第三節(jié) 年金 Microsoft PowerPoint 演示....ppt

1、第三節(jié),年金,主要內(nèi)容,年金的定義 年金的類型 年金的現(xiàn)值與終值,一、年金的定義,年金是指在相等的時間間隔內(nèi)的一系列支付或收款。,二、年金的類型,確定性分類：確定型年金、不確定型年金。 每次的支付額分類：等額年金、變額年金。 支付時點分類：期初付年金、期末付年金。 支付期限分類：定期年金、永續(xù)年金。 連續(xù)性年金：離散型年金、連續(xù)型年金。,三、年金的現(xiàn)值與終值,1、n年定期年金 1）期末付年金 現(xiàn)值,0 1 2 3 n,1 1 1 1,v,v2,vn,。,上式可寫成：,期初投資1元，每年末可獲得利息i， 且第n年末可獲得本金1元。,年金終值,.,0 1 n-1 n-2 n,1 1 1 1,1+i

2、,(1+i）2,(1+i)n-1,。,每年末存入1元，第n年末可得,證明：,2）期初付年金,現(xiàn)值,0 1 2 n-2 n-1 n,1 1 1 1 1,v,v2,Vn-1,。,終值,。,0 1 n-2 n-1 n,1 1 1 1,1+i,(1+i)2,(1+i)n,。,期初付年金與期末付年金,其他,例：王平從銀行貸款20，000元，他想在今后的10年內(nèi)等額還清貸款，貸款年利率為15%。求：1）每年末的還款額；2）每年初的還款額。,解:,2、延期m年的n年期年金,1）期末付延期年金 現(xiàn)值,0 m m+1 m+n-1 m+n,1 1 1,Vm+1,vm+n-1,Vm+n,。,或：,終值,或：,2)期

3、初付延期年金,現(xiàn)值,或：,。,終值,或：,例：3，000元的債務從第5年初開始，每年初償還相同的數(shù)額，共分15次還清，年利率為8%，求年還債額。解：,3、一年支付m次的年金,1）期末付 假設年利率為i，每次末的支付額為1m，每年支付額為1元。,。,m m - m,0 1 2 n-1 n,1/m 1/m 1/m 1/m 1/m,現(xiàn)值,終值,解二,設每次支付的實際利率為i0,每次給付為1的現(xiàn)值和終值為：,。,同理：,。,2）期初付 假設年利率為i，每次初的支付額為1m，每年支付額為1元。,。,m m - m,0 1 2 n-1 n,1/m 1/m 1/m 1/m 1/m,現(xiàn)值,終值,解二,設每次的

4、實際利率為i0,每次給付為1的現(xiàn)值和終值為：,。,同理：,例1、張東向銀行貸款200，000元，年利率為4%，計劃10年還清，求每月末的還款額。,解：設年還款額為,每月的還款額為：,例2：如果某投資者希望在今后的5年內(nèi)每個季度末領取500元等額收入，在年實際利率i=5%的條件下，該投資者在期初存入銀行多少錢？,解一：,解二：,例3、小王每月向銀行存入100元，計劃存足30年后在當年末一次性取出，如果年實際利率為2%，求小王支取的數(shù)額。,解：,4、標準遞增型年金,1）期末付 各年末支付如下： 1，2，3，-，n 現(xiàn)值：,兩邊同乘(1+i):,兩式相減：,終值,.,2）期初付 各年初支付如下： 1

5、，2，3，-，n 現(xiàn)值：,兩邊同乘V:,兩式相減：,終值,5、標準遞減型年金,n年期年金 1）期末付 各年末支付如下： n，n-1，n-2，n-3，-，1 現(xiàn)值：,兩邊同乘(1+i):,兩式相減：,終值,2) 、期初付,終值：,現(xiàn)值：,例1：某年金在第一年末支付200元，以后每一年支付額比前一年增加200元，若i=5%,求該年金支付10年的現(xiàn)值和終值。,解：1）現(xiàn)值為：,2）終值為：,例2、某人希望購買一項年金，該年金在第一年末的付款為1，000元，以后每年增加100元，共付10年，設i=5%，求該年金的現(xiàn)值。,解：該年金的現(xiàn)值為：,6、連續(xù)年金,現(xiàn)值,7、永續(xù)年金,1）期末付年金現(xiàn)值 2）期

