數(shù)學(xué)建模—概率模型

1、華北水利水電大學(xué)建模培訓(xùn),2014年5月31日,Matlab統(tǒng)計(jì)分析與應(yīng)用,目錄,1,數(shù)據(jù)導(dǎo)入、導(dǎo)出與預(yù)處理,方差分析,參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn),隨機(jī)數(shù)生成,5,數(shù)據(jù)擬合,主成分分析,判別分析,聚類(lèi)分析,1數(shù)據(jù)處理,1.2 調(diào)用高級(jí)函數(shù)導(dǎo)入數(shù)據(jù) importdata(examp02-01.txt),把文件復(fù)制到目錄下，重命名選中文件名 Load函數(shù)適用于全是數(shù)據(jù)的文件，且等長(zhǎng)； 常用的還有dlmread,textread(適合分隔符多樣的情況),1.1 用菜單導(dǎo)入數(shù)據(jù) 對(duì)txt文檔，直接使用fileimport data 例如example 02-01;02-05(長(zhǎng)短不齊),1.3調(diào)用低級(jí)函數(shù)導(dǎo)入

2、數(shù)據(jù) 步驟：按指定格式打開(kāi)文件（fopen），獲取文件標(biāo)識(shí)符(fid)，讀取文件內(nèi)容（fseek,ftell,frewind,feof控制讀寫(xiě)位置，fgets讀取文件的下一行,textscan讀取數(shù)據(jù)等） ，關(guān)閉文件（fclose） 。,1數(shù)據(jù)處理,1.5從excel文件中讀取數(shù)據(jù) num = xlsread(examp02_14.xls, A2:H4),1.4 數(shù)據(jù)寫(xiě)入txt文件 fprintf(fid,%-f %-f %-f %-f %-f %-f %-f %-fn, x);,1.6 數(shù)據(jù)預(yù)處理 1.畫(huà)出散點(diǎn)圖估計(jì)趨勢(shì) 2.剔除奇異點(diǎn) 3.平滑處理（smooth，建議用excel）或?qū)?shù)變

3、換 4.標(biāo)準(zhǔn)化變換，適合于各變量的量綱和數(shù)量級(jí)不一致的時(shí)候。數(shù)據(jù)減去均值，除以標(biāo)準(zhǔn)差（zscore）xz,mu,sigma = zscore(x) 5.極差歸一化變換（rscore ,非matlab自帶）,2隨機(jī)數(shù)生成,1隨機(jī)數(shù) 用于信息安全，網(wǎng)絡(luò)游戲，計(jì)算機(jī)仿真和模擬計(jì)算等。 Rand 0,1 Randn 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài) Randstream 適合于7.7及其以后版本，調(diào)用類(lèi)函數(shù) 統(tǒng)計(jì)工具箱中以rnd結(jié)尾的用來(lái)生成符合某種分布的隨機(jī)數(shù)，如 Normrnd 正態(tài)分布 Binornd二項(xiàng)分布 Exprnd指數(shù)分布等,2 histrate函數(shù)（非自帶） 統(tǒng)計(jì)數(shù)值型數(shù)組，字符串?dāng)?shù)組等各元素出現(xiàn)的頻數(shù)，頻率

4、等，請(qǐng)同學(xué)們檢查是否安裝的有matlab統(tǒng)計(jì)工具箱,2隨機(jī)數(shù)生成,例子：用蒙特卡洛方法求圓周率 圓心在原點(diǎn)的單位圓與外接正方形，相互獨(dú)立的，服從-1,1上的均勻分布，則（，）在正方形內(nèi)服從二元均勻分布，為落在圓內(nèi)的概率， 則（A）=? 還可以用來(lái)求面積，體積，積分值，概率等,3蒙特卡洛方法 這是計(jì)算機(jī)隨機(jī)模擬方法，是一種基于隨機(jī)數(shù)的計(jì)算方法，馮以摩納哥的賭城命名。基本思想：頻率確定概率。,3參數(shù)估計(jì),2正態(tài)總體參數(shù)的檢驗(yàn)(例子05.02) U檢驗(yàn)(標(biāo)準(zhǔn)差已知) ztest 檢驗(yàn)(標(biāo)準(zhǔn)差未知) ttest 均值比較檢驗(yàn)ttest2 卡方檢驗(yàn)（單個(gè)方差）vartest 檢驗(yàn)（兩個(gè)方差） varte

