集合的概念和表示法

1、第一節(jié) 集合的概念和表示法,一 集合的概念,二 集合的表示法,三 元素和集合之間的關(guān)系,四 集合間的包含關(guān)系,五 特殊集合,六 小結(jié),一、集合的基本概念,1、集合的定義,具有某種共同屬性的事物的全體,稱為,例如：,集合。,計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)是計(jì)算機(jī)之間以信息傳輸為主要 目的而連接起來的計(jì)算機(jī)系統(tǒng)的集合。,如今流行的 Wide Web)環(huán)球網(wǎng)。,計(jì)算機(jī)內(nèi)存的全體單元構(gòu)成一集合。,一、集合的基本概念,2、集合的元素,1、集合的元素表示的事物可以是具體的，,注：,也可,以是,抽象的。,2、集合的元素是任意的，,但必須是確定的,和可,以區(qū)分的。,集合里含有的對象或客體,稱為集合的,元素。,一、集合的基本概念,

2、3、集合的分類,1) 有限集合,集合的元素個(gè)數(shù)是有限的。,2) 無限集合,集合的元素個(gè)數(shù)是無限的。,二、集合的表示法,1、符號表示法,通常用大寫字母A, B, C, 代表集合;,用小寫字母a, b, c, 代表元素。,1)如果a是集合A的一個(gè)元素,則記為,aA,讀做“a屬于A”,或 “a在集合A中”。,2)如果a不是集合A的一個(gè)元素,則記為,讀做“a不屬于A”,或 “a不在集合A中”。,任一元素, 對某一集合而言,或?qū)儆谠摷?或不屬于該集合,二者必居其一,且只居其一。,注：,二、集合的表示法,1、符號表示法,絕不容許界限不分明或含糊不清的情況存在。,注：,離散數(shù)學(xué)中，只討論界限清楚、無二義性

3、的描述，,不清晰的對象構(gòu)成的集合,屬于模糊論的研究范疇。,著名理發(fā)師問題就屬于模糊論的研究范疇。,二、集合的表示法,2、描述集合中元素的方法 1) 列舉法 a、全部列舉法：,以任意順序?qū)懗黾系乃性?隔開，,元素間用逗號,并將其放在花括號內(nèi)。,例如“所有小于5的正整數(shù)”，,這個(gè)集合的元素為,1, 2, 3, 4,再?zèng)]有別的元素了。,如果把這個(gè)集合命名為A,A=1, 2, 3, 4,就可記為,二、集合的表示法,2、描述集合中元素的方法 1) 列舉法 b、部分列舉法：,列舉集合的部分元素，,素,其他元素可從列舉的元,用省略號代替。,例如A表示“全體小寫英文字母”的集合，,A=a, b, , y

4、, z,則,歸納出來 ，,列舉法僅適用于描述元素個(gè)數(shù)有限的集合,注：,或,元素具有明顯排列規(guī)律的集合。,二、集合的表示法,2、描述集合中元素的方法 2) 描述法,把集合元素的共同屬性描述出來。,集合中元素的屬性。,P(x)表示任何謂詞，,則,A= x | P(x) ,即用謂詞概括,表示所有使謂詞P(x)成立的元素x所組成的集合。,例：x | x2-3x+2=0、,x | x=2n-1nN,如果P(a)為真，,則aA，,否則,(謂詞表示法),集合的元素,集合的元素必須滿足的條件,二、集合的表示法,1、有些集合可以用兩種方法表示，,注：,但是有些,集合不可以用列元素法表示，,如實(shí)數(shù)集合。,2、集合

5、的元素是彼此不同的，,如果同一個(gè)元,素在集合中多次出現(xiàn),應(yīng)該認(rèn)為是一個(gè)元素。,如:3,4,4,4,5、,3,4,5、,5,4,3,是同一個(gè)集合。,3、集合的元素是無序的。,4、集合的元素可以是一個(gè)集合，,但不允許以,集合自身為其元素。,如:S=a,b,S=a,b,S,aS，,A，,三、元素和集合之間的關(guān)系,元素和集合之間的關(guān)系,是隸屬關(guān)系，,即屬于,或不屬于，,屬于記作，,不屬于記作。,例如：A=1，1，2，3，3,1,1，2,3,A，,A，,3,A，,2,3,A，,A。,可以用一種樹形圖表示 集合與元素的隸屬關(guān)系。,A,2,1，2，,AB,( ),四、集合間的包含關(guān)系,1、子集,如果集合A中

6、每個(gè)元素,都是集合B中的元素，,則稱A是B的,或A包含于B，,子集，,或者B包含A，,記作AB,如果A不是B的子集，,或 BA。,AB,(x),x,A,x,B,則在A中至少有一個(gè)元素,不屬于B時(shí)，,稱B不包含A，,記作,或 BA。,注：,1) AA，,2) AB，,BC，,則AC。,B,( ),四、集合間的包含關(guān)系,2、集合相等 1)定義,兩個(gè)集合相等,當(dāng)且僅當(dāng),它們有相同的元素。,若A和B相等，,記作,A=B,(x),x,A,x,(外延性原理),A=B。,兩個(gè)集合不相等，,記作A B。,x,( ),( ),( ),( ),( ),四、集合間的包含關(guān)系,2、集合相等 2)判斷,A與B互為,子集