6、初付年金現(xiàn)值,期初投資 元，則 每年可獲得1元,期初投資 元，則 每年可獲得1元,3）延期m年的永續(xù)年金,4)變額年金的永續(xù)年金,期末付,期初付,例：某企業(yè)從銀行獲得一筆貸款，年利率為6%，假設企業(yè)每年末向銀行償還20，000元，10年后還清，如果企業(yè)打算在5年內(nèi)一次還清，試求一次還清的額度。,解：,例：李明今年30歲，他計劃每年初存300元，共存30年建立個人養(yǎng)老金，這筆存款能使他從60歲退休開始每年末得到固定金額的養(yǎng)老金，共能取20年，假設存款利率在前30年為6%，后20年為12%，求每年得到的養(yǎng)老金額。,解：,例：某單位計劃用10年時間每年初存入銀行一筆固定的金額建立基金，用于10年末開

7、始每年2，000元的永續(xù)獎勵支出，i=12%,求每年需存入的金額。,解：,例：設某期初付年金共支付20年，其中：前6年的年金額為5元，中間9年的年金額為7元，后5年的年金額為10元，請寫出年金現(xiàn)值和終值的表達式。,解：現(xiàn)值,終值,。,例、某人留下了100萬元的遺產(chǎn)，遺囑規(guī)定，該筆遺產(chǎn)前5年的利息收入由其長子領取，第二個5年的利息由其次子領取，從第11年開始，剩余遺產(chǎn)全部歸第三個兒子。如果實際利率為8%，試計算第三個兒子在該筆遺產(chǎn)中分別占多大份額。,解：,1、某人想用分期付款方式購買一輛現(xiàn)價為10萬元的汽車，如果首期支付一筆款項后，在今后的5年內(nèi)每月末付款2，000元即可付清車款，假設每月結(jié)轉(zhuǎn)一

8、次利息的年名義利率為8%，試計算首期付款的金額為多少？,2、某人將在10年后退休，他打算從現(xiàn)在開始每年初向一種基金存入2，000元，如果每月的收益率為6%，試計算他在退休時可以積存多少退休金？ 3、某人從2000年3月1日起，每月可以領取200元，直到2010年6月1日。如果每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為6%，試計算：1）年金的現(xiàn)值；2)年金的終值；3)年金在2005年12月31日的值。,4、某人在今后的20年內(nèi)，每年初向一基金存入10，000元，從第30年開始，每年末可以領取一筆退休金。該基金的收益率為6%。1）如果限期領取20年，每次可以領取多少？2）如果無限期的領下去（繼承人可以領取）每

9、次可領取多少?,5、某人留下了10萬元的遺產(chǎn)，遺囑規(guī)定，該筆遺產(chǎn)前5年的利息收入由其長子領取，第二個5年的利息由其次子領取，從第11年開始，剩余遺產(chǎn)全部歸第三個兒子。如果實際利率為8%，試計算第三個兒子在該筆遺產(chǎn)中分別占多大份額。,6、某人將一筆遺產(chǎn)（每年可以領取的永續(xù)年金）捐贈給了A、B、C、D四家慈善機構(gòu)。在前n年，每次領取的款項由A、B、C三家平均分享，n年后，剩余部分均由D領取。試確定當(1+i)n為多少時，A、B、C、D四家在該遺產(chǎn)中享有的現(xiàn)值相等。,7、假設一筆10，000元的貸款，計劃從第5年開始在每年末償還1，000元，直到還清為止。如果年實際利率為5%，并要求將不足1，000

10、元的一次非正規(guī)付款提前在前一年末支付，試計算最后一次付款的時間和金額。,8、如果年利率為i，那么一筆在36年內(nèi)每年末支付4，000元的年金，與另一筆在18年內(nèi)每年末支付5，000元的年金將有相等的現(xiàn)值。試計算1，000元的投資在年實際利率為i時，經(jīng)過多長時間可以翻番。,9、借款人原計劃在每月末償還1，000元，用5年的時間還清貸款。每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為12%。如果他希望一次性支付60，000元還清貸款，應該在何時償還？ 10、投資者每月初向一基金存入一筆款項，5年后可以積存到60，000元。如果前2年每次存入1，000元，后3年每次存入500元，試計算每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的名義利率。,1

11、1、投資者每年末向一年金存入2，000元。如果在前2年的投資按6%的年實際利率計算，在后2年的投資按5%的年實際利率計算，投資者在第四年末可以積存多少價值。,12、投資者每年末向一基金存入2，000元。如果基金在前2年收益率為6%，在后2年的年收益率為5%，投資者在第四年可以積存多少價值。,四、年金的利率、時間問題求解,1、利率問題 1）迭代法一 2）Newton-Raphson迭代法,1）迭代法一,迭代公式,步驟,第一步 ：確定i0，求i1； A、i0 可由線性插值法確定； B、泰勒級數(shù)前兩項確定。,第二步：由i1求i2，以此類推。,可得i0、i1、i2-，直到it+1it為止。 確定迭代公

