推理與證明解讀0820.ppt

1、推理與證明,永康一中 姚波浪,“推理與證明”講什么？,為什么要講“推理與證明”？,如何講“推理與證明”？,三個(gè)問題,生活的需要,一、為什么要講“推理與證明”？,科學(xué)研究的需要,數(shù)學(xué)自身的需要,“長(zhǎng)頭發(fā)”進(jìn)男廁所,為什么要講“推理與證明”？,守株待兔、刻舟求劍,我是否要“炒股”,“守株待兔”者的推理過程,前天有一只野兔撞死在這棵樹上； 昨天又有一只野兔撞死在這棵樹上； 今天也會(huì)有一只野兔撞死在這棵樹上。,生活中充滿著“推理與證明”,“總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)”， 抗菌素的濫用現(xiàn)象 在生活中常說的“可能是（猜測(cè)）”、“可以想象（聯(lián)想）”、“綜上所述（歸納）”、“可見”、“可以斷言”等話語(yǔ)，都包含著合情推理與證

2、明的成分。,火星上是否存在生命？,為什么要講“推理與證明”？,鋸齒的發(fā)明,數(shù)學(xué)探究,表示任意一個(gè)自然數(shù)至少要用多少個(gè)平方數(shù)？,任一自然數(shù)都可以表示成一個(gè)、兩個(gè)、三個(gè)或四個(gè)平方數(shù)的和？,由實(shí)際計(jì)算可以得出： 1=1 2=1+1 3=1+1+1 4=4 5=4+1 6=4+1+1 7=4+1+1+1 8=4+4,9=9 10=9+1 11=9+1+1 12=8+4 100=81+16+1+1+1 100=81+9+9+1 100=64+36,解讀一,“推理與證明”是數(shù)學(xué)的基本思維過程，也是人們學(xué)習(xí)和生活中經(jīng)常使用的思維方式。推理一般包括合情推理和演繹推理，證明通常包括演繹證明和實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐的證明?！?/p>

3、標(biāo)準(zhǔn)”將“推理與證明”專設(shè)一章，這在我國(guó)高中數(shù)學(xué)課程中還是首次。通過本章的教學(xué)，不僅可以幫助學(xué)生進(jìn)一步把握以前學(xué)過的證明方法，也可以讓他們了解猜測(cè)的一般方法。,解讀一,教科書的編寫意圖是把過去滲透在具體數(shù)學(xué)內(nèi)容中的推理和證明的思維方法，以集中的、顯性的形式呈現(xiàn)出來，既教猜想，又教證明。使學(xué)生更加明確這些方法，并能在今后的學(xué)習(xí)中有意識(shí)地使用它們，養(yǎng)成言之有理、論證有據(jù)的習(xí)慣。,二、“推理與證明”講什么？,推理與證明貫穿于高中數(shù)學(xué)的整個(gè)體系，它的學(xué)習(xí)是新課標(biāo)教材的一個(gè)亮點(diǎn)，是對(duì)以前所學(xué)知識(shí)與方法的總結(jié)、歸納，并對(duì)后繼學(xué)習(xí)起到引領(lǐng)的作用。,內(nèi)容結(jié)構(gòu),推理與證明,合情推理,演繹推理,歸納,類比,直接證

4、明,間接證明,綜合法,分析法,數(shù)學(xué)歸納法,反證法,課標(biāo)要求,（1）合情推理與演繹推理 了解合情推理的含義，能利用歸納和類比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 體會(huì)演繹推理的重要性，掌握演繹推理的基本方法，并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理. 了解合情推理與演繹推理的之間的聯(lián)系與差別.,（2）直接證明與間接證明 了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；了解分析法與綜合法的思考過程與特點(diǎn)。 了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程與特點(diǎn)。 （3）數(shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題。 （4）數(shù)學(xué)文化 通過對(duì)實(shí)例的介紹（如歐幾里得

5、幾何原本、馬克思資本論、杰弗遜獨(dú)立宣言、牛頓三定律），體會(huì)公理化思想。 介紹計(jì)算機(jī)在自動(dòng)推理領(lǐng)域和數(shù)學(xué)證明中的作用。,省教學(xué)指導(dǎo)意見解讀,合情推理與演繹推理,直接證明與間接證明,23數(shù)學(xué)歸納法,教學(xué)定位：通過對(duì)已學(xué)知識(shí)的回顧，進(jìn)一步體會(huì)合情推理、演繹推理以及二者之間的聯(lián)系與差異；體會(huì)數(shù)學(xué)證明的特點(diǎn)，了解數(shù)學(xué)證明的基本方法，包括直接證明的方法（如分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法）和間接證明的方法（如反證法）；感受邏輯證明在數(shù)學(xué)以及生活中的作用，養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)習(xí)慣。,三、如何講“推理與證明”？,1、課時(shí)分配（理科8課時(shí)、文科13課時(shí)）,2、重難點(diǎn)確立,2.1節(jié)重點(diǎn)是了解合情推理的含義，能利用歸納和類比進(jìn)行簡(jiǎn)單

