03屆 普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題(上海卷)文(附解答)

1、2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù) 學（文史類） 本試卷共22道題，滿分150分考試時間120分鐘第卷 （共110分）一、填空題（本大題滿分48分）本大題共有12題，只要求直接填寫結果，每個空格填對得4分，否則一律得零分1函數(shù)的最小正周期T= .2若 3在等差數(shù)列中，a5=3, a6=2,則a4+a5+a10= 4已知定點A（0，1），點B在直線x+y=0上運動，當線段AB最短時，點B的坐標是 5在正四棱錐PABCD中，若側面與底面所成二面角的大小為60，則異面直線PA與BC所成角的大小等于 .（結果用反三角函數(shù)值表示）6設集合A=x|x|0, 則集合x|xA且= .7在ABC

2、中，sinA;sinB:sinC=2:3:4,則ABC= .（結果用反三角函數(shù)值表示）8若首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的前n項和總小于這個數(shù)列的各項和，則首項a1，公比q的一組取值可以是（a1，q）= .9某國際科研合作項目成員由11個美國人、4個法國人和5個中國人組成.現(xiàn)從中隨機選出兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個國家的概率為 .（結果用分數(shù)表示）10方程x3+lgx=18的根x .（結果精確到0.1）11已知點其中n為正整數(shù).設Sn表示ABC外接圓的面積，則= .12給出問題：F1、F2是雙曲線=1的焦點，點P在雙曲線上.若點P到焦點F1的距離等于9，求點P到焦點F2的距離.某學

3、生的解答如下：雙曲線的實軸長為8，由 |PF1|PF2|=8，即|9|PF2|=8，得|PF2|=1或17. 該學生的解答是否正確？若正確，請將他的解題依據(jù)填在下面空格內(nèi)，若不正確，將正確的結果填在下面空格內(nèi). .二、選擇題（本大題滿分16分）本大題共有4題，每題都給出代號為A、B、C、D的四個結論，其中有且只有一個結論是正確的，必須把正確結論的代號寫在題后的圓括號內(nèi)，選對得4分，不選、選錯或者選出的代號超過一個（不論是否都寫在圓括號內(nèi)），一律得零分.13下列函數(shù)中，既為偶函數(shù)又在（0，）上單調(diào)遞增的是（ ）Ay=tg|x|.By=cos(x).CD.14在下列條件中，可判斷平面與平行的是（

4、）A、都垂直于平面r.B內(nèi)存在不共線的三點到的距離相等.Cl，m是內(nèi)兩條直線，且l，m.Dl，m是兩條異面直線，且l，m，l，m.15在P（1，1）、Q（1，2）、M（2，3）和N四點中，函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象的公共點只可能是點（ ）APBQ.CM.DN.16f()是定義在區(qū)間c,c上的奇函數(shù)，其圖象如圖所示：令g（）=af（）+b，則下 列關于函數(shù)g（）的敘述正確的是（ ）A若a0,則函數(shù)g（）的圖象關于原點對稱.B若a=1， 0b2,則方程g（）=0有大于2的實根.C若a=2,b=0,則函數(shù)g(x)的圖象關于y軸對稱D若 a0,b=2,則方程g（）=0有三個實根.三、解答題（本大題滿分

5、86分）本大題共有6題，解答下列各題必須寫出必要的步驟.17（本題滿分12分） 已知復數(shù)z1=cosi，z2=sin+i，求| z1z2|的最大值和最小值.18（本題滿分12分） 已知平行六面體ABCDA1B1C1D1中，A1A平面ABCD，AB=4，AD=2.若B1DBC，直線B1D與平面ABCD所成的角等于30，求平行六面體ABCDA1B1C1D1的體積.19（本題滿分14分） 已知函數(shù)，求函數(shù)的定義域，并討論它的奇偶性和單調(diào)性.20（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分. 如圖，某隧道設計為雙向四車道，車道總寬22米，要求通行車輛限高4.5米，隧道全長2.

6、5千米，隧道的拱線近似地看成半個橢圓形狀. （1）若最大拱高h為6米，則隧道設計的拱寬l是多少？ （2）若最大拱高h不小于6米，則應如何設計拱高h和拱寬l，才能使半個橢圓形隧 道的土方工程量最?。浚ò雮€橢圓的面積公式為，柱體體積為：底面積乘以高.本題結果精確到0.1米）21（本題滿分16分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分5分，第3小題滿分7分. 在以O為原點的直角坐標系中，點A（4，3）為OAB的直角頂點.已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零. （1）求向量的坐標； （2）求圓關于直線OB對稱的圓的方程； （3）是否存在實數(shù)a，使拋物線上總有關于直線OB對稱的兩個點

7、？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍.22（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分8分，第3小題滿分6分.已知數(shù)列（n為正整數(shù)）是首項是a1，公比為q的等比數(shù)列. （1）求和： （2）由（1）的結果歸納概括出關于正整數(shù)n的一個結論，并加以證明. （3）設q1，Sn是等比數(shù)列的前n項和，求： 2003年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（上海卷）數(shù)學（文史類）答案一、（第1題至第12題）1. 2. 349 . 4. 5arctg2. 61,3.7 8的一組數(shù)）. 9 102.6 .114 12|PF2|=17.二、（第13題至第16題）題 號13141516代 號CD

8、DB三、（第17題至第22題）17解 故的最大值為最小值為.18解連結BD，因為B1B平面ABCD，B1DBC，所以BCBD.在BCD中，BC=2，CD=4，所以BD=.又因為直線B1D與平面ABCD所成的角等于30，所以B1DB=30，于是BB1=BD=2.故平行六面體ABCDA1B1C1D1的體積為SABCDBB1=.19解x須滿足所以函數(shù)的定義域為（1，0）（0，1）.因為函數(shù)的定義域關于原點對稱，且對定義域內(nèi)的任意x，有，所以是奇函數(shù).研究在（0，1）內(nèi)的單調(diào)性，任取x1、x2（0，1），且設x10，即在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，由于是奇函數(shù)，所以在（1，0）內(nèi)單調(diào)遞減.20解（1）如圖建立直角坐標系，則點P（11，4.5）， 橢圓方程為.將b=h=6與點P坐標代入橢圓方程，得.因此隧道的拱寬約為33.3米.（2）由橢圓方程，得故當拱高約為6.4米、拱寬約為31.1米時，土方工程量最小.解二由橢圓方程，得 于是得以下同解一.21解（1）設得 所以v30,得v=8,故=6，8.（2）由=10，5，得B（10，5），于是直線OB方程：由條件可知圓的標準方程為：(x3)2+y(y+1)2=10, 得圓心（3，1），半徑為.設圓心（3，1）關于直線OB的對稱點為（x ,