高一數(shù)學(xué)平面解析幾何.ppt

1、,第十單元 平面解析幾何,第一節(jié) 直線與方程,基礎(chǔ)梳理,1. 直線的傾斜角與斜率 （1）直線的傾斜角 定義：當(dāng)直線 與x軸相交時，我們?nèi)軸作為基準(zhǔn)，x軸正向與直線 向上方向之間所成的角叫做直線 的傾斜角.當(dāng)直線 與x軸平行或重合時，規(guī)定它的傾斜角為0. 傾斜角的范圍為0180. (2)直線的斜率 定義 一條直線的傾斜角的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k=tan ,傾斜角是90的直線斜率不存在. 過兩點的直線的斜率公式 經(jīng)過兩點 (其中 )的直線的斜率公式為,2. 直線方程的五種形式,典例分析,題型一 直線的傾斜角和斜率,【例1】直線xcos+ y+2=0的傾斜角的范圍是

2、 ( ) A. B. C. D.,分析 先求斜率的取值范圍，再求傾斜角的取值范圍.,解 由直線xcos+ y+2=0, 所以直線的斜率為k= 設(shè)直線的傾斜角為,則tan=,又 即 所以 .,學(xué)后反思 求傾斜角范圍的步驟是： （1）求出斜率的取值范圍； （2）利用正切函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖象，確定傾斜角的取值范圍.,舉一反三,直線xcos+y-1=0(R)的傾斜角的范圍是 ( ) A. 0,) B C. D,解析 設(shè)傾斜角為,則k=tan=-cos. R,-1-cos1,-1tan1， .,答案 D,題型二 求直線的方程,【例2】求下列直線 的方程. （1）過點A(0,2),它的傾斜角的正弦是 ;

3、 (2)過點A(2,1),它的傾斜角是直線 ：3x+4y+10=0的傾斜角的一半.,分析 由已知條件求出直線的斜率，然后用適當(dāng)形式寫出直線的方程.,解 （1）設(shè)直線 的傾斜角為,則sin= ， 所以tan= ,故 的方程為y= x+2， 即3x-4y+8=0或3x+4y-8=0. (2)設(shè)直線 和 的傾斜角分別為、，則 , 又tan=- ,故- =tan2= ， 解得tan=3或tan=- (舍去). 由點斜式，得y-1=3(x-2),即3x-y-5=0.,學(xué)后反思 求直線方程首先要根據(jù)已知條件選擇合適的方程形式，同時注意各種形式的適用條件.用斜截式或點斜式時，直線的斜率必須存在，而兩點式不能

4、表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過原點的直線等.,舉一反三,2. 直線 過點(-3,4),且在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12,求直線 的方程.,解析 由于直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為12，因此直線 在兩軸上的截距都存在且不過原點，故可設(shè)為截距式直線方程. 設(shè)直線 的方程為 ,則a+b=12. 又直線 過點(-3,4),則 . a=9, a=-4, 由、解得 或 b=3 b=16. 故所求的直線方程為 或 , 即x+3y-9=0或4x-y+16=0.,題型三 與直線方程有關(guān)的最值問題,【例3】直線 過點M(2,1),且分別與x、y軸交于A、B兩點，O為原點.求當(dāng)AOB面積最小時

5、，直線 的方程.,分析 先根據(jù)題意，用點斜式設(shè)出直線的方程，然后求方程中的參數(shù)，從而求出直線的方程.,解 方法一：如圖所示，直線 如果 通過一、二、三或一、三、四象限時， AOB的面積不存在最值，因此只考慮 直線 與x,y軸正方向相交的情況，這時 斜率必為負(fù)值. 設(shè)直線 的方程為y-1=k(x-2)（k0）,則有A(2- ,0)與B(0,1-2k)， 所以 當(dāng)且僅當(dāng) ,即k=- 時，等號成立. 故直線 的方程為y-1=- (x-2),即x+2y-4=0.,方法二：設(shè)過P（2，1）的直線為 (a0,b0), 則 . 由基本不等式得 ,即ab8, ,當(dāng)且僅當(dāng) ,即a=4,b=2時，等號成立. 故直

6、線方程為 ,即x+2y-4=0.,學(xué)后反思 (1)對直線 的大致位置分析，界定了斜率的存在性及其范圍，指明了解題方向，這種分析是避免解題盲目性的重要技能. （2）本題將面積表示為k的函數(shù)，再用基本不等式求最小值，方程選擇不同，自然參數(shù)不同，但是求最值的方法首先考慮基本不等式，然后是函數(shù)單調(diào)性、換元等方法.,舉一反三,3. 已知直線 過點P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于A、B兩點，如圖所示，求ABO的面積的最小值及此時直線 的方程.,解析 方法一：設(shè)A(a,0),B(0,b)(a0,b0),則直 線 的方程為 過點P(3,2), ,且a3. 從而 ,故有 當(dāng)且僅當(dāng) ,即a=6時,等號

7、成立. ,此時 . 故直線 的方程為 ,即2x+3y-12=0.,方法二：依題意知，直線 的斜率存在. 設(shè)直線 的方程為y-2=k(x-3)(k0), 則有A（3- ,0）,B(0,2-3k), 當(dāng)且僅當(dāng)-9k= 時，即k=- 時，等號成立， . 故所求直線的方程為2x+3y-12=0.,方法三：如圖所示，過P分別作x軸，y軸的垂線PM,PN,垂足分別為M,N. 設(shè)=PAM=BPN,則,當(dāng)且僅當(dāng) ，即tan= 時, , 此時直線 的斜率為- ，其方程為2x+3y-12=0.,題型四 應(yīng)用問題,【例4】(12分)為了綠化城市，擬在區(qū)域ABCD內(nèi)建一個草坪（如圖），另外EFA內(nèi)部有一文物保護區(qū)不能

