六年級(jí)數(shù)學(xué)難題解析

1、一、基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、行程三者之間的關(guān)系。解決行程問題關(guān)鍵在于確定行程過程中的位置。二、基本公式：路程速度時(shí)間；路程時(shí)間速度；路程速度時(shí)間三、行程問題的分類及公式1、相遇問題：相向（離）運(yùn)動(dòng)的物體，當(dāng)各自位移大小之和等于開始時(shí)兩物體的距離，即相遇（離）問題。（速度和）相遇（離）時(shí)間=相遇（離）路程；相遇（離）路程（速度和）=相遇（離）時(shí)間；相遇（離）路程相遇（離）時(shí)間=速度和。練習(xí)1、甲、乙兩列火車同時(shí)從A、B兩城相對(duì)開出，行了3.2小時(shí)后，兩列還相距全程的5/8,兩車還需要幾小時(shí)才能相遇？練習(xí)2、快車從甲站到達(dá)乙站需要8小時(shí)，慢車從乙站到達(dá)甲站需要

2、12小時(shí)，如果快、慢兩車同時(shí)從甲、乙兩站相對(duì)開出，相遇時(shí)快車比慢車多行180千米，甲、乙兩站相遇多少千米？課外作業(yè)：甲、乙兩車分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，當(dāng)甲車行到全程的7/11時(shí)與乙車相遇，乙車?yán)^續(xù)以每小時(shí)40千米的速度前進(jìn)，又行駛了154千米到達(dá)A地。甲車出發(fā)到相遇用了多少小時(shí)？2、同向行程問題（追擊）問題：追及問題是兩物體速度不同向同一方向運(yùn)動(dòng)，兩物體同時(shí)運(yùn)動(dòng)，一個(gè)在前，一個(gè)在后，前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一個(gè)的時(shí)間叫“追及時(shí)間”。（速度差）追及（拉開）時(shí)間=追及（拉開）路程。追及（拉開）路程（速度差）=追及（拉開）時(shí)間；追及（拉開）路程追及（拉開）時(shí)間=速

3、度差；練習(xí)3、A、B兩地相距28千米，甲乙兩車同時(shí)分別從A、B兩地同一方向開出，甲車每小時(shí)行32千米，乙車每小時(shí)行25千米，乙車在前，甲車在后，幾小時(shí)后甲車能追上乙車？分析：如圖 練習(xí)4、兩輛汽車都從甲地開往乙地，第一輛車以每小時(shí)30千米的速度從甲地開出，第二輛車晚開12分鐘，以每小時(shí)40千米的速度從甲地開出，結(jié)果兩車同時(shí)到達(dá)乙地。求甲乙兩地的路程？課外作業(yè)：甲乙二人在周長600米的水池邊上玩，兩人從一點(diǎn)出發(fā)，同向而行30分鐘后又走到一起，背向而行4分鐘相遇。求兩人每分鐘各行多少米？4、火車過橋問題（錯(cuò)車問題的特例）：速度過橋時(shí)間=橋、車長度之和；（橋長+列車長）速度=過橋時(shí)間； （橋長+列車

4、長）過橋時(shí)間=速度。練習(xí)7、一列火車長700米,以每分鐘400米的速度通過一座長900米的大橋.從車頭上橋到車尾離要多少分鐘？練習(xí)8、一支隊(duì)伍1200米長,以每分鐘80米的速度行進(jìn).隊(duì)伍前面的聯(lián)絡(luò)員用6分鐘的時(shí)間跑到隊(duì)伍末尾傳達(dá)命令.問聯(lián)絡(luò)員每分鐘行多少米？課外作業(yè)1：某人沿著鐵路邊的便道步行,一列客車從身后開來,在身旁通過的時(shí)間是15秒鐘,客車長105米,每小時(shí)速度為28.8千米.求步行人每小時(shí)行多少千米?課外作業(yè)2：一條單線鐵路上有A,B,C,D,E 5個(gè)車站,它們之間的路程如圖所示(單位:千米).兩列火車同時(shí)從A,E兩站相對(duì)開出,從A站開出的每小時(shí)行60千米,從E站開出的每小時(shí)行50千米