5、st2,1參數(shù)估計(jì) 統(tǒng)計(jì)工具箱中以fit結(jié)尾的函數(shù)，用來(lái)求常見(jiàn)分布的參數(shù)的最大似然估計(jì)和置信區(qū)間估計(jì)。 例子05.01,3擬合與檢驗(yàn),理論上概率統(tǒng)計(jì)都假定變量服從某分布，構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，做出統(tǒng)計(jì)推斷。 但總體到底服從何種分布，你的假定是真的嗎？ 例子examp02_14.xls,描述性統(tǒng)計(jì)(examp05-03) 均值，標(biāo)準(zhǔn)差，最值，極差，中位數(shù)，眾數(shù)， 變異系數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差與平均數(shù)的比值，自己計(jì)算 偏度，分布密度曲線的對(duì)稱性，越接近0，越對(duì)稱 峰度，密度曲線在峰值附近的陡峭性，正態(tài)為3,3擬合與檢驗(yàn),3統(tǒng)計(jì)圖(examp05-03) 箱線圖（判斷對(duì)稱性） 頻率直方圖（最常用） 經(jīng)驗(yàn)分布函數(shù)圖 正態(tài)概

6、率圖（+越集中在參考線附近，越近似正態(tài)分布）,4分布檢驗(yàn) Chi2gof,jbtest,kstest,kstest2,lillietest等 Chi2gof卡方擬合優(yōu)度檢驗(yàn)，檢驗(yàn)樣本是否符合指定分布。它把觀測(cè)數(shù)據(jù)分組，每組包含5個(gè)以上的觀測(cè)值，根據(jù)分組結(jié)果計(jì)算卡方統(tǒng)計(jì)量，當(dāng)樣本夠多時(shí)，該統(tǒng)計(jì)量近似服從卡方分布。 jbtest,利用峰度和偏度檢驗(yàn)。,3擬合與檢驗(yàn),5核密度估計(jì)(example05_04.m) 需要用樣本估計(jì)總體的概率分布函數(shù)，方法有參數(shù)法和非參數(shù)法。參數(shù)法假定總體服從某種已知的分布，估計(jì)參數(shù)。非參數(shù)法不需要做對(duì)總體分布的假設(shè)，核密度估計(jì)就是一種非參數(shù)法。,4方差分析,預(yù)備知識(shí)有關(guān)

7、術(shù)語(yǔ)簡(jiǎn)介 因素或因子：所要檢驗(yàn)的對(duì)象 水平：因子的不同表現(xiàn) 觀察值：在每個(gè)因素水平下得到的樣本值 方差分析能做： 1檢驗(yàn)多個(gè)總體均值是否相等（不同院系的高數(shù)成績(jī)） 2需要研究生產(chǎn)條件或?qū)嶒?yàn)條件的改變對(duì)產(chǎn)品的質(zhì)量或產(chǎn)量有無(wú)影響，比如種植業(yè)研究諸多因素對(duì)因變量的影響（品種、施肥量、密度對(duì)產(chǎn)量）。在諸多影響因素中哪些是主要的？ 3確定最優(yōu)組合,4方差分析,1之所以叫方差分析，是我們雖然關(guān)心的是均值，但在判斷均值是否有差異時(shí)需要借助于方差。這個(gè)名字也表示，它是通過(guò)誤差來(lái)源的分析來(lái)判斷不同總體的均值是否相等。,2 方差分析的基本假定 正態(tài)性方差齊性獨(dú)立抽樣前兩個(gè)條件滿足認(rèn)為方差分析是穩(wěn)健的,3單因素一元

8、方差分析步驟 （ example07_01.m判斷不同院系成績(jī)均值是否相等） 數(shù)據(jù)預(yù)處理 正態(tài)性檢驗(yàn)lillietest （p0.05接受） 方差齊性檢驗(yàn)vartestn （p0.05接受） 方差分析anoval（0有顯著差別） 多重比較：兩兩比較，找出存在顯著差異的學(xué)院，multcompare,4方差分析,方差分析表把數(shù)據(jù)差異分為三部分（或四部分）： 列均值之間的差異引起的變差 列均值之間的差異引起的變差 行列交互作用引起的變差 （隨機(jī)誤差） 后續(xù)可以進(jìn)行多重比較，multcompare，找出哪種組合是最優(yōu)的,4雙因素一元方差分析步驟（如判斷兩種肥料使用量不同對(duì)產(chǎn)量的影響） 數(shù)據(jù)預(yù)處理 正態(tài)

