差分方程模型.ppt

1、、差分方程模型 、離散模型 、概率模型,指導(dǎo)老師：林道榮 制作人：裘江娜,制作人：裘江娜 02061218z,指導(dǎo)老師：林道榮,差分方程 市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中的蛛網(wǎng)模型,背景,在自由貿(mào)易市場(chǎng)上你注意過這樣的現(xiàn)象嗎： 一個(gè)時(shí)期以來某種消費(fèi)品如豬肉的上市量遠(yuǎn)大 于需求，由于銷售不暢導(dǎo)致價(jià)格下降，生產(chǎn)者 發(fā)現(xiàn)養(yǎng)豬賠錢，于是轉(zhuǎn)而經(jīng)營其他農(nóng)副業(yè)。過一段時(shí)間 豬肉上市量就會(huì)大減，供不應(yīng)求將導(dǎo)致價(jià)格上漲。 生產(chǎn)者看到有利可圖，又重操舊業(yè)，這樣下一個(gè)時(shí)期會(huì)重現(xiàn)供大于求、價(jià)格下降的局面。在沒有外界干預(yù)的情況下，這種現(xiàn)象將如此循環(huán)下去。同樣，蔬菜、水果也有類似的情況。 用流程圖來表示以上循環(huán)過程就是：,消費(fèi)品上市量需求量,

2、銷售不暢,價(jià)格下降,生產(chǎn)量減少,上市量減少,供不應(yīng)求,價(jià)格上漲,在完全自由競(jìng)爭(zhēng)的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中，這種現(xiàn)象通常是不可避免的.因?yàn)樯唐返膬r(jià)格是由消費(fèi)者的需求關(guān)系決定的,商品數(shù)量越多價(jià)格越低.而下一時(shí)期商品的數(shù)量由生產(chǎn)者的供應(yīng)關(guān)系決定,商品價(jià)格越低生產(chǎn)的數(shù)量就越少.這樣的需求和供應(yīng)關(guān)系決定了市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)中商品的價(jià)格和數(shù)量必然是振蕩的.在現(xiàn)實(shí)世界里這樣的振蕩會(huì)出現(xiàn)不同的形式,有的振幅漸小趨向平穩(wěn),有的則振幅越來越大,如果沒有外界如政府的干預(yù),將導(dǎo)致經(jīng)濟(jì)崩潰.,本節(jié)先用圖形法對(duì)上述現(xiàn)象進(jìn)行分析，給出市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)趨于穩(wěn)定的 條件；再用差分方程建模，對(duì)結(jié)果進(jìn)行解釋。,記第k時(shí)段商品的數(shù)量為 ,價(jià)格為 ,k=1、2、 這

3、里我們把時(shí)間離散化為 時(shí)段,1個(gè)時(shí)段相當(dāng)于商品 的1個(gè)生產(chǎn)周期,如蔬菜、 水果是一種種植周期,肉類 是牲畜的飼養(yǎng)周期.,分析,同一時(shí)段商品的價(jià)格取決于數(shù)量 設(shè) 它反映消費(fèi)者對(duì)這種 商品的需求關(guān)系,稱需求函數(shù),下一時(shí)段商品的數(shù)量 由上一時(shí)段價(jià)格 決定，所以設(shè)為 或 ，,圖中，兩條曲線相交于P0 （x0，y0）點(diǎn),商品數(shù)量x1給定后,價(jià)格 由曲線f上的 點(diǎn)決定,P1,x2,P3,P4,下一時(shí)段的數(shù)量 由 曲線g上的 點(diǎn)決定, 又由f上的 點(diǎn)決定,這樣得到一系列的點(diǎn),我們 可以發(fā)現(xiàn),這些點(diǎn)將按箭頭所示方向趨向P0，表明P0是穩(wěn)定的平衡點(diǎn),意味著市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)將趨向穩(wěn)定,則類似的分析發(fā)現(xiàn),市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)將按照 的