5、.由于單線鐵路上只有車站才鋪有停車的軌道,要使對(duì)面開來的列車通過,必須在車站停車,才能讓開行車軌道.因此,應(yīng)安排哪個(gè)站相遇,才能使停車等候的時(shí)間最短.先到這一站的那一列火車至少需要停車多少分鐘?BECAD225千米25千米15千米230千米第四講：應(yīng)用題復(fù)習(xí)專題二（工程問題）一、基本概念：顧名思義，工程問題指的是與工程建造有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。其實(shí)，這類題目的內(nèi)容已不僅僅是工程方面的問題，也包括行路、水管注水等許多內(nèi)容。工作量指的是工作的多少，它可以是全部工作量，一般用數(shù)1表示，也可以是部分工程量，常用分?jǐn)?shù)表示。如：工程的一半表示成，工程的三分之一表示為。工作效率指的是干工作的快慢，其意義是單位時(shí)間

6、里所干的工作量。單位時(shí)間的選取，根據(jù)題目需要，可以是天，也可以是時(shí)、分、秒等。注：工作效率的單位是一個(gè)復(fù)合單位，表示成“工作量/天”，或“工作量/時(shí)”等。但在不引起誤會(huì)的情況下，一般不寫工作效率的單位。二、基本公式：工作量=工作效率工作時(shí)間，工作時(shí)間=工作量工作效率，工作效率=工作量工作時(shí)間。三、解題方法與指導(dǎo)：1、兩個(gè)人的工程問題：例1：某項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需要20天，如果與乙合作，12天就可以完成?，F(xiàn)在由甲單獨(dú)做16天，然后由乙繼續(xù)做完，還需要幾天時(shí)間？例2：運(yùn)一批水泥，大卡車要15次運(yùn)完，小卡車要20次運(yùn)完。為了盡快運(yùn)完，大卡車和小卡車同時(shí)運(yùn)，多少次可以運(yùn)完？例3：一水池裝有一個(gè)放水管和一

7、個(gè)排水管，單開放水管5小時(shí)可將空池灌滿，單開排水管7小時(shí)可將滿池水排完。如果一開始是空池，打開放水管1小時(shí)后又打開排水管，那么再過多長時(shí)間池內(nèi)將積有半池水？例4：甲、乙兩車同時(shí)從A、B兩地出發(fā)，相向而行。經(jīng)過4小時(shí)相遇后，甲車?yán)^續(xù)行駛3小時(shí)到達(dá)B地，乙車每小時(shí)行24千米。全長多少千米?練習(xí)：有一批資料要復(fù)印，甲機(jī)單獨(dú)復(fù)印需要11小時(shí)，乙機(jī)單獨(dú)復(fù)印需要13小時(shí)，當(dāng)甲、乙兩臺(tái)復(fù)印機(jī)同時(shí)復(fù)印時(shí)，由于相互干擾，每小時(shí)兩臺(tái)共少印28張?，F(xiàn)在兩臺(tái)機(jī)同時(shí)復(fù)印了6小時(shí)15分才印完，那么這批資料共有多少張？2、多人的工程問題：例5：一件工作，甲做1.5小時(shí)完成全部工作的后，再由乙做小時(shí)完成余下工作的，最后剩下的

8、工作由丙用小時(shí)完成。如果三人合作，需要多少時(shí)間？例6：甲、乙、丙三人合修一圍墻，甲、乙合修5天完成，乙、丙合修兩天完成余下的，然后甲、丙兩人合修了5天才完工。整個(gè)工程的勞動(dòng)報(bào)酬是600元。問乙應(yīng)分得多少元？例7：一項(xiàng)工程，乙一天完成的工作量是甲一天的，丙一天完成的工作量是乙一天的?，F(xiàn)在，每天都兩人合作結(jié)果甲共做了4天，乙共做了3天，丙共做了3天，終于完成這項(xiàng)工程。問：（1）甲、乙合作了多少天？（2）甲一人獨(dú)做完成這項(xiàng)工程需要多少天？例8：甲、乙、丙三人做一件工作，原計(jì)劃按甲、乙、丙的順序每人一天輪流去做，恰好整天做完，并且結(jié)束工作的是乙。若按乙、丙、甲的順序輪流去做，則比計(jì)劃多用天；若按丙、甲

