代數(shù)式的恒等變形

1、代數(shù)式的恒等變形一、常值代換求值法“1”的妙用例1 、 已知ab=1，求的值解 把ab=1代入，得 = = =1例2 、已知xyzt=1，求下面代數(shù)式的值：分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用條件將某些項的形式變一變解 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母可以同時乘以一個不為零的式子，分式的值不變利用已知條件，可將前三個分式的分母變?yōu)榕c第四個相同同理練習(xí)：二、配方法例1、 若實數(shù)a、b滿足a2b2+a2+b2-4ab+1=0，求之值。解 a2b2+a2+b2-4ab+1=(a2b2-2ab+1)(a2-2ab+b2)=(ab-1)2+(a-b)2則有(ab-1)2+(a-b)2=0解得 當(dāng)a=1，b

2、=1時，=1+1=2當(dāng)a=-1，b=-1時，=1+1=2例1設(shè)a、b、c、d都是整數(shù)，且m=a2+b2,n=c2+d2,mn也可以表示成兩個整數(shù)的平方和，其形式是_.解mn=(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+2abcd+b2d2+a2d2+b2c2-2abcd=(ac+bd)2+(ad-bc)2=(ac-bd)2+(ad+bc)2,所以，mn的形式為(ac+bd)2+(ad-bc)2或（ac-bd）2+(ad+bc)2.例2 設(shè)x、y、z為實數(shù)，且(y-z)2+(x-y)2+(z-x)2=(y+z-2x)2+(z+x-2y)2+(x+y-2z)2.求的值.解 將條件化簡成2x2+2y2+

3、2z2-2xy-2x2-2yz=0 (x-y)2+(x-z)2+(y-z)2=0 x=y=z,原式=1.練習(xí)：求證：三、因式分解法例6 已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正數(shù)，求證：a=b=c=d證 由已知可得a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0因為(a2-b2)20，(c2-d2)20，(ab-cd)20，所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)0又因為a，b，c，d都為正數(shù)

4、，所以a+b0，c+d0，所以ab，c=d所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以ac故a=bc=d成立例4 已知|a|+|b|=|ab|+1， 求a+b之值解 |a|+|b|=|ab|+1|a|b|-|a|-|b|+1=0(|a|-1)(|b|-1)=0|a|=1 |b|=1a=1或b=1.則當(dāng)a=1，b=1時，a+b=2當(dāng)a=1，b=-1時，a+b=0當(dāng)a=-1，b=1時，a+b=0當(dāng)a=-1，b=-1時，a+b=-2評注 運用該法一般有兩種途徑求值，一是將已知條件變形為一邊為0，另一邊能分解成幾個因式的積的形式，運用“若AB=0，則A=0或B=0”的思想來解決問題。另一

5、種途徑是對待求的代數(shù)式進行因式分解，分解成含有已知條件的代數(shù)式，然后再將已知條件代入求值。練習(xí)：證：四.換元例4 設(shè)a+b+c=3m,求證:(m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0.證明 令p=m-a,q=m-b,r=m-c則p+q+r=0.P3+q3+r3-3pqr=(p+q+r)(p2+q2+r2-pq-qr-rp)=0p3+q3+r3-3pqr=0即 (m-a)3+(m-b)3+(m-c)3-3(m-a)(m-b)(m-c)=0練習(xí)：求證：2比較法a=b(比商法)這也是證明恒等式的重要思路之一 例3 求證： 分析 用比差法證明左-右=0本例中，這個式

6、子具有如下特征：如果取出它的第一項，把其中的字母輪換，即以b代a，c代b，a代c，則可得出第二項；若對第二項的字母實行上述輪換，則可得出第三項；對第三項的字母實行上述輪換，可得出第一項具有這種特性的式子叫作輪換式利用這種特性，可使輪換式的運算簡化證 因為所以所以說明 本例若采用通分化簡的方法將很繁像這種把一個分式分解成幾個部分分式和的形式，是分式恒等變形中的常用技巧全不為零證明：(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)同理所以 所以(1+p)(1+q)(1+r)=(1-p)(1-q)(1-r)3分析法與綜合法證 要證 a2+b2+c2=(a+b-c)2，只要證a2+b2+c2=a2+b2+c2+2ab-2ac-2bc，只要證 ab=ac+bc，只要證 c(a+b)=ab，只要證練習(xí)：4.設(shè)參當(dāng)已知條件以連比的形