8、占用，經(jīng)測量AB=100 m,BC=80 m,AE=30 m,AF=20 m,應(yīng)如何設(shè)計才能使草坪面積最大？,分析 欲使草坪面積最大，點P的位置選取是關(guān)鍵，因此，應(yīng)考慮建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求出線段EF所在直線的方程，再設(shè)出點P的坐標(biāo)，做為解題的切入點.,解 如圖所示建立直角坐標(biāo)系，則E(30,0),F(0,20),2 所以線段EF的方程為 (0 x30)4 在線段EF上取點P(m,n), 作PQBC于點Q，PRCD于點R,設(shè)矩形PQCR的面積為S，則 S=PQPR=(100-m)(80-n).6 又 . 9 所以當(dāng)m=5時，S有最大值，這時 .10 所以當(dāng)草坪矩形的兩邊在BC、CD上，一個頂點在

9、線段EF上，且這個頂點分EF成51時，草坪面積最大.12,學(xué)后反思 本題是一道用地規(guī)劃的實際問題，應(yīng)把問題化歸為在線段EF上找一點，使長方形PQCR面積最大的數(shù)學(xué)問題，這樣，就需要建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示點，用方程表示曲線，從而把問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，利用代數(shù)方法使問題得到解決.,舉一反三,4. 美麗的呼倫貝爾大草原的一條公路旁邊，在某鎮(zhèn)北偏西60且距該鎮(zhèn)30 km處有A村，在鎮(zhèn)東北50 km處有B村，要在公路旁修一車站C,從車站C向A、B兩村修公路，問：車站C修在公路的什么地方，可使費用最?。浚ńY(jié)果保留1位小數(shù)）,解析 以公路為x軸，該鎮(zhèn)為原點建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示， 則A、B兩點坐標(biāo)

10、分別為A(-15 ,15),B(25 ,25 ),作A點關(guān)于x軸的 對稱點A(-15 ,-15),連接AB交x軸于C.x軸是線段AA垂直平 分線，|CA|=|CA|, |CA|+|CB|=|CA|+|CB|=|AB|最短.,由兩點式,得 令y=0,得 , 車站應(yīng)修在距該鎮(zhèn)的正西方約7.7 km處.,易錯警示,【例】已知直線 過點P(1,2)且與以A(-2,-3),B(3,0)為端點的線段相交，求直線 的斜率的取值范圍.,錯解 設(shè)PA與PB的傾斜角分別為, 則 所以直線 的斜率k的取值范圍為-1k .,錯解 分析不清楚傾斜角和斜率的關(guān)系，尤其是忽略了當(dāng)傾斜角為90時，斜率不存在這種情況.,正解

11、設(shè)PA與PB的傾斜角分別為, 則 當(dāng)直線 由PA變化到與y軸平行的位置時，它的傾斜角由增至90， 故斜率的取值范圍為 ,+)；,當(dāng)直線 由與y軸平行的位置變化到PB的位置時，它的傾斜角由90增至 ,此時斜率的取值范圍為（-,-1. 綜上，斜率的取值范圍為（-,-1 ,+).,考點演練,10.（2009廣東湛江）曲線y= -2x+4在（1，3）處的切線的傾斜角為.,解析 y=3 -2,曲線在（1，3）處的切線斜率為 ,設(shè)傾 斜角為，且0180,=45.,答案 45,11. 一條直線經(jīng)過點A(-2,2),并且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為1，求此直線的方程.,解析 設(shè)所求直線的方程為 . A(-2

12、,2)在直線上， ， 又直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為1， ab=1. a-b=1, a-b=-1, 由可得，（1） 或（2） ab=2， ab=-2. a=2， a=-1， 由(1)解得 或 方程組（2）無解. b=1 b=-2， 故所求的直線方程為 或 , 即x+2y-2=0或2x+y+2=0為所求直線的方程.,12. 設(shè)直線 的方程為（a+1）x+y+2-a=0(aR). (1)若 在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求 的方程； （2）若 不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍.,解析 (1)當(dāng)直線過原點時，該直線在x軸和y軸上的截距為零，當(dāng)然相等,a=2,即方程為3x+y=0. 當(dāng)直線不過原點時，又截

13、距存在且相等，則截距均不為0， ,即a+1=1,a=0,即方程為x+y+2=0. (2)方法一：將 的方程化為y=-(a+1)x+a-2, -(a+1)0, -(a+1)=0, 或 a-20 a-20， a-1. 綜上可知，a的取值范圍是a-1. 方法二：將 的方程化為（x+y+2）+a(x-1)=0(aR). 它表示過 :x+y+2=0與 :x-1=0的交點（1，-3）的直線系（不包括x=1).由圖象可知 的斜率為-(a+1)0,即當(dāng)a-1時，直線 不經(jīng)過第二象限.,第二節(jié) 直線的位置關(guān)系,基礎(chǔ)梳理,1. 兩條直線平行與垂直的判定 （1）兩條直線平行 對于兩條不重合的直線 ，其斜率分別為 ，

14、則有 特別地，當(dāng)直線 的斜率都不存在時， 與 的關(guān)系為平行. (2)兩條直線垂直 如果兩條直線 的斜率存在，分別設(shè)為 ,則 一般地，若直線 ( 不全為0)， 直線 ( 不全為0)，則 且,與 重合 且,2. 三種距離 （1）兩點間的距離 平面上的兩點 間的距離公式 特別地，原點O（0,0)與任一點P(x,y)的距離OP= (2)點到直線的距離 點 到直線 :Ax+By+C=0的距離 (3)兩條平行線的距離 兩條平行線Ax+By+ =0與Ax+By+ =0間的距離,典例分析,題型一 兩條直線位置關(guān)系的判定和應(yīng)用,【例1】已知直線 :ax+2y+6=0和直線 :x+(a-1)y+ -1=0. (1