7、。,定理 若A和B相等,當(dāng)且僅當(dāng),AB,且,BA。,即,證明：,B,A=B,(x),x,A,x,(x),x,A,B,x,( ),x,B,A,x,(x),A,B,x,(x),x,B,A,x,AB,BA,證畢。,A,( ),( ),四、集合間的包含關(guān)系,3、真子集,如果集合A中每個(gè)元素,都屬于集合B，,但B中,不屬于A，,則稱A是B的,記作A B,或 BA。,AB,(x),x,A,x,B,至少有一個(gè)元素,真子集。,(x),x,B,x,AB,A B,例 A=a，b,B=a，b,不是,的 子集。,（真）,四、集合間的包含關(guān)系,3、真子集,可以用文氏圖了表示集合間的包含關(guān)系。,文氏(Venn) 圖是一種

8、利用平面上的點(diǎn)構(gòu)成的 圖形來形象展示集合的一種方法。,集合用矩形、園面,如果AB，,或一封閉曲線來表示。,則表示A的圓面,一般完全落在,表示B,的圓面內(nèi)。,A,B,B,A,AB,四、集合間的包含關(guān)系,4、隸屬和包含關(guān)系的區(qū)別,例 A=a，a，B=a,BA，,BA，,B是A的元素，,B的元素a,是A的元素，,B是A的子集。,隸屬是,元素,和,集合,的關(guān)系，,包含是,集合,和,集合,的關(guān)系，,某些集合可以同時(shí)成立這兩種關(guān)系。,是個(gè)體與整體的關(guān)系，,是部分與整體的關(guān)系。,五、特殊集合,1、空集 定義,不含任何元素的集合,空集，,稱為,記作,。,例 兩條平行線交點(diǎn)的集合,為。,例 x| x 0 x 0

9、 x R,=。,注：,1) 與 的區(qū)別。,是集合，沒有元素,有1個(gè)元素的集合,2) ，, ,五、特殊集合,1、空集 定理,空集是任一集合A的子集，,即 A。,設(shè)x是論述域中任意元素,則,x,永假，,x x A,永真，,(x),(x xA),為T，, A。,下列命題是否為真。,練習(xí),1); 2) ; 3) ; 4) 。,證明：,五、特殊集合,1、空集 推理,空集是唯一的。,設(shè)1，2是兩個(gè)空集,則1 2，,且2 1，,得1= 2，,所以空集是唯一的。,證明：,證明唯一性一般采用反證法,(絕對唯一),證畢。,五、特殊集合,1、空集,2)證明一個(gè)集合是空集，或證明集合的唯一性，,常采用反證方法，,即假

10、設(shè)該集合不是空集，,或不唯一，,導(dǎo)致與已知條件的矛盾或?qū)е挛ㄒ弧?注：,1)任何非空集合A，,至少有 子集：,兩個(gè),、,和A。,只有 子集,一個(gè),。,五、特殊集合,2、全集 定義,在一定范圍內(nèi)，如果所有集合都是某一集合的子集，,則稱此集合為,全集,記作,E。,注：,1) 全集是相對的，不同的問題有不同的全集，,即使是同一個(gè)問題也可以取不同的全集。,2) 一般地說，全集取得小一些，問題的描述和 處理會(huì)簡單些。,3) 全集E 用一個(gè)矩形的內(nèi)部表示，,E,五、特殊集合,3、冪集 定義,由集合A的所有子集為元素所組成的集合,稱為A的,冪集,記作,注：,1) 冪集的元素都是,集合。,或P(A),或2 A

11、。,2) 任一集合的冪集,都非空。,3) 在 A 的所有子集中，,A,和,又叫平凡子集。,(A), , , 、 ,a, ,五、特殊集合,3、冪集 例 的冪集：, ,=,A=a的冪集：,=, 、 、 、 ,a, ,A=a，b的冪集：,=,b,a、b,有 個(gè)元素,1,有 個(gè)元素,2,有 個(gè)元素,4,20,21,22,(A),五、特殊集合,3、冪集 一般地，,集合A=a1、 a2、 an，,則,有 個(gè)元素。,2n,它的m (0 m n)元子集有 個(gè)，,不同的子集共有,+,=(1+1)n,=2n個(gè)。, ,、 ,a、 b、c, 、 、 、 、 、 、,五、特殊集合,3、冪集 例 S=a、 b、c，其冪集

12、為, , , ,a,=,b,a、b, ,a、c, ,b、c, ,c,引進(jìn)一種編碼，用來唯一的表示有限集的冪集的元素。,a,=S100,b,=S010,c,=S001,a、b,=S110,a、c,=S101,b、c,=S011,a、b、c,=S111,=S000,=S000, S001, S010, S011, S100, S101, S110, S111,五、特殊集合,3、冪集 例 A=，B=(A) ，下列命題是否成立。,a) B,B,b) B, B,c) B, B,解,(),=,=, ,顯然所有命題均成立。,B=(A),六、小結(jié),1、集合 具有某種共同屬性的事物的全體。 2、集合的元素 集合里含有的對象或客體。 3、集合的表示法 1) 符號表示法 2) 描述集合中元素的方法 a、列舉法 b、描述法,六、小結(jié),4、集合和元素間的關(guān)系 是隸屬關(guān)系 5、集合和集合間的關(guān)系 子集、真子集、相等 6、特殊集合 空集、全集、冪集,A= x| ，,理發(fā)師問題,在一個(gè)很僻靜的孤島上，住著一些人家，島上只 有一位理發(fā)師，該理發(fā)師專給那些并且只給那些自己 不刮臉的人刮臉。那么，誰給這位理發(fā)師刮臉？,解：,設(shè),不給自己刮臉的人,x 是,b是這位理發(fā)師。,1) 若bA，,則b是不給自己刮臉的人，,而由題意，,b只