6、的推理；了解演繹推理的含義，能利用“三段論”進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理。 難點(diǎn)是用歸納和類比進(jìn)行推理，作出猜想，用三段論作出簡(jiǎn)單的推理。 2.2節(jié)重點(diǎn)是結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法綜合法、分析法，了解間接證明的一種方法反證法；了解綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點(diǎn)。難點(diǎn)是根據(jù)問題特點(diǎn)，結(jié)合綜合法、分析法和反證法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法或把各種證明方法結(jié)合使用。,歸納推理,歸納推理是針對(duì)一類事物S而言的，如圖所示： S 的部分事物A和B共同具有的某種特性，是否可以推廣到整個(gè)S？這就是一個(gè)從局部到整體的推理過程。,3、概念關(guān)系認(rèn)識(shí),類比推理,類比推理是針對(duì)的兩類事物，如圖

7、所示，在A和B兩類事物中，A類中有性質(zhì)P成立，B類中也有性質(zhì)P成立，A類中還有性質(zhì)Q成立，那么B類中是否也具有性質(zhì)Q成立呢？通過兩類事物的類比可以對(duì)事物的性質(zhì)有更深刻的理解，并且可以幫助進(jìn)行邏輯推理。,合情推理 合情推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺等推測(cè)某些結(jié)果的推理過程。歸納、類比是合情推理常用的思維方法。,演繹推理 演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等），按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。,例 大前提:馬有四條腿; 小前提:白馬是馬; 結(jié)論:白馬有四條腿.,它是從一般到特殊的推理.演繹推理的主要

8、形式就是由大前提、小前提推出結(jié)論的三段論式推理.,合情推理具有猜測(cè)和發(fā)現(xiàn)新結(jié)論、探索和提供解決問題的思路和方法的作用；演繹推理則具有證明結(jié)論，整理和建構(gòu)知識(shí)體系的作用，是公理體系中的基本推理方法。,合情推理與演繹推理的作用,合情推理和演繹推理之間聯(lián)系緊密、相輔相成。證明通常包括邏輯證明和實(shí)驗(yàn)、實(shí)踐證明，數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須通過邏輯證明來保證，即在前提正確的基礎(chǔ)上，通過正確使用推理規(guī)則得出結(jié)論。,合情推理與演繹推理的關(guān)系,類比的風(fēng)險(xiǎn),直接證明綜合法,所證結(jié)論,直接證明分析法,直接證明數(shù)學(xué)歸納法,間接證明反證法,4、整體把握,演繹推理與合情推理并重 以實(shí)際問題與已學(xué)問題為主要素材開展教學(xué) 長(zhǎng)期滲透

9、、控制難度,在“合情推理”和“演繹推理”教學(xué)中，要通過具體實(shí)例理解合情推理與演繹推理，不追求對(duì)概念的抽象表述。 補(bǔ)充的實(shí)例也應(yīng)以“已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例和生活中的實(shí)例”為準(zhǔn)，對(duì)證明的問題的難度也要加以控制。,一點(diǎn)說明,本章的教學(xué)屬于思想方法的教學(xué)范疇，對(duì)于思想方法的教學(xué)，一般都應(yīng)采取先讓學(xué)生自己獨(dú)立思考、實(shí)踐，再討論、歸納、概括的方式進(jìn)行，這是因?yàn)樗枷敕椒ú荒芸恐v解、灌輸、記憶而學(xué)會(huì)，只能通過在實(shí)踐基礎(chǔ)上的領(lǐng)悟而掌握。 重視過程、理清思路猶為重要。,四、關(guān)于復(fù)數(shù),與以往教科書不同的是，本章在引入復(fù)數(shù)之前，首先在具體問題情境（即方程x210在實(shí)數(shù)集中無(wú)解，如何通過數(shù)系的擴(kuò)充使該方程有解）中，展現(xiàn)了實(shí)

