lái)，看見地上全濕了。小華對(duì)婷婷說(shuō)：“昨天晚上下雨了?！?您能對(duì)小華的判斷說(shuō)出理由嗎？,

2、如果昨天晚上沒有下雨，那么地上應(yīng)是干的， 這與早晨地上全濕了相矛盾，所以說(shuō)昨晚下 雨是正確的。,定義:,在證明一個(gè)命題時(shí)，人們有時(shí)先假設(shè)命題不成立，從這樣的假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理得出和已知條件矛盾，或者與定義、公理、定理等矛盾，從而得出假設(shè)命題不成立是錯(cuò)誤的，即所求證的命題正確.這種證明方法叫做反證法。,反證法,發(fā)生在身邊的例子:,媽媽:小華,聽說(shuō)鄰居小芳全家這幾天都外出旅游. 小華:不可能,我上午還在學(xué)校碰到了她和她媽媽呢!,上述對(duì)話中,小華要告訴媽媽的命題是什么?,他是如何推斷該命題的正確性的?,小芳全家沒外出旅游.,小芳全家沒外出旅游，假設(shè)小芳全家外出旅游，那么今天不可能碰到小芳，與上午在學(xué)

3、校碰到小芳和她媽媽矛盾，所以假設(shè)不成立，所以小芳全家沒外出旅游,證明：在一個(gè)三角形中至少 有一個(gè)角不小于60.,引例,已知：A， B， C是ABC的內(nèi)角. 求證： A， B， C中至少有一個(gè) 不小于60,已知：A， B， C是ABC的內(nèi)角. 求證： A， B， C中至少有一個(gè) 不小于60,證明：,假設(shè) 的三個(gè)內(nèi)角A，B，C都小于60，, A+B+C180,反證法的一般步驟：,假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假 設(shè)結(jié)論的反面成立；,從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；,(3) 由矛盾判定假設(shè)不正確， 從而肯定命題的結(jié)論正確。,歸繆矛盾： （1）與已知條件矛盾； （2）與已有公理、定理、定義矛盾； （

4、3）自相矛盾。,適宜使用反證法的情況 （1）結(jié)論以否定形式出現(xiàn) （2）結(jié)論以“至多-，” ，“至少-”形式出現(xiàn) （ 3）唯一性、存在性問(wèn)題 （4） 結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易 研究的命題。,常見否定用語(yǔ),是不是 有沒有 等不等 成立不成立 都是不都是，即至少有一個(gè)不是 都有不都有，即至少有一個(gè)沒有 都不是 部分或全部是，即至少有一個(gè)是 唯一 至少有兩個(gè) 至少有一個(gè)有（是）全部沒有（不是） 至少有一個(gè)不全部都,反饋練習(xí),假設(shè)互補(bǔ)的兩個(gè)角都大于90.,假設(shè)ABC中,至少有兩個(gè)鈍角,2、“已知: ABC中,AB=AC.求證:B180.這與三角形內(nèi)角和定理相矛盾.(2)所以B90. (3)假設(shè)B9

5、0.(4)那么,由AB=AC,得B=C90.即B+C180.這四個(gè)步驟正確的順序應(yīng)是( )A.(1)(2)(3)(4)B.(3)(4)(2)(1)C.(3)(4)(1)(2)D.(4)(3)(2)(1),反饋練習(xí),C,例1.用反證法證明： 如果ab0，那么,例2.求證： 是無(wú)理數(shù)。,總結(jié)提煉,1.用反證法證明命題的一般步驟是什么?,用反證法在歸謬中所導(dǎo)出的矛盾可以是與題設(shè)矛盾,與假設(shè)矛盾,與已知定義、公理、定理矛盾，自相矛盾等,反設(shè) 歸謬 結(jié)論,2.用反證法證題,矛盾的主要類型有哪些?,推理,合情推理 演繹推理 （歸納、類比） （三段論）,證明,直接證明 間接證明 （分析法、綜合法） （反證法