15、)試判斷 與 是否平行； （2）當(dāng) 時，求a的值.,分析 可以把直線化成斜截式，運用斜率或截距的數(shù)量關(guān)系來判斷求解，但由于直線的斜率可能不存在，就必須進行分類討論；也可以運用一般式方程中的系數(shù)關(guān)系來判斷或求解，這樣可以避免討論.,解 （1）方法一：當(dāng)a=1時， :x+2y+6=0, :x=0, 不平行于 ; 當(dāng)a=0時， :y=-3, :x-y-1=0, 不平行于 ; 當(dāng)a1且a0時，兩直線可化為 解得a=-1, 綜上可知,當(dāng)a=-1時, ,否則 與 不平行.,方法二：由 ,得a(a-1)-12=0, 由 0,得a( -1)-160, a(a-1)-12=0， -a-2=0， a=-1 a(

16、-1)-160 a( -1)6,故當(dāng)a=-1時， ，否則 與 不平行.,（2）方法一：當(dāng)a=1時, :x+2y+6=0, :x=0, 與 不垂直，故a=1不成立. 當(dāng)a1時， 由 方法二：由 ,得 a+2(a-1)=0,學(xué)后反思 (1)直線 : ,直線 , “ ”的前提條件是 , 的斜率都存在，若不能確定 斜率的存在性，應(yīng)對其進行分類討論：,當(dāng) , 中有一條存在斜率，而另一條不存在斜率時， 與 不平行； 當(dāng) , 的斜率都不存在（ 與 不重合）時, ;當(dāng) , 均有斜 率且 時， .為避免分類討論，可采用直線方程的一 般式，利用一般式方程中的“系數(shù)關(guān)系”的形式來判斷兩直線是否平行， 如本例方法二.

17、 （2）當(dāng) 時，可分斜率不存在與斜率存在，斜率存在時,有 ，如果利用 可避免分類討論.,舉一反三,1. 已知直線ax+3y+1=0與x+(a-2)y+a=0平行，求a的值.,解析 由a(2a-1)-a=0,得a=1或a=0. 當(dāng)a=1時，兩方程為x-y+2=0與x+y+1=0，互相垂直； 當(dāng)a=0時，兩方程為y=0與x=0，互相垂直. 所以a=1或a=0即為所求.,解析 當(dāng)a-2=0或a=0時兩直線顯然不平行； 當(dāng)a-20且a0時，由 ,得a=-1或a=3. 若a=-1,則 成立,故a=-1（舍去）,則a=3.,2. 已知直線ax-y+2a=0與（2a-1）x+ay+a=0互相垂直，求a的值.

18、,題型二 距離問題,【例2】求過點A(-1,2),且與原點的距離等于 的直線方程.,分析 設(shè)出所求直線的點斜式方程，運用待定系數(shù)法求直線的方程，但必須要注意斜率是否存在這個問題.,解 過點A(-1,2)且垂直于x軸的直線不滿足題意， 設(shè)過點A(-1,2)的直線點斜式方程為y-2=k(x+1), 即kx-y+k+2=0. 原點到直線的距離等于 ,d= 解得k=-1或k=-7, 即所求直線方程為x+y-1=0或7x+y+5=0.,學(xué)后反思 （1）直線的點斜式方程不能代表垂直于x軸的直線，故要進行討論. （2）使用點到直線的距離公式時，必須把直線方程化為一般式.,舉一反三,3. 與直線2x+3y+5

19、=0平行，且距離等于 的直線方程是.,答案 2x+3y+18=0或2x+3y-8=0,解析 所求直線 與直線 :2x+3y+5=0平行， 可設(shè) ：2x+3y+C=0,由 與 距離為 ，得 ,解得C=18或C=-8, 所求直線 的方程為2x+3y+18=0或2x+3y-8=0.,題型三 交點及直線系問題,【例3】求經(jīng)過直線 :3x+2y-1=0和 :5x+2y+1=0的交點且垂直于直線 :3x-5y+6=0的直線 的方程.,分析 本題可以先求交點坐標(biāo)，然后由直線間位置關(guān)系求解，也可以先設(shè)出直線系方程，后代入點具體求解.,3x+2y-1=0, 解 方法一：由 得 , 的交點P(-1,2). 5x+

20、2y+1=0, 又 的斜率 的斜率k=- , :y-2=- (x+1),即5x+3y-1=0. 方法二：由 ,可設(shè) :5x+3y+C=0. , 的交點可以求得為P(-1,2). 5(-1)+32+C=0,C=-1, :5x+3y-1=0.,方法三： 過 , 的交點， 故設(shè) :3x+2y-1+(5x+2y+1)=0， 即（3+5）x+(2+2)y+(-1+)=0， ,解得= ,代入上式整理得 :5x+3y-1=0.,學(xué)后反思 三種解法都能比較迅捷地解決問題，但方法一、方法二都是在兩直線的斜率存在的前提下進行的，如果其中含有字母參數(shù)之類的，則要進行分類討論；運用直線系方程時，則必須對直線系中不包含

21、的直線進行檢驗.因此，本題的三種解法應(yīng)該是各有優(yōu)缺點.,舉一反三,4. 已知兩直線 :x+2=0, :4x+3y+5=0,定點A(-1,-2),求過 , 的交點 且與點A的距離等于1的直線 .,解析 方法一： , 的交點為（-2，1）. 若直線 斜率存在，設(shè)所求的直線方程為y-1=k(x+2), 即kx-y+2k+1=0. 所求直線 與點A(-1,-2)的距離為1, ,得k=- ,代入,得 所求直線 的方程為4x+3y+5=0. 若直線 斜率不存在，即判斷過點（-2，1）且與y軸平行的直線x=-2是否 符合所求直線 的條件. 點A（-1，-2）到直線x=-2的距離為1， 直線x=-2，即x+2

22、=0也符合直線 的要求， 故所求直線 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.,方法二： , 的交點為（-2，1）， 過 , 交點的直線系方程是（x+2）+(4x+3y+5)=0, 是參數(shù)，化簡得(1+4)x+3y+(2+5)=0， 由 ,得=0. 代入方程，得x+2=0. 又直線系方程中不包含 , 應(yīng)檢驗 是否也符合所求 的條件. 點（-1，-2）到 的距離為 也符合要求， 故所求直線 的方程是x+2=0和4x+3y+5=0.,題型四 對稱問題,【例4】(12分)光線沿直線 :x-2y+5=0射入，遇直線 :3x-2y+7=0后反 射，求反射光線所在的直線方程.,分析 本題用光學(xué)原理得入射光

