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1、高等代數(shù)試題三 一、計算(20分)1) 2)二、證明:(20分)1)若向量組線性無關(guān),則它們的部分向量組也線性無關(guān)。2)若向量組中部分向量線性相關(guān),則向量組必線性相關(guān)三、(15分)已知A為n階方陣為A的伴隨陣,則|A|=0,的秩為1或0。四、(10分)設(shè)A為n階陣,求證,rank(A+I)+rank(A-I)n五、(15分)求基礎(chǔ)解系高等代數(shù)試題三答案一、1)-126 2)二、證明:1)線性無關(guān),是其部分向量組,若存在不全為0的數(shù)使則取,則,則可知線性相關(guān)矛盾,所以必線性無關(guān)。2)已知是向量組中中的部分向量,且線性相關(guān)即 不全為0,使,取,于是有不全為0的,使即線性相關(guān)。三、證明:由于|A|=
2、0 ,A的秩n-11)若A的秩為n-1,則中的各元素為A的所有n-1階子式,必有一個子式不為0,又由于的各列都是AX=0齊次線性方程組的解,其基礎(chǔ)解系為n-(n-1)=1,由此的秩為1。2)若A的秩n-1,則中的所有A的n-1階子式全為0,即=0,的秩為0。四、證明:對任意n級方陣A與B,有rank(A+B)rank(A)+ rank (B)又rank(AI)=rank(AI)=rank(IA)rank(A+I)+(IA)=rank(2I)= rank(I)=nrank(A+I)+rank(IA)=rank(A+I)+rank(AI)五、 取基礎(chǔ)解系 六、證明:設(shè)是正交向量組,且不含空向量。若有 則 且 即 線性無關(guān)七、證明:證:因nn矩陣A是正定的,所以A是可逆的,對于任意不為零的n維向量X,AX0,A2X=A(AX)
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