4、規(guī)律變化而遠(yuǎn)離 ,即 是不穩(wěn)定的平衡點(diǎn),意味著商品數(shù)量和價(jià)格將出現(xiàn)越來越大的振蕩.,圖1和圖2中折線 形似 蛛網(wǎng),所以這種用需求曲線和供應(yīng)曲線 分析市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定性的圖解法在經(jīng)濟(jì) 學(xué)中稱蛛網(wǎng)模型.,實(shí)際上,需求曲線f和供應(yīng)曲線g的具體 形式通常是根據(jù)各個(gè)時(shí)段商品的數(shù)量 和價(jià)格的一系列統(tǒng)計(jì)資料得到的.一般 地說,f取決與消費(fèi)者對(duì)這種商品的需要 程度和他們的消費(fèi)水平,g則與生產(chǎn)者的生產(chǎn)能力、經(jīng)營水平等因素有關(guān). 比如當(dāng)消費(fèi)者收入增加時(shí),f會(huì)向上移 動(dòng);當(dāng)生產(chǎn)能力提高時(shí),g將向右移動(dòng).,P3,但是在實(shí)際生活中,并不是所有的供需關(guān)系都是趨于 穩(wěn)定的.例如,當(dāng)需求函數(shù)和供應(yīng)函數(shù)由圖2的曲線所示,分析,一旦

5、需求曲線和供應(yīng)曲線被確定下來,商品數(shù) 量和價(jià)格是否趨向穩(wěn)定,就完全由這兩條曲線在平 衡點(diǎn)P0附近的形狀決定。,當(dāng) 時(shí) 點(diǎn)是穩(wěn)定的(圖1),當(dāng) 時(shí) 點(diǎn)是不穩(wěn)定的(圖2),由此可見, 需求曲線越平, 供應(yīng)曲線越陡, 越有利于經(jīng)濟(jì) 穩(wěn)定,為了進(jìn)一步分析這種現(xiàn)象,下面給出蛛網(wǎng) 模型的另一種表達(dá)形式-差分方程,分析圖1和圖2我們可以發(fā)現(xiàn):,在 附近,圖1的f比g平緩, 而圖2的f比g陡峭,記f在 點(diǎn)斜率的絕對(duì)值為 ,g在 點(diǎn)斜率為 ,圖形的直觀 告訴我們：,分析,差分方程模型,因?yàn)樵?點(diǎn)附近曲線f和g的斜率變化不大,為方便計(jì)算可以用直線來近似代替曲線,得以下線性關(guān)系:,容易看出來,當(dāng) 時(shí) 即 點(diǎn)穩(wěn)定的條

6、件是 或 當(dāng) 時(shí) 即 點(diǎn)不穩(wěn)定的條件是 或 其中,建立模型與平衡點(diǎn)穩(wěn)定的條件,模型解釋,表示商品供應(yīng)量減少1個(gè)單位時(shí)價(jià)格的上漲 幅度, 表示價(jià)格上漲1個(gè)單位時(shí)商品供應(yīng)的 增加量.所以 的數(shù)值反映消費(fèi)者對(duì)商品需求 的敏感程度, 的數(shù)值反映生產(chǎn)經(jīng)營者對(duì)商品價(jià) 格的敏感程度.當(dāng)供應(yīng)函數(shù)g即 固定時(shí), 越小, 需求曲線越平,表明消費(fèi)者對(duì)商品需求的敏感程 度越小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定;當(dāng)需求函數(shù)f即 固定 時(shí), 越小,供應(yīng)曲線越陡,表明生產(chǎn)者對(duì)價(jià)格的 敏感程度越小,有利于經(jīng)濟(jì)穩(wěn)定.反之,當(dāng) 較大,表明消費(fèi)者對(duì)商品的需求和生產(chǎn)者對(duì)商品 的價(jià)格都很敏感,則經(jīng)濟(jì)不穩(wěn)定.,概率模型,-報(bào)童的訣竅,指導(dǎo)老師：林道榮,制

7、作人：裘江娜,背景,“啦啦啦，啦啦啦，我是賣報(bào)的小 行家，大風(fēng)大雨去賣報(bào)，一面跑 一面叫，今天的新聞?wù)嬲?，七個(gè) 銅板就買兩份報(bào)”,這首賣報(bào)歌在舊上海幾乎家戶喻曉，耳熟能詳。它從側(cè)面反映了舊上海窮苦人家的孩子， 學(xué)齡時(shí)期，沒有書讀，沒有兒提時(shí)應(yīng)有的幸福，只能去當(dāng)童工。不論刮風(fēng)下雨，都得為 謀生計(jì)而買街叫賣。,提出問題,報(bào)童每天清晨從報(bào)社購進(jìn)報(bào)紙零 售,晚上將沒有賣掉的報(bào)紙退回.如果 報(bào)童每天購進(jìn)的報(bào)紙?zhí)?不夠賣,將 會(huì)少賺錢;如果購進(jìn)的太多,賣不完, 將要賠錢.,那么,報(bào)童應(yīng)該如何確定每天購進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量才能獲得最大的收入?,建模準(zhǔn)備,設(shè)每份報(bào)紙的購進(jìn)價(jià)為b，零售價(jià)為a， 退回價(jià)為c；abc,