23、線與反射光線所在的直線關(guān)于直線 對稱，用對稱點方法求出入射光線上一點P關(guān)于 的對稱點，再由兩點式寫出方程.,3x-2y+7=0, x=-1, 解 方法一：由 得 x-2y+5=0, y=2, 即反射點M的坐標(biāo)為(-1,2).2 又取直線x-2y+5=0上一點P（-5，0），設(shè)點P關(guān)于直線 的對稱點為 由PP ,可知 . 4 而PP的中點Q的坐標(biāo)為,又Q點在 上， 聯(lián)立 解得,即P點坐標(biāo)為 .10 反射光線過M(-1,2)和P 根據(jù)直線的兩點式方程,可得 反射光線所在的方程為29x-2y+33=0.12,方法二：設(shè)直線x-2y+5=0上任意一點 關(guān)于直線 的對稱點 P(x,y),則 3 又PP的

24、中點 在 上，, ,6 由 .9 代入方程x-2y+5=0中，化簡得29x-2y+33=0, 即所求反射光線所在直線方程為29x-2y+33=0.12,學(xué)后反思 比較兩種解法可知，對于直線的對稱問題，都是轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱或點關(guān)于點的對稱問題來解決的.其中，方法一通過求點關(guān)于直線的對稱點坐標(biāo)，用兩點式方程求解；方法二則利用了軌跡思想求對稱直線的方程，是求解曲線關(guān)于直線對稱問題的通法.,舉一反三,5. 已知A(7,-4)關(guān)于直線 的對稱點為B（-5，6），則直線 的方程是 ( ) A. 5x+6y-11=0 B. 6x-5y-1=0 C. 6x+5y-11=0 D. 5x-6y+1=0,解析

25、 AB的中點（1，1）在直線 上, 又 ,即所求直線的斜率k= , 所求直線 的方程為y-1= (x-1),即6x-5y-1=0.,答案 B,易錯警示,【例】已知一直線 經(jīng)過點P(1,2)且與點A(2,3)和B（0，-5）距離相等，求此直線的方程.,錯解 方法一：設(shè)所求直線方程為y-2=k(x-1), 即kx-y-k+2=0， ,即k-1=k-7， 解得k=4，所求直線方程為4x-y-2=0. 方法二：由已知 AB,又 :y-2=4(x-1)，即4x-y-2=0.,錯解分析 方法一中忽視了斜率可能不存在的情況，方法二中忽視 了 可以過AB中點的情況.,正解 方法一：當(dāng) 斜率不存在時，直線方程為

26、x=1,滿足條件. 當(dāng)斜率存在時，解法同錯解中“方法一”. 方法二：當(dāng) 過AB中點時，直線方程為x=1. 當(dāng) AB時，解法同錯解中“方法二”. 綜上,直線 的方程為x=1或4x-y-2=0.,考點演練,10. (2009青島模擬）平行四邊形兩鄰邊方程是x+y+1=0和3x-y+4=0,對 角線交點為（3，3），則另兩邊的方程為和 .,解析 方法一：所求直線與已知直線關(guān)于（3，3）中心對稱，故方程為 （6-x）+(6-y)+1=0和3(6-x)-(6-y)+4=0,即x+y-13=0和3x-y-16=0.,方法二：所求直線與已知直線分別平行，且過已知兩直線的交點關(guān)于（3，3）的對稱點.設(shè) :x

27、+y+ =0, :3x-y+ =0.兩已知直線的交點坐 x+y+1=0, x= 標(biāo)滿足 解得 3x-y+4=0, y= 即 ,它關(guān)于（3，3）的對稱點為 將 代入 , ，解得 =-13, =-16. 所以所求直線 :x+y-13=0, :3x-y-16=0.,答案 x+y-13=03x-y-16=0,11. 已知正方形的中心為直線2x-y+2=0與x+y+1=0的交點，正方形一邊所 在的直線方程為x+3y-5=0,求正方形的其他三邊所在的直線方程.,解析 設(shè)與直線 :x+3y-5=0平行的邊所在的直線方程為 :x+3y+c=0. 2x-y+2=0， 由 得正方形的中心坐標(biāo)P(-1,0), x+

28、y+1=0 由點P到兩直線 , 的距離相等，得 , 解得c=-5或c=7(-5不合題意，舍去)， :x+3y+7=0. 又正方形另兩邊所在直線與 垂直， 設(shè)另兩邊方程為3x-y+a=0,3x-y+b=0. 正方形中心到四條邊的距離相等， ，解得a=9或a=-3, 正方形的其他兩條邊所在的直線方程為 3x-y+9=0,3x-y-3=0. 正方形的其他三邊所在的直線方程為 3x-y+9=0,x+3y+7=0,3x-y-3=0.,12. 光線從A(-3,4)點射出，到x軸上的B點后，被x軸反射到y(tǒng)軸上的C點，又被y軸反射，這時反射線恰好過點D（-1，6），求BC所在直線的方程.,解析 方法一：如圖所

29、示，依題意，B點在原點O左側(cè)，設(shè)其坐標(biāo)為（a,0）,由反射角等于入射角，得1=2,3=4, 又 ,即BC所在直線方程為 y= (x-a),所以C點坐標(biāo)為 又 ,解得a=- , 代入BC的方程,得5x-2y+7=0.,方法二：A關(guān)于x軸的對稱點A(-3,-4), D關(guān)于y軸的對稱點D(1,6), 由光學(xué)知識知,A、B、C、D四點共線，且 則BC所在的直線方程為5x-2y+7=0.,第三節(jié) 圓的方程,基礎(chǔ)梳理,1. 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 （1）方程 表示圓心為(a,b),半徑為 r 的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; （2）特別地，以原點為圓心，半徑為r(r0)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 2. 圓的一般方程 方程 +Dx+Ey+