9、、乙的順序輪流去做，則比計(jì)劃多用天。已知甲單獨(dú)做完這件工作需要9天，那么甲、乙、丙三人一起做這件工作，要用多少天才能完成？練習(xí)：甲、乙、丙三隊(duì)要完成A，B兩項(xiàng)工程，B工程的工作量比A工程的工作量多。甲、乙、丙三隊(duì)單獨(dú)完成A工程所需時(shí)間分別是20天、24天、30天。為了同時(shí)完成這兩項(xiàng)工程，先派甲隊(duì)做A工程，乙、丙兩隊(duì)同做B工程；經(jīng)過幾天后，又調(diào)丙隊(duì)與甲隊(duì)共同完成A工程，那么，丙隊(duì)與乙隊(duì)合作了多少天？3、巧用單位“1”： 在工程問題中，我們往往設(shè)工作總量為單位“1”。在許多分?jǐn)?shù)應(yīng)用題中，都會(huì)遇到單位“1”的問題，根據(jù)題目條件正確使用單位“1”，能使解答的思路更清晰，方法更簡(jiǎn)捷。例9：一本文藝書，小

10、明第一天看了全書的，第二天看了余下的，第三天看了再余下的，還剩下80頁。這本書共有多少頁？例10：小明看故事書，第一天看了全書的還少5頁，第二天看了全書的還多3頁，還剩206頁。這本故事書共有多少頁？例11：甲組人數(shù)比乙組人數(shù)多，后來從甲組調(diào)9個(gè)人到乙組，此時(shí)乙組人數(shù)比甲組人數(shù)多。那甲、乙組各有多少人？例12：修一條公路，甲隊(duì)獨(dú)做要40天，乙對(duì)獨(dú)做要24天，現(xiàn)在兩隊(duì)同時(shí)從兩端開工，結(jié)果在距中點(diǎn)400米處相遇。甲、乙兩隊(duì)每天能修多少米？練習(xí)：公路上同向行駛著三輛汽車，客車在前，貨車在中，小轎車在后。在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離相等；走了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上

11、了客車，再過多少分鐘，貨車追上客車？4、巧用工程問題求具體數(shù)量：例13：甲、乙兩人同時(shí)加工一批零件，完成任務(wù)時(shí)，甲做了全部兩件的，已知乙每小時(shí)加工24個(gè)零件，甲單獨(dú)加工完成這批零件要12小時(shí)，這批零件有多少個(gè)？例14：一批零件，甲乙合做4天后，再由甲單獨(dú)做6天完成。如果甲比乙每天多做這批零件的，而甲每天可完成零件60個(gè)，這批零件的總數(shù)是多少個(gè)？練習(xí)：快車從甲站開往乙站，慢車從乙站開往甲站，兩車同時(shí)出發(fā)，快車每小時(shí)行全程的，慢車每小時(shí)行56千米。兩車相遇后，慢車再行全程的到達(dá)中點(diǎn)，甲、乙兩站相距多少千米？第五講：應(yīng)用題復(fù)習(xí)專題三（分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)問題） 分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，較復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)

12、用題也是小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)的一類問題，同時(shí)在我們的現(xiàn)實(shí)生活及生產(chǎn)實(shí)際中經(jīng)常會(huì)遇到與分?jǐn)?shù)有關(guān)的問題，因此學(xué)好這部分知識(shí)很重要。怎樣提高解答這類題的能力呢？1. 要正確理解掌握分?jǐn)?shù)乘、除法的意義。 如不再表示求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算了，而表示求32的是多少，這是乘法意義的擴(kuò)展，比較抽象。2. 要學(xué)會(huì)一些特殊的思考問題的方法。 如“對(duì)應(yīng)法”，“轉(zhuǎn)化法”，“假設(shè)法”，“逆推法”，“圖解法”等。 這些方法的掌握有利于提高解答分?jǐn)?shù)應(yīng)用題能力。3. 要學(xué)會(huì)用線段圖表示題中數(shù)量關(guān)系。 使隱蔽條件，抽象問題明朗化，從而找出解題途徑。這部分內(nèi)容安排兩講。第一講重點(diǎn)研究如何運(yùn)用“對(duì)應(yīng)法”和“轉(zhuǎn)化法”解決分?jǐn)?shù)應(yīng)