12、式：,得：,。,得：,缺點：收斂速度慢。即達到精確值得速度慢。,2）Nenton-Raphson迭代公式,優(yōu)點：速度快。,如果已知 ，則迭代公式,其中：,例、某人存入銀行8，000元，然后每年末從銀行支取1，000元，共取10年，求：i,解法一：線性插值法。,試算得：f(0.040)=0.1109=f(i2) f(0.045)=-0.0873=f(i1),令：,解法二，N-R迭代法,由N-R公式：,得：,i=0.042775,2、時間問題,2）小額支付,當n為非整數(shù)時，有小額支付問題。,0 1 k-1 k s k+1,1 1 1 w,n=k+s s1,最后一次支付額w1,W的計算,W的提前支付

13、,W在第k年初的現(xiàn)值。 最后一次取款額為,W的延時支付,W在第k年末的終值。,例：投資者將其20，000元存入某基金，希望在每年末領取1，000，i=4.5%，求：,1）領取的時間及取款的次數(shù)； 2）最后一次的取款額； 3）最后一次取款在當年的現(xiàn)值和終值。,解：,1）求n,取款次數(shù)為53次,2）設小額支付為w,3）如果w在53年初支付，則其現(xiàn)值為：,如果w在53年末支付，則其終值為：,五、可變利率年金,假設每年的實際利率分別為i1、i2、-in。 1、期末付年金,0 i1 1 i2 2 n-2 in-1 n-1 in n,1 1 1 1 1,現(xiàn)值,終值,。,2、期初付年金,現(xiàn)值,終值,3、如果

14、支付時，以當年利率為標準。,例：某人每年初存入銀行1，000元，前4年的年利率為6%，后6年的年利率為10%，試求該年金的終值和現(xiàn)值。,解：,終值：,現(xiàn)值：,1、某人想用分期付款方式購買一輛現(xiàn)價為10萬元的汽車，如果首期支付一筆款項后，在今后的5年內(nèi)每月末付款2，000元即可付清車款，假設每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為8%，是計算首期付款的金額為多少？,2、某人將在十年后退休，他打算從現(xiàn)在開始每年初向一種基金存入2，000元，如果每月的收益率為6%，是計算他在退休時可以積存多少退休金？ 3、某人從2000年3月1日起，每月可以領取200元，直到2010年6月1日。如果每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年名義利

15、率為6%，是計算：1）年金的現(xiàn)值；年金的終值；年僅在2005年12月31日的值。,4、某人在今后的20年內(nèi)，每年初向一基金存入10，000元，從第30年開始，每年末可以領取一筆退休金。該基金的收益率為6%。1）如果限期領取20年，每次可以領取多少？2）如果無限期的領下去（繼承人可以領?。┟看慰深I取多少?,5、某人留下了10萬元的遺產(chǎn)，遺囑規(guī)定，該筆遺產(chǎn)前5年的利息收入由其長子領取，第二個5年的利息由其次子領取，從第11年開始，剩余遺產(chǎn)全部歸第三個兒子。如果實際利率為8%，試計算第三個兒子在該筆遺產(chǎn)中分別占多大份額。,6、某人將一筆遺產(chǎn)（每年可以領取的永續(xù)年金）捐贈給了A、B、C、D四家慈善機構(gòu)

16、。在前n年，每次領取的款項由A、B、C三家平均分享，n年后，剩余部分均由D領取。是確定當(1+i)n為多少時，A、B、C、D四家在該遺產(chǎn)中享有的現(xiàn)值相等。,7、假設一筆10，000元的貸款，計劃從第5年開始在每年末償還1，000元，直到還清為止。如果年實際利率為5%，并要求將不足1，000元的一次非正規(guī)付款提前在前一年末支付，試計算最后一次付款的時間和金額。,8、如果年利率為i，那么一筆在36年內(nèi)每年末支付4，000元的年金，與另一筆在18年內(nèi)每年末支付5，000元的年金將有相等的現(xiàn)值。試計算1，000元的投資在年實際利率為i時，經(jīng)過多長時間可以翻番。,9、借款人原計劃在每月末償還1，000元，用5年的時間還清貸款。每月結(jié)轉(zhuǎn)一次利息的年名義利率為12%。如果他希望一