30、F=0可變形為 （1）當(dāng) 時，方程表示以 為圓心，以 為半徑的圓;,（2）當(dāng) =0時，方程表示一個點 ; (3)當(dāng) 0時，方程不表示任何圖形.,3. 與圓 的位置關(guān)系 （1）若 ，則點P在圓外； （2）若 ，則點P在圓上； （3）若 ，則點P在圓內(nèi). 4. 求圓的方程的方法和步驟 確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，大致步驟為： （1）根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； （2）根據(jù)條件列出關(guān)于a,b,r或D，E，F(xiàn)的方程組； （3）解出a，b，r或D，E，F(xiàn)，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.,典例分析,題型一 求圓的方程,【例1】求過兩點A(1,4)、B（3，2）且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并判

31、斷點P(2,4)與圓的關(guān)系.,分析 欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)和圓的半徑的大小，而要判斷點P與圓的位置關(guān)系，只需看點P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距離小于半徑，則點在圓內(nèi).,解 方法一:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 . 圓心在y=0上，b=0， 圓的方程為 又該圓過A(1,4)、B(3,2)兩點， 解得 故所求圓的方程為,方法二：設(shè)圓的一般方程為 +Dx+Ey+F=0,因為圓心在x軸上， 則- =0,即E=0. 又該圓過A（1,4）和B（3,2），所以 D+17+F=0, D=2, 解得 E=0, 3D+13+F=0, F=-19. 所

32、以圓的方程為 +2x-19=0.,方法三:圓過A(1,4)、B(3,2)兩點， 圓心C必在線段AB的垂直平分線l上， 又 , 的斜率為1. 又AB的中點為（2，3）， 故AB的垂直平分線 的方程為y-3=x-2, 即x-y+1=0.,又知圓心在直線y=0上，圓心坐標(biāo)為C(-1,0). 半徑r=AC= 即所求圓的方程為 又點P(2,4)到圓心C(-1,0)的距離為 d=PC= =5r， 所以點P在圓外.,學(xué)后反思 （1）本題方法一與方法二都使用了待定系數(shù)法，其中方法一設(shè)了圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，方法二設(shè)了圓的一般方程，都是結(jié)合條件來求所設(shè)方程中的待定系數(shù)；方法三則應(yīng)用了平面幾何知識：圓心與弦的中點的連線與

33、弦垂直.一般而言，在解析幾何問題中，用上平面幾何知識，會使解題變得相對簡單. (2)無論哪種解法，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關(guān)鍵的量，然后根據(jù)圓心與定點之間的距離和半徑的大小關(guān)系來判定點與圓的位置關(guān)系.,舉一反三,1. 求經(jīng)過點A(5,2),B(3,2),圓心在直線2x-y-3=0上的圓的方程.,解析 圓經(jīng)過點A(5,2),B(3,2),圓心在x=4上，又圓心在2x-y- 3=0上，圓心為（4，5），可設(shè)圓的方程為 ,又 圓過B(3,2)，即 , ， 圓的方程為,題型二 與圓有關(guān)的參數(shù)問題,【例2】(2009威海模擬）已知圓的方程為 ,要使過定點A（1，2）的圓的切線有兩條.求a的取值范圍

34、.,分析 (1)若方程表示圓，則 0,即 (2)由定點A的切線有兩條，則點A一定在圓外.,解 若 表示圓，則應(yīng)滿足 ,即4-3 0, 又點A應(yīng)在圓外，則 即 +a+90, 由得 故a的取值范圍是,學(xué)后反思 (1)一般地，方程表示圓隱含著條件 0.此點易被忽視. (2)若點 在圓 +Dx+Ey+F=0外，則,舉一反三,2. 已知圓的方程 ,要使圓的半徑不大于 且過定點 A（1，2）的圓的切線有兩條，求a的取值范圍.,解析 圓的方程可化為 . 由已知 即 解得 a-1或1a , 所以a的取值范圍為( ,-11, ).,題型三 與圓有關(guān)的最值問題,【例3】已知實數(shù)x、y滿足方程 -4x+1=0. (

35、1)求 的最大值和最小值； （2）求y-x的最大值和最小值； （3）求 的最大值和最小值.,分析 根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，借助于平面幾何知識，數(shù)形結(jié)合求解.,解 原方程可化為 ,表示以（2，0）為圓心， 為半徑的圓. (1) 的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，所以設(shè) =k,即y=kx. 當(dāng)直線y=kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時 ,解得k= ，如圖1，所以 的最大值為 ,最小值為- .,(2)y-x可看作是直線y=x+b在y軸上的截距，當(dāng)直線y=x+b與圓相切時，縱 截距b取得最大值或最小值，此時 ,解得b=-2 .如圖2，所 以y-x的最大值為-2+ ，最小值為-2- . (3

36、) 表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點 與圓心的連線和圓的兩個交點處取得最大值和最小值，如圖3. 又圓心到的原點的距離為 所以， 的最大值為 的最小值為,學(xué)后反思 （1）本例中利用圖形的直觀性，使代數(shù)問題得到非常簡捷的解決，這是數(shù)形巧妙結(jié)合的好處. （2）本例的解題關(guān)鍵在于抓住“數(shù)”中的某些結(jié)構(gòu)特征，從而聯(lián)想到解析幾何中的某些公式或方程，從而挖掘出“數(shù)”的幾何意義，實現(xiàn)由“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化. （3）與圓有關(guān)的最值問題，常見的有以下幾種類型： 形如= 形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線斜率的最值問題； 形如t=ax+by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線截距的最值問題； 形如 形