10、數(shù)系的擴(kuò)充過程，然后引入了復(fù)數(shù)的相關(guān)概念，并類比實(shí)數(shù)的幾何意義說明了復(fù)數(shù)的幾何意義,對(duì)復(fù)數(shù)教學(xué)的二個(gè)建議,1.加強(qiáng)復(fù)數(shù)引入過程的教學(xué)，體現(xiàn)實(shí)際需求與數(shù)學(xué)內(nèi)部的矛盾（數(shù)的運(yùn)算規(guī)則、方程理論）在數(shù)系擴(kuò)充過程中的作用 2.加強(qiáng)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、有理數(shù)、平面向量及其加減運(yùn)算、多項(xiàng)式及其加減運(yùn)算之間的聯(lián)系,五、關(guān)于框圖教學(xué) 41 流程圖 基本要求： 1.通過具體實(shí)例，進(jìn)一步認(rèn)識(shí)程序框圖。通過具體實(shí)例， 2.了解流程圖的概念，能讀懂流程圖，并體會(huì)其優(yōu)越性。 3.聯(lián)系實(shí)際問題學(xué)會(huì)繪制簡(jiǎn)單的流程圖，體會(huì)它在解決實(shí)際問題中的作用，并逐步理解其特征，掌握其初步的用法。 4. 理解流程圖可以直觀地表示數(shù)學(xué)計(jì)算、證明中的主

11、要思路、步驟和實(shí)際問題中的工程流程。,發(fā)展要求： 總結(jié)一些重要的數(shù)學(xué)方法在解決數(shù)學(xué)問題中的流程。,說明： 本節(jié)學(xué)習(xí)要緊扣增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用流程圖解決實(shí)際問題的能力來安排。,42 結(jié)構(gòu)圖 基本要求： 1.通過實(shí)例了解結(jié)構(gòu)圖，能讀懂結(jié)構(gòu)圖，并體會(huì)結(jié)構(gòu)圖的優(yōu)越性。 2. 結(jié)合繪制簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)圖，體會(huì)結(jié)構(gòu)圖在揭示事物聯(lián)系中的作用，并理解其特征，掌握其初步用法。 3. 會(huì)運(yùn)用結(jié)構(gòu)圖梳理已學(xué)習(xí)過的知識(shí)，整理收集到的資料信息。 3. 理解結(jié)構(gòu)圖可以直觀地表示某些數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)、某些組織的結(jié)構(gòu)關(guān)系,發(fā)展要求： 選擇必修各冊(cè)教材中的某些數(shù)知識(shí)（如不等式、函數(shù)、解析幾何、立體幾何等），運(yùn)用結(jié)構(gòu)圖按數(shù)學(xué)知識(shí)體系進(jìn)行梳理，并與他

12、人做交流，體會(huì)各知識(shí)塊的內(nèi)涵與外延。,說明： 本節(jié)學(xué)習(xí)要緊扣增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用結(jié)構(gòu)圖解決實(shí)際問題的能力來安排，并注意揭示其與流程圖的聯(lián)系與區(qū)別。,框圖課時(shí)安排建議 ：（共6課時(shí)） 4.1流程圖 約3課時(shí) 4.2結(jié)構(gòu)圖 約2課時(shí) 小結(jié) 約1課時(shí),框圖教學(xué)建議： 41流程圖 4.1的重點(diǎn)和難點(diǎn)都是構(gòu)造流程圖的方法。 4.1流程圖的教學(xué)可分為兩步實(shí)現(xiàn)： 一是通過讀圖，認(rèn)識(shí)流程圖; 二是結(jié)合簡(jiǎn)單的具體問題學(xué)會(huì)繪制流程圖， 同時(shí)，滲透流程圖作用及優(yōu)越性的體驗(yàn)。,框圖教學(xué)建議： 41流程圖 第一課時(shí)，認(rèn)識(shí)流程圖。 對(duì)例1的教學(xué)要把握兩點(diǎn)：一是聯(lián)系必修3算法，回憶已經(jīng)學(xué)過的框圖知識(shí)，二是由此引出流程圖的概念。接著