6、）,數(shù)學(xué)公理化思想,備選,1、平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，沒有三點(diǎn)共線，求證：以任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn) 的三角形不可能都是銳角三角形,證明：假設(shè)以任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形都是銳角三角形。記四個(gè) 點(diǎn)為A、B、C、D。考慮點(diǎn)D在 之內(nèi)或之外兩種情況。,(1)如果點(diǎn)D在 之內(nèi)，根據(jù)假設(shè)，,都為銳角三角形,所以,這與一個(gè)周角為360矛盾。,演練反饋,1、平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)，沒有三點(diǎn)共線， 證明：以任意三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形不可能都是銳角三角形,(1)如果點(diǎn)D在 之外，根據(jù)假設(shè)，,都是銳角三角形，即,這與四邊形內(nèi)角和矛盾。,所以，綜上所述，假設(shè)不成立，從而題目結(jié)論成立。,即這些三角形不可能都為銳角三角形。,用反證法證明：圓的兩

7、條不是直徑的相交弦不能互相平分。,已知：如圖，在O中，弦AB、CD交于點(diǎn)P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分.,例 1,證明：,假設(shè)弦AB、CD被P平分，,連結(jié) AD、BD、BC、AC,因?yàn)橄褹B、CD被P點(diǎn)平分，所以四邊形ADBC是平行四邊形,所以,因?yàn)?ABCD為圓內(nèi)接四邊形,所以,因此,所以，對(duì)角線AB、CD均為直徑，,這與已知條件矛盾，即假設(shè)不成立,所以，弦AB、CD不被P平分。,用反證法證明：圓的兩條不是直徑的相交弦不能互相平分。,已知：如圖，在O中，弦AB、CD交于點(diǎn)P，且AB、CD不是直徑.求證：弦AB、CD不被P平分.,例 1,由于P點(diǎn)一定不是圓心O，連結(jié)OP

8、，根據(jù)垂徑定理的推論，有,所以，弦AB、CD不被P平分。,證明：,假設(shè)弦AB、CD被P平分，,即過(guò)點(diǎn)P有兩條直線與OP都垂直，,這與垂線性質(zhì)矛盾，即假設(shè)不成立,證法二,OPAB，OPCD，,2. 已知a0，證明x的方程ax=b有且只有一個(gè)根。,備選,【探究2】 已知 a 0 ,關(guān)于 x 的方程 a x = b 有解嗎？,【探究1】將9個(gè)球分別染成紅色或白色 無(wú)論怎樣染色，至少有5個(gè)球 一 定是同色的。正確嗎？,反 證 法,解唯一嗎？,【例1】給定實(shí)數(shù) 設(shè)函數(shù) 求證：經(jīng)過(guò)函數(shù)圖像上任 意兩個(gè)不同點(diǎn)的直線 不平行于x軸。,【方法總結(jié)】 推出矛盾，可通過(guò)特殊 值進(jìn)行說(shuō)明。,例4已知0a3，函數(shù)f(x

9、)x3ax在區(qū)間1，)上是增函數(shù)，設(shè)當(dāng)x01，f(x0)1時(shí)，f(f(x0)x0，求證：f(x0)x0. 分析要求證明存在某個(gè)對(duì)象具有某種特殊性質(zhì)，而我們又無(wú)法具體地指出這個(gè)對(duì)象來(lái)，如本例，此時(shí)應(yīng)考慮用反證法來(lái)解決,證明假設(shè)f(x0)x0，則必有f(x0)x0或f(x0)x01，由f(x)在1，)上為增函數(shù)，則f(f(x0)f(x0)， 又f(f(x0)x0，x0f(x0)，與假設(shè)矛盾， 若x0f(x0)1，則f(x0)f(f(x0)， 又f(f(x0)x0，f(x0)x0也與假設(shè)矛盾 綜上所述，當(dāng)x01，f(x0)1且f(f(x0)x0時(shí)有f(x0)x0.,已知p3q32，求證：pq2. 證明假設(shè)pq2，那么p2q， p3(2q)3812q