37、式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點到定點距離的平方的最值問題.,舉一反三,3. 已知圓C： ,點A(-1,0),B(1,0),點P為圓上的動 點，求d= 的最大值、最小值及對應(yīng)的P點坐標(biāo).,解析 設(shè) 則 欲求d的最值，只需求= 的最值，即求圓C上的點到原點距離平 方的最值，故過原點O與圓心C的直線與圓的兩個交點 即為所求. 設(shè)過O,C兩點的直線交圓C于 兩點， 則 此時 此時,題型四 與圓有關(guān)的簡單的軌跡問題,【例4】已知線段AB的端點B的坐標(biāo)是(4,3),端點A在圓 上 運動，求線段AB的中點M的軌跡方程.,分析 動點M的軌跡與點A的位置變化有關(guān)，因此可以把點A的坐標(biāo)用點M的坐標(biāo)表示出來，再代入點A

38、所滿足的方程求得點M的軌跡方程.,解 設(shè)點M的坐標(biāo)為(x,y),點 因為M是線段AB的中點，且B（4，3）， 所以 所以 又點A在圓 上運動，,所以 . 把代入，得 整理得 . 所以點M的軌跡是以 為圓心，半徑為1的圓.,學(xué)后反思 （1）本例中M、A是相關(guān)動點，M、A、B三者存在著不變的關(guān)系，抓住該關(guān)系可以實現(xiàn)動點M、A的坐標(biāo)間的轉(zhuǎn)化. （2）一般地，設(shè)點時，動點設(shè)為（x,y），相關(guān)點設(shè)為 ，并將(x,y)用 表示出來，代入 滿足的關(guān)系式.,舉一反三,4. 已知圓 上一定點A(2,0),P為圓上的動點.求線段AP中點 的軌跡方程.,解析 設(shè)AP中點為M(x,y),由中點坐標(biāo)公式可知，P點坐標(biāo)為

39、（2x-2,2y）. P點在圓 上， 故線段AP中點的軌跡方程為,題型五 圓的方程的實際應(yīng)用,【例5】(12分)在氣象臺A正西方向300千米處有一臺風(fēng)中心B，它以每小時40千米的速度向東北方向移動，距臺風(fēng)中心250千米以內(nèi)的地方都要受其影響，問：從現(xiàn)在起，大約多長時間后，氣象臺A所在地將受臺風(fēng)影響？持續(xù)多長時間？,分析 幾小時后氣象臺所在地受到臺風(fēng)影響，就是指以臺風(fēng)中心為圓心的圓何時開始經(jīng)過該城市，持續(xù)多長時間即為臺風(fēng)圓何時離開.可建立直角坐標(biāo)系，用變量t表示出B點坐標(biāo)，進而求解.,解 以氣象臺為坐標(biāo)原點，正東方向為x軸正方向， 正北方向為y軸正方向建立直角坐標(biāo)系， 如圖，則現(xiàn)在臺風(fēng)中心B的坐

40、標(biāo)為（-300，0）. 根據(jù)題意可知,t小時后B的坐標(biāo)為 （-300+40tcos 45,40tsin 45）, 即（-300+20 t,20 t）.3 因為以臺風(fēng)中心為圓心，以250千米為半徑長的圓上和圓內(nèi)的區(qū)域?qū)⒃馐芘_風(fēng)影響，所以氣象臺A在圓上或圓內(nèi)時，將受臺風(fēng)影響，所以令A(yù)B 250,即 . 6 整理得16 -120 t+2750,.8 解得 10 故大約2小時后，氣象臺A所在地將遭受臺風(fēng)影響，大約持續(xù)6個半小時12,學(xué)后反思 在解決有關(guān)的實際問題時，關(guān)鍵要明確題意，根據(jù)所給條件建立直角坐標(biāo)系，建立數(shù)學(xué)基本模型，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決.,舉一反三,5. 有一種大型商品，A、B兩地都

41、有出售，且價格相同，某地居民從兩地之一購得商品后運回的費用是：A地每公里的運費是B地每公里運費的3倍.已知A、B兩地距離為10公里，顧客選擇A地或B地購買這件商品的標(biāo)準(zhǔn)是：運費和價格的總費用較低.求P地居民選擇A地或B地購貨總費用相等時，點P所在的曲線方程，并指出曲線上、曲線內(nèi)、曲線外的居民應(yīng)如何選擇購物地點.,解析 如圖，以A、B所在的直線為x軸，線段AB的中點為原點建立直 角坐標(biāo)系，AB=10, A(-5,0),B(5,0). 設(shè)P(x,y),P到A、B兩地購物的運費分別是3a、a(元/公里). 當(dāng)由P地到A、B兩地購物費用相等時，即 價格+A地運費=價格+B地運費， ， 化簡整理，得,(

42、1)當(dāng)P點在以 為圓心， 為半徑的圓上時，居民到A地或B地購 貨總費用相等，故此時到A地或B地購物均可.,（2）當(dāng)P點在上述圓內(nèi)時， 故此時到A地購物合算.,（3）當(dāng)P點在上述圓外時， 故此時到B地購物合算.,考點演練,10. 過直線2x+y+4=0和圓 +2x-4y+1=0的交點且面積最小的圓的方 程是.,解析 因為通過兩個定點的動圓中，面積最小的是以這兩個定點為直徑端點的圓，于是解方程組 2x+y+4=0， +2x-4y+1=0， 得交點A ,B(-3,2). 因為AB為直徑，則其中點為圓心，即為 , . 所以圓的方程為,答案,11. 已知正三角形OAB的三個頂點都在拋物線 =2x上，其中

43、O為坐標(biāo)原 點，設(shè)圓C是OAB的外接圓（點C為圓心），求圓的方程.,解析 方法一：設(shè)A、B兩點坐標(biāo)分別為 . 由題設(shè)知 解得 所以A(6,2 ),B(6,-2 )或A(6,-2 ),B(6,2 ). 設(shè)圓心C的坐標(biāo)為（r,0）,則r= 6=4. 因此，圓C的方程為 .,方法二：設(shè)A、B兩點坐標(biāo)分別為 由題設(shè)知 .又 , 所以 ,即 .,由 ,可知 , 故A、B兩點關(guān)于x軸對稱，所以圓心C在x軸上. 設(shè)C點的坐標(biāo)為（r,0）,則A點坐標(biāo)為 , 于是有 ,解得r=4, 所以圓C的方程為,解析 如圖所示，設(shè)P(x,y), 則線段OP的中 點坐標(biāo)為 ,線段MN的中點坐標(biāo)為 .,因為平行四邊形的對角線互