9、性檢驗(yàn)lillietest （p0.05接受） 方差齊性檢驗(yàn)vartestn （p0.05接受） 構(gòu)造觀測(cè)值矩陣，每一列對(duì)應(yīng)因素的一個(gè)水平，每一行對(duì)應(yīng)因素的一個(gè)水平 方差分析anova2得到方差分析表,4方差分析,5多因素一元方差分析anovan 根據(jù)樣本觀測(cè)值向量進(jìn)行均衡或非均衡實(shí)驗(yàn)的多因素一元方差分析，檢驗(yàn)多個(gè)因素的主效應(yīng)或交互效應(yīng)是否顯著，這里往往需要結(jié)合正交實(shí)驗(yàn)進(jìn)行。 6單因素多元方差分析manoval 7非參數(shù)方差分析：當(dāng)數(shù)據(jù)不滿足正態(tài)性和方差齊性假定時(shí)，應(yīng)采用基于秩的非參數(shù)檢驗(yàn)（參看非參數(shù)統(tǒng)計(jì)，王星，人大出版社） 兩種非參數(shù)檢驗(yàn)：kruskal-wallis檢驗(yàn)friedman檢驗(yàn)

10、 函數(shù)名同上：kruskalwallis，friedman 如： example07_07，四個(gè)評(píng)委判斷四個(gè)人做得“水煮魚(yú)”是否品質(zhì)相同,5數(shù)據(jù)擬合,目的：用一個(gè)函數(shù)近似表示變量之間的不確定關(guān)系。 1一元線性回歸分析 做出散點(diǎn)圖，估計(jì)趨勢(shì)；計(jì)算相關(guān)系數(shù)矩陣； regress函數(shù)，可以得到回歸系數(shù)和置信區(qū)間,做殘差分析，剔除異常點(diǎn)，重新做回歸分析 Regstats 多重線性或廣義回歸分析，它帶有交互式圖形用戶界面，可以處理帶有常數(shù)項(xiàng)、線性項(xiàng)、交叉項(xiàng)、平方項(xiàng)等模型 robustfit函數(shù)：穩(wěn)健回歸（加權(quán)最小二乘法）,2一元非線性回歸分析 做出散點(diǎn)圖，估計(jì)趨勢(shì)；定義回歸方程所對(duì)應(yīng)的函數(shù)（冪函數(shù)，對(duì)數(shù)

11、函數(shù)等），調(diào)用nlinfit函數(shù)做回歸方程；再用nlparci函數(shù)計(jì)算參數(shù)估計(jì)的置信區(qū)間；調(diào)用nlpredci函數(shù)求預(yù)測(cè)值,5數(shù)據(jù)擬合,3 曲線擬合工具箱cftool作一元非線性擬合 運(yùn)行cftool,主要功能：data（導(dǎo)入數(shù)據(jù)）,fitting（擬合）,exclude(篩選)，plotting,analysis,4多重回歸分析 一個(gè)變量與諸因素之間的回歸模型。調(diào)用reglm函數(shù)(非自帶)。 Y=a+bx1+cx2+dx3 開(kāi)始并不知道選擇幾個(gè)自變量，可以先設(shè)一個(gè)，再根據(jù)顯著性水平，剔除不顯著的項(xiàng)。,5逐步回歸分析 Stepwise函數(shù)，matlab自帶函數(shù)，輸入函數(shù)名后打開(kāi)交互式圖形用戶界

12、面，,6聚類(lèi)分析,1聚類(lèi)分析簡(jiǎn)介 目的：把分類(lèi)對(duì)象按一定規(guī)則分成若干類(lèi)。 距離：度量樣品間的相似性，明氏距離 蘭氏距離，馬氏距離，斜交空間距離 相似系數(shù)：度量變量之間的相似性 夾角余弦xian，相關(guān)系數(shù)，,2系統(tǒng)聚類(lèi)法 定義距離（樣品之間的距離和類(lèi)與類(lèi)之間的距離），距離最近的兩類(lèi)合并為一類(lèi)，每次減少一類(lèi)，最后形成聚類(lèi)樹(shù)形圖或譜系圖。 類(lèi)與類(lèi)之間的距離的不同定義方式，產(chǎn)生了不同的聚類(lèi)方法。 最短距離法：類(lèi)與類(lèi)之間的距離為兩類(lèi)最近樣品間的距離。 最長(zhǎng)距離法：類(lèi)與類(lèi)之間的距離為兩類(lèi)最遠(yuǎn)樣品間的距離。 中間距離法：類(lèi)與類(lèi)之間的距離采用中間距離。 重心法：類(lèi)與類(lèi)之間的距離為兩類(lèi)重心（類(lèi)均值）的距離。,6

13、聚類(lèi)分析,4模糊均值聚類(lèi)法,3K均值聚類(lèi)法 一、將所有樣品分為個(gè)初始類(lèi)，這個(gè)類(lèi)的重心作為初始凝聚點(diǎn)。 二、每個(gè)樣品歸入離它最近的凝聚點(diǎn)所在的類(lèi)，更新均值 三、重復(fù)二，直到結(jié)束。 注意：初始凝聚點(diǎn)的選擇對(duì)結(jié)果可能有影響 所用函數(shù)：kmeans,silhouette,類(lèi)平均法：樣品對(duì)之間平方距離的平均值，該方法比較好。還有離差平方和法等 Pdist,squareform,linkage,dendrogram,cophenet,inconsistent,cluster,clusterdata, 距離，距離矩陣，創(chuàng)建系統(tǒng)聚類(lèi)樹(shù)，作聚類(lèi)樹(shù)形圖，計(jì)算相關(guān)系數(shù)，計(jì)算不一致系數(shù)， 輸出聚類(lèi)結(jié)果，由數(shù)據(jù)得到聚類(lèi)