8、設(shè)每天報(bào)紙的需求量為R份的概率是 f(r) (r=0,1,2,3.),設(shè)每天購進(jìn)報(bào)紙n份,日平均收入G(n),假定報(bào)童已經(jīng)通過自己的經(jīng)驗(yàn)或其他的渠道掌握了需求量的隨機(jī)規(guī)律,因?yàn)樾枨罅縭是隨機(jī)的,r可以小于n,等于n或大于n,致使報(bào)童每天的收入也是隨機(jī)的,所以作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù),不能是報(bào)童每天的收入,而應(yīng)該是他長(zhǎng)期賣報(bào)的日平均收入,即售出一份賺a-b,退回一份賠b-c,建立模型,若這天的需求量rn，則他把n份全部賣出，但少賺錢， 當(dāng)天收入為： (a-b)nf（r） 所以，我們可以得到,模型為:求n,使G(n)最大,通常需求量R的取值和購進(jìn)量n都相大，將R視為連續(xù)變量更便于分析和計(jì)算，,模型求

9、解,這時(shí)概率f(r) 轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)p(r) 即：,最大購進(jìn)量n應(yīng)滿足此式！,由p(r)確定n的圖解法:,記,取n,使:,模型解釋,a-b售出一份賺的錢 b-c退回一份賠的錢,當(dāng)購進(jìn)n份報(bào)紙時(shí),是需求量r不超過n的概率 即賣不完的概率,是需求量r超過n的概率 即賣完的概率,所以,報(bào)童每天賺錢與賠錢之比越大時(shí), 報(bào)童購進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多!,離散模型,-層次分析模型,指導(dǎo)老師：林道榮,制作人：裘江娜,背景,在日常生活中我們常常會(huì)碰到許多決策問題：如買一件襯衫，要 在棉的、絲的、滌綸的及花的、白的、方格的之中作出抉擇; 請(qǐng)朋友吃飯,要籌劃是辦家宴或去飯店,是吃中餐還是吃西餐或自助 餐;假期旅游,

10、是去風(fēng)光綺麗的蘇杭,還是去迷人的北戴河海濱,或者 去山水甲天下的桂林.,如果以為這些日常小事不必作為決策問題認(rèn)真對(duì)待的話，那么當(dāng)你面臨報(bào)考學(xué)校、挑選專業(yè)、或者選擇工作崗位的時(shí)候，就要慎重考慮、反復(fù)比較，盡可能地作出滿意的決策了,從事各種職業(yè)的人也經(jīng)常面對(duì)決策：如一個(gè)廠長(zhǎng)要決定購買哪種 設(shè)備，上什么產(chǎn)品；科技人員要選擇研究課題；醫(yī)生要為疑難病 癥確定治療方案；經(jīng)理要從若干應(yīng)試者中選拔秘書；各地區(qū)各部 門的官員則要對(duì)人口、交通、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等領(lǐng)域的發(fā)展規(guī)劃作出 抉擇。,人們?cè)谔幚磉@些決策問題的時(shí)候，要考慮的因素有多有少， 有大有小，但是有一個(gè)共同的特點(diǎn)是它們通常都涉及到經(jīng)濟(jì)、 社會(huì)、人文等方面的因素

11、。在作比較、判斷、評(píng)價(jià)、決策時(shí)， 這些因素的重要性、影響力或者優(yōu)先程度往往難于量化，人的 主觀選擇會(huì)起著相當(dāng)主要的作用，這就給用一般的數(shù)學(xué)方法解 決問題帶來本質(zhì)上的困難。,那么，是否有方法將定性分析與定量計(jì)算結(jié)合起來，給出決策結(jié)果呢？,T.L.Saaty等人在20世紀(jì)70 年代提出了一種能有效處理這 樣一類問題的實(shí)用方法，稱為 層次分析法。,由于它在處理復(fù)雜的決策問 題上的實(shí)用性和有效性，很快就 在世界范圍內(nèi)得到普遍的重視和 廣泛的應(yīng)用，三十多年來它的應(yīng) 用已遍及經(jīng)濟(jì)計(jì)劃和管理、能源 政策和分配、行為科學(xué)、軍事指 揮、運(yùn)輸、農(nóng)業(yè)、教育、人才、 醫(yī)療、環(huán)境等等領(lǐng)域。,1、建立層次結(jié)構(gòu)模型 2、構(gòu)