13、用題。一. 思路指導(dǎo)：例1. 某區(qū)舉行小學(xué)生春季運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中某校參加的人數(shù)占運(yùn)動(dòng)員總?cè)藬?shù)的，若這個(gè)學(xué)校再去10名運(yùn)動(dòng)員，則該校人數(shù)占運(yùn)動(dòng)員總?cè)藬?shù)的，這次運(yùn)動(dòng)會(huì)共有運(yùn)動(dòng)員多少人？這個(gè)學(xué)校原來有多少人參加運(yùn)動(dòng)會(huì)？ 分析與解：本題的解題思路是找出“不變量”，根據(jù)不變量寫出等量關(guān)系，列方程解。或抓住不變量用轉(zhuǎn)化法統(tǒng)一單位“1”使問題得以解決。 方法1：用方程解 解：設(shè)這次運(yùn)動(dòng)會(huì)有運(yùn)動(dòng)員x人，可得 方法2：用算術(shù)方法解 因?yàn)?所以 抓住不變量，根據(jù)除法意義統(tǒng)一單位“1”。 這樣可以看出原來運(yùn)動(dòng)員人數(shù)為“1”，現(xiàn)在是原來的，于是找到10人對(duì)應(yīng)率。綜合式： 答：原有運(yùn)動(dòng)員450人，學(xué)校有運(yùn)動(dòng)員30人。例2.

14、 甲、乙、丙三人合作生產(chǎn)一批機(jī)器零件，甲生產(chǎn)的零件數(shù)量的一半與乙生產(chǎn)的零件的相等，又等于丙生產(chǎn)零件數(shù)量的四分之三，已知乙比丙多生產(chǎn)50個(gè)零件，求這批零件共有多少個(gè)。 分析與解： 方法1：用圖示法分析解題（以甲為“1”） 從直觀圖可以明顯看出乙相當(dāng)甲的，丙相當(dāng)甲的。 甲 乙 丙 方法2：用轉(zhuǎn)化法統(tǒng)一單位“1”。 根據(jù)已知條件和分?jǐn)?shù)乘、除法的意義可得。 因?yàn)榧咨a(chǎn)零件數(shù)的與乙生產(chǎn)零件數(shù)的相等 所以 又因?yàn)榧咨a(chǎn)零件數(shù)的又等于丙生產(chǎn)零件數(shù)的 所以 根據(jù)“量率”對(duì)應(yīng)關(guān)系列式為 甲 乙 丙 答：這批零件共有750個(gè)。例3. 某商店同時(shí)賣出兩件商品，每件各得60元，但其中一件賺20%，另一件虧本20%，這

15、個(gè)商店賣出這兩件商品是賺錢還是虧本？ 分析與解：解決這個(gè)問題的關(guān)鍵是正確確定單位“1”，找出對(duì)應(yīng)關(guān)系。 可以這樣想，賺了20%，虧本20%是和誰比較呢？是與原價(jià)比較，因此原價(jià)是單位“1”，賺了20%就是說原價(jià)的是60元，求原價(jià)，用除法。 同理虧本20%就是說原價(jià)的是60元，求原價(jià)，用除法。 所以這個(gè)題綜合列式為 答：這兩件商品虧了5元。例4. 有甲、乙二人，已知甲的體重的與乙的體重的相等，甲的體重的比乙的體重的少1.5千克，求甲乙二人體重。 分析與解：已知甲的體重的與乙的體重的相等，單位“1”不同，首先是統(tǒng)一單位“1”，然后根據(jù)題意找出對(duì)應(yīng)關(guān)系，即可解決問題。 列式： 答：甲體重70千克，乙體重42千克。二. 鞏固發(fā)展，獨(dú)立完成：1. 果品店運(yùn)來的蘋果比香蕉多500千克，運(yùn)來的蘋果的與運(yùn)來香蕉的同樣多，這個(gè)水果店運(yùn)來蘋果和香蕉各多少千克？2. 果