44、相平分， =x+3， 故 ,從而 =y-4. N(x+3,y-4)在圓上，故 . 因此所求軌跡為圓 ,但應(yīng)除去兩點： 和 (點P在OM所在直線上時的情況).,第四節(jié) 直線與圓的位置關(guān)系,基礎(chǔ)梳理,1. 直線與圓的位置關(guān)系 （1）直線與圓相交，有兩個公共點； （2）直線與圓相切，只有一個公共點； （3）直線與圓相離，沒有公共點. 2. 直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法 直線 :Ax+By+C=0(A,B不全為0)與圓 (r0)的位置關(guān)系的判斷方法： （1）幾何法. 圓心（a,b）到直線Ax+By+C=0的距離為d, dr直線與圓相離.,（2）代數(shù)法. Ax+By+C=0, 由 消元，得到的一元二次方

45、程的判別式為,則 0直線與圓相交； =0直線與圓相切； 0直線與圓相離. 3. 圓與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系有五種，分別為外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含. 4. 弦長問題 圓的弦長的計算：常用弦心距d,弦長一半 a及圓的半徑r所構(gòu)成的直角 三角形來解：,典例分析,題型一 直線與圓的位置關(guān)系,【例1】已知圓 -6mx-2(m-1)y+10 -2m-24=0(mR). (1)求證：不論m為何值，圓心在同一直線 上； （2）與 平行的直線中，哪些與圓分別相交、相切、相離.,分析 （1）用配方法將圓的一般方程配成標(biāo)準(zhǔn)方程，求圓心坐標(biāo)，消去m.(2)比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小.,解 （1）證

46、明：配方得 x=3m, 設(shè)圓心為（x,y），則 消去m，得 ：x-3y-3=0, y=m-1, 則不論m為何值，圓心恒在直線 :x-3y-3=0上. (2)設(shè)與 平行的直線是 :x-3y+b=0, 則圓心到直線 的距離為,圓的半徑為r=5, 當(dāng)dr,即b5 -3時，直線與圓相離.,學(xué)后反思 判斷直線與圓的位置關(guān)系一般有兩種方法： （1）代數(shù)法：將直線方程與圓的方程聯(lián)立，由所得一元二次方程根的判別式來判斷. （2）幾何法：確定圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離與圓半徑的大小關(guān)系來判斷. 實際應(yīng)用中“幾何法”要優(yōu)于“代數(shù)法”.,舉一反三,1. (2009啟東調(diào)研）已知圓C： ,直線 :mx-y+

47、1-m=0. （1）求證：無論m取什么實數(shù)，直線 與圓C恒交于兩點； （2）求直線 被圓C截得的弦長最小時 的方程.,解析 （1）證明： :mx-y+1-m=0的方程可化為 y-1=m(x-1),其恒過定點P(1,1). PC= 點P恒在圓C內(nèi)，直線 與圓C恒交于兩點. （2）由（1）及平面幾何知識知，當(dāng) 垂直于PC時，直線 被圓C截得的弦 長最小，又 ， 所求直線 的方程為y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.,題型二 圓與圓的位置關(guān)系,【例2】已知圓 ： -2mx+4y+ -5=0,圓 : +2x-2my+ -3=0, 試就m的取值討論兩圓的位置關(guān)系.,分析 先把兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程

48、，再求兩圓的圓心距d，進而判斷d與R+r,R-r的關(guān)系.,解 圓 , 圓 . 兩圓的圓心距 . (1)當(dāng) ,即 時, 解得m=-5或m=2, 故當(dāng)m=-5或m=2時，兩圓外切；,（2）當(dāng) ,即 時, 解得m=-2或m=-1, 故當(dāng)m=-2或m=-1時，兩圓內(nèi)切； （3）當(dāng) , 即-52時，兩圓外離； （5）當(dāng) ,即-2m-1時，兩圓內(nèi)含.,學(xué)后反思 在討論兩圓的位置關(guān)系時，一般根據(jù)其關(guān)系的判定條件，即圓心距與兩圓半徑之間的和差關(guān)系來判斷.,舉一反三,2. 已知半徑為1的動圓與圓 相切，求動圓圓心的軌跡方程.,解析 設(shè)動圓的圓心坐標(biāo)為(a,b)，當(dāng)兩圓外切時，由題意可得 ， ； 當(dāng)兩圓內(nèi)切時，由

49、題意可得 , 即 . 所以動圓圓心的軌跡方程為 或 .,題型三 圓的切線及弦長問題,【例3】已知點P（0,5）及圓C: +4x-12y+24=0. (1)若直線 過P且被圓C截得的線段長為4 ,求 的方程； （2）求過P點的圓C的弦的中點的軌跡方程.,分析 （1）可以用代數(shù)法將直線l的斜率k設(shè)出（優(yōu)先考慮斜率不存在的情況），寫出直線方程，并將其代入圓C的方程，然后運用弦長 公式 來解決；也可以用幾何法設(shè)出直線 的方程： y-5=kx,首先注意斜率不存在的情況，運用圓心到直線的距離，圓半徑和一半弦長構(gòu)成直角三角形來解決. （2）中點弦問題，可以考慮“代點作差法”，也可以利用“垂直于弦的直徑平分弦