12、造成對(duì)比較陣 3、計(jì)算權(quán)向量 4、一致性檢驗(yàn),本節(jié)課將主要介紹層次分析法的基本步驟,層次分析法的基本思路與人對(duì)一個(gè)復(fù)雜的決策問題的思維、 判斷過程大體上是一樣的。,不妨以旅游問題為例,最后，你要將這兩個(gè)層次的比較判斷進(jìn)行綜合、在P1、P2、P3中確 定哪個(gè)作為最佳地點(diǎn).,選擇旅游地,你會(huì)根據(jù)諸如景色、費(fèi) 用和居住、飲食、旅途條件等一些準(zhǔn)則去反復(fù)比較那3個(gè)候選地點(diǎn),首先，你會(huì)確定這些準(zhǔn)則在你的心目中各占多大比重，如果你經(jīng) 濟(jì)寬綽、醉心旅游，自然特別看重景色條件，而平素儉樸或手頭 拮據(jù)的人則會(huì)優(yōu)先考慮費(fèi)用，中老年旅游者還會(huì)對(duì)居住、飲食條 件等寄以較大關(guān)注.,其次，你就會(huì)每一個(gè)準(zhǔn)則將3個(gè)地點(diǎn)進(jìn)行對(duì)比

13、，譬如P1景色最好， P2次之；P2費(fèi)用最低，P3次之；P3居住條件較好等等.,假如有P1，P2，P33個(gè)旅游勝地供你選擇，,這個(gè)思維過程可以加工整理成以下幾個(gè)步驟： 1、將決策問題分解為3個(gè)層次，,各層次的聯(lián)系用相連的直線表示,2、通過相互比較確定各準(zhǔn)則對(duì)于目標(biāo)的權(quán)重，及各方案對(duì)每一層的權(quán)重.這些權(quán)重在人的思維過程中通常是定性的,而在層次分析法中則要給出得到權(quán)重的定量方法. 3、將方案層對(duì)準(zhǔn)則層的權(quán)重及準(zhǔn)則層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重進(jìn)行綜合最終確定方案層對(duì)目標(biāo)層的權(quán)重.,那么,我們?cè)鯓觼肀容^同一層各因素對(duì)上 一層各因素的影響(或在其中的重要性)呢?,目標(biāo)層,準(zhǔn)則層,方案層,假設(shè)要比較某一層n個(gè)因素C1

14、,C2,Cn 對(duì)上一層因素O的影響,如旅游決策問題 中比較景色等5個(gè)準(zhǔn)則在選擇旅游地這個(gè) 目標(biāo)中的重要性.每次取2個(gè)因素Ci和Cj, 用aij表示Ci和Cj對(duì)O的影響之比,全部比較 結(jié)果用成對(duì)比較矩陣 表示,從A式的特點(diǎn)看,我們也稱它為正互反矩陣,某人用C1,C2,C5依次表示景色、費(fèi)用、 居住、飲食、旅途5個(gè)準(zhǔn)則，得到：,C1 C2 C3 C4 C5,表示景色C1與費(fèi)用C2對(duì)選擇旅游地這個(gè)目標(biāo)O 的重要性之比為1：2,表示景色C1與居住條件C3之比為4：1,但是，為什么費(fèi)用C2與居住條件C3之比是7：1，而不是8：1呢？,Saaty等人給出了在 成對(duì)比較不一致的 情況下計(jì)算各因素 C1，C2，,Cn對(duì) 因素O的權(quán)重的方法,可以看出此人在選擇 旅游地時(shí)，費(fèi)用因素 最重，景色次之，居 住條件再次,首先，我們來考慮成對(duì)比較完全一致的情況： 設(shè)想把一塊單位重量的大石頭O 砸成n塊小石頭C1C2Cn 如果精確的稱出它們的重量為w1,wn,令aij=wi/wj得到:,這些比較顯然是一致的.n塊小石頭 對(duì)大石頭的權(quán)重可用向量 來表示,且,A滿足aij*ajk=aik,i,j,k=1,2,n,稱A 為一致性矩陣,簡(jiǎn)稱一致陣 可以證明n