13、的“圖書借閱流程圖”和“診病流程圖”意在讓學(xué)生讀圖，并體會(huì)流程圖的優(yōu)越性，揭示流程圖的特征。本節(jié)課教學(xué)目標(biāo)應(yīng)該是：讓學(xué)生讀懂流程圖，體會(huì)流程圖的優(yōu)越性，初步認(rèn)識(shí)其特征。,框圖教學(xué)建議： 41流程圖 第二節(jié)課，學(xué)習(xí)繪制流程圖。 要在復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)上引出例2，由此出發(fā)，學(xué)習(xí)用流程圖表示解決問題的過程，例2后的思考要安排較充分的時(shí)間，讓學(xué)生嘗試運(yùn)用流程圖解決問題，并組織交流，促進(jìn)學(xué)生通過思維活動(dòng)認(rèn)識(shí)流程圖的繪制方法。例3既是學(xué)習(xí)繪制流程圖的過程，也是運(yùn)用流程圖的過程，因此，例3后的思考，也要加以重視，這里安排的思考既可以體會(huì)流程圖的作用，也可以概括出流程圖的特征，同時(shí)，在思考的小結(jié)中，還可以聯(lián)系前面例題

14、表明繪制流程圖的重要方法“先粗后細(xì)”。,框圖教學(xué)建議： 41流程圖 第三節(jié)課，可以由本節(jié)的探究開始，設(shè)計(jì)學(xué)生活動(dòng)的情境，繼續(xù)學(xué)習(xí)流程圖的繪制，體會(huì)流程圖的作用。 這里“兒童之家”活動(dòng)設(shè)計(jì)的探究問題，相比前面流程圖的設(shè)計(jì)有所不同，它有兩條主線，需要學(xué)生在原有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)之上，經(jīng)過思維活動(dòng)，動(dòng)手嘗試才能解決，而解決后對(duì)理解流程圖的繪制會(huì)大有幫助。 探究問題的小結(jié)中，又引入了綜合法和分析法的解題過程的流程圖，由此突出一個(gè)觀點(diǎn)“數(shù)學(xué)問題是不勝枚舉的，解決問題的方法也千差萬(wàn)別，但解決問題的過程是類似的”，并用流程圖做了直觀的表示，教學(xué)中，要突出流程圖運(yùn)用的作用，突出以上觀點(diǎn)。,框圖教學(xué)建議： 42 結(jié)構(gòu)圖

15、4.2的重點(diǎn)和難點(diǎn)都是構(gòu)造結(jié)構(gòu)圖的方法。 4.2結(jié)構(gòu)圖的教學(xué)也可分兩步完成， 一是通過讀圖認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)圖， 二是對(duì)聯(lián)系實(shí)際，學(xué)會(huì)繪制結(jié)構(gòu)圖表示某些數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)、某些組織的結(jié)構(gòu)關(guān)系， 同時(shí)，要提示結(jié)構(gòu)圖與流程圖的聯(lián)系與區(qū)別。,框圖教學(xué)建議： 42 結(jié)構(gòu)圖 第一節(jié)課可以簡(jiǎn)單復(fù)習(xí)流程圖，突出其描述具有時(shí)間特征的動(dòng)態(tài)過程，而后提出問題“如何描述數(shù)學(xué)1第2章“基本初等函數(shù)（1）”的知識(shí)結(jié)構(gòu)？在問題解決后，導(dǎo)出結(jié)構(gòu)圖的概念，并借助問題，提煉出結(jié)構(gòu)圖可以描述“從屬關(guān)系或邏輯的先后關(guān)系”，而后可安排一些簡(jiǎn)單問題，認(rèn)為結(jié)構(gòu)圖，理解其作用，并促進(jìn)學(xué)生認(rèn)識(shí)它與流程圖的聯(lián)系“首先要確定組織結(jié)構(gòu)圖的基本要素”，然后通過連線來標(biāo)明各要素之間的關(guān)系。引入后的“思考”旨在使學(xué)生理解結(jié)構(gòu)圖的作用，需要安排學(xué)生的自主活動(dòng)，先思考，再交流。后一個(gè)探究問題，可以讓學(xué)生先嘗試解決，老師的小結(jié)要側(cè)重對(duì)“下位”、“下位”概念的理解上，由此，促進(jìn)學(xué)生進(jìn)一步理解流程圖。,框圖教學(xué)建議： 42 結(jié)構(gòu)圖 第二節(jié)課通過學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)圖表示各種結(jié)構(gòu)，進(jìn)一步理解結(jié)構(gòu)圖的特點(diǎn)和廣泛的應(yīng)用性，如“環(huán)”形結(jié)構(gòu)、一個(gè)組織或部門的構(gòu)成（“樹”形結(jié)構(gòu)）、及從多種不同聯(lián)系的角度理解數(shù)列等方面的應(yīng)用，從而揭示結(jié)構(gòu)圖是人們有條理地思考和交流思想的工具，進(jìn)一步學(xué)會(huì)結(jié)構(gòu)圖的繪制。,框圖教學(xué)建議： 小結(jié) 小結(jié)時(shí)，