14、,6聚類(lèi)分析,4模糊均值聚類(lèi)法 使用模糊數(shù)學(xué)中的隸屬度函數(shù)來(lái)確定分類(lèi) Matlab模糊邏輯工具箱fuzzy logic toolbox 提供了函數(shù)：fcm 不同聚類(lèi)分析方法的結(jié)果不一定一致。需要測(cè)試集，可參考其它論文 系統(tǒng)聚類(lèi)法的評(píng)價(jià)： 單調(diào)性：距離單增 空間的濃縮與擴(kuò)張 類(lèi)平均法比較好,7判別分析,1判別分析簡(jiǎn)介 對(duì)未知類(lèi)別的樣品進(jìn)行歸類(lèi)的一種方法。聚類(lèi)分析是對(duì)還沒(méi)有分類(lèi)的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)。判別分析是對(duì)已經(jīng)有了分類(lèi)，需要建立判別準(zhǔn)則，判別未知類(lèi)別的樣品所屬的類(lèi)型。如考古，醫(yī)學(xué)判斷，文字識(shí)別等。,2距離判別法 這里的思想和前面的聚類(lèi)分析是類(lèi)似的，根據(jù)樣品到各個(gè)類(lèi)的距離(比如用馬氏距離)判斷其所屬的

15、類(lèi)。,3貝葉斯判別法 距離判別沒(méi)有考慮人們對(duì)研究對(duì)象已有的認(rèn)識(shí)，而這種認(rèn)識(shí)可能對(duì)判別結(jié)果產(chǎn)生影響。貝葉斯判斷用一個(gè)先驗(yàn)概率來(lái)描述這種認(rèn)識(shí)，然后用樣本來(lái)修正先驗(yàn)概率，得到后驗(yàn)概率，最后基于后驗(yàn)概率進(jìn)行判別。 距離判別法和先驗(yàn)分布為正態(tài)分布的貝葉斯判別法都可以用統(tǒng)計(jì)工具箱中的classify函數(shù)，對(duì)未知類(lèi)別的樣品進(jìn)行判斷。,7判別分析,4 Fisher判別法 Fisher判別的基本思想是投影，將組維數(shù)據(jù)投影到某個(gè)方向，使得它們投影組與組之間盡可能地分開(kāi)。 工具箱中沒(méi)有，有編好的函數(shù)fisher.m，程序有205行，如果你能看懂，對(duì)你的編程能力大有好處,8主成分分析,通過(guò)降維技術(shù)把多個(gè)變量化為少數(shù)幾

16、個(gè)主成分的多元統(tǒng)計(jì)方法。這些主成分能夠反映原始變量的大部分信息，通常表示為原始變量的線性組合，為使信息互不重疊，要求各主成分之間互不相關(guān)。易于抓住主要矛盾，簡(jiǎn)化問(wèn)題。,1主成分分析 幾何意義：通過(guò)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，使得新坐標(biāo)系的各個(gè)坐標(biāo)軸方向是原始數(shù)據(jù)變差最大的方向，各主成分表達(dá)式就是新舊坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系式 （幾何直觀：一三象限的一個(gè)橢圓內(nèi)部密集分布的點(diǎn)） 樣本主成分分析步驟：構(gòu)造樣本觀測(cè)值矩陣，計(jì)算樣本協(xié)方差矩陣和樣本相關(guān)系數(shù)矩陣；從樣本協(xié)方差矩陣出發(fā)求解主成分；（也可以由樣本相關(guān)系數(shù)矩陣出發(fā)求解主成分）；由主成分重建原始數(shù)據(jù) 注：由于特征值對(duì)應(yīng)的特征向量不唯一，故主成分的表達(dá)式也不唯一，不過(guò)這對(duì)后續(xù)分析沒(méi)有太大影響,8主成分分析,2相關(guān)的matlab函數(shù) Pcacov根據(jù)協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣進(jìn)行主成分分析，需先計(jì)算協(xié)方差矩陣或相關(guān)系數(shù)矩陣 Princomp根據(jù)樣本觀測(cè)值進(jìn)行主成分分析 Pcares重建數(shù)據(jù)，并求出殘差；pcares調(diào)用了princomp函數(shù)，不會(huì)自動(dòng)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化變換，可用zscore函