50、”這一幾何特征來求解.,解 (1)方法一：如圖所示，AB=4 ,D是AB的中點，CDAB,AD=2 ,AC=4. 在RtADC中，可求得CD=2.設(shè)所求直線的斜率為k,則直線的方程為 y-5=kx,即kx-y+5=0. 由點C到直線AB的距離公式 ,得k= . 又直線 的斜率不存在時也滿足題意，此時方程為x=0. 當(dāng)k= 時，直線 的方程為3x-4y+20=0. 所求直線的方程為x=0或3x-4y+20=0.,方法二：設(shè)所求直線的斜率為k, 則直線 的方程為y-5=kx,即y=kx+5, y=kx+5, 聯(lián)立直線與圓的方程 +4x-12y+24=0, 消去y，得 +(4-2k)x-11=0,

51、,設(shè)方程的兩根為 ,由韋達(dá)定理,得 由弦長公式,得 將式代入，解得k= ，此時直線方程為3x-4y+20=0. 又k不存在時也滿足題意，此時直線方程為x=0. 所求直線方程為x=0或3x-4y+20=0.,(2)設(shè)過P點的圓C的弦的中點為D(x,y)，則CDPD,即 =0, (x+2,y-6)(x,y-5)=0,化簡得所求軌跡方程為 +2x-11y+30=0.,學(xué)后反思 （1）直線與圓的相交問題，往往用垂徑定理解決，即圓心距 d,圓半徑r，半弦長 ,三者滿足勾股定理來解決. （2）在研究與弦的中點有關(guān)的問題時，注意運用“平方差法”，即設(shè)弦AB 兩端點的坐標(biāo)分別為 ，中點為 ，由 得 .該法常用

52、來解決與弦的中點、直線 的斜率有關(guān)的問題. (3)OAOB(O為原點)可轉(zhuǎn)化為 ，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系等代 數(shù)方法簡化運算過程，這在解決垂直關(guān)系問題中是常見的.,舉一反三,3. 已知圓O的方程是 =9,求過點A(1,2)所作的圓的弦的中點P的軌跡.,解析 設(shè)過A的弦長為MN, . M、N皆在圓 =9上， 兩式相減,得 當(dāng) 時， . 設(shè)P(x,y),則 又M、N、P、A四點共線，即 (x1), 所以式可化為 , 整理,得 -x-2y=0.,當(dāng) ，即x=1時，中點P(1,0)也適合此方程. 故點P的軌跡是以（ ,1）為圓心，以 為半徑的圓.,題型四 簡單的“圓系方程”的應(yīng)用,【例4】(12分)求過

53、直線2x+y+4=0和圓 +2x-4y+1=0的交點，且過原點的圓的方程.,分析 可用待定系數(shù)法，由兩交點坐標(biāo)和過原點的條件，求出待定系數(shù)，也可用圓系方程求經(jīng)過兩圓交點的圓的方程.,+2x-4y+1=0, 解 方法一：由 2x+y+4=0,.2 解得交點坐標(biāo)分別為A(-3,2), .4 設(shè)所求圓的方程為 +Dx+Ey+F=0，.5,則 .8 解得 .11 故所求圓的方程為 .12,方法二:設(shè)所求圓的方程為 +2x-4y+1+(2x+y+4)=0,3 即 +2(1+)x+(-4)y+(1+4)=0，6 此圓過原點，1+4=0,=- .9 故所求圓的方程為 .12,學(xué)后反思 此類問題利用方法一計算

54、量較大，而利用圓系方程，則因為避免了解方程組而相對簡單，但在化簡一般形式時一定要細(xì)心.,舉一反三,4. 求過直線2x+y+4=0和圓 +2x-4y+1=0的交點且面積最小的圓的方程.,解析 設(shè)所求圓的方程為 +2x-4y+1+(2x+y+4)=0, 即 +2(1+)x+(-4)y+(1+4)=0. 方法一：當(dāng)半徑最小時，圓面積也最小，對左邊配方，得 . 所以當(dāng)= 時，此圓面積最小，故滿足條件的圓的方程為,方法二：當(dāng)圓心在直線2x+y+4=0上時，圓面積最小，易求得圓心坐標(biāo) 為 ,代入直線方程,得 -2(1+)- +4=0,解得= ， 所以當(dāng)=85時，此圓面積最小.故滿足條件圓的方程為,易錯警示

55、,【例】求過A(3,5)且與圓C: -4x-4y+7=0相切的直線方程.,錯解 設(shè)所求直線 的斜率為k，方程為y-5=k(x-3)， 即kx-y+5-3k=0,已知圓C的圓心（2，2），r=1. 則圓心到 的距離為 ,即k-3= ，, -6k+9= +1，解得k= . 故所求直線方程為y-5= (x-3), 即4x-3y+3=0.,錯解分析 過圓外一點的圓的切線有兩條，若求出k值唯一，則應(yīng)補上與x軸垂直的那一條，錯解中漏掉了斜率不存在的情況.,正解 （1）若所求直線斜率存在,設(shè)其為k,方法同“錯解”，得k= ,即 方程為4x-3y+3=0. (2)若所求直線斜率不存在，則 的方程為x=3,經(jīng)驗

56、證與圓C相切. 綜上,所求切線方程為x=3或4x-3y+3=0.,考點演練,10. 已知兩圓 =10和 相交于A,B兩點，則直線AB的方程是.,=10， 解析 由已知得 ， -得x+3y=0，即直線AB的方程為x+3y=0.,答案 x+3y=0,11. 光線 過點P(1,-1),經(jīng)y軸反射后與圓C: 相切， 求光線 所在的直線方程.,解析 設(shè) 與y軸的交點（即反射點）為Q，點P關(guān)于y軸的對稱點為 P(-1,-1).由光學(xué)知識可知直線PQ為反射光線所在的直線，且為圓C的切線. 設(shè)PQ的方程為y+1=k(x+1),即kx-y+k-1=0. 圓心C(4,4)到PQ的距離等于半徑, ,解得k= 或k= . 由 與PQ關(guān)于y軸對稱，可得 的斜率為- 或- ， 光線 所在的直線方程為y+1=- (x-1)或y+1=- (x-1),即4x+3y-1=0或 3x+4y+1=