高三數(shù)學(xué)教案：函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(2)

1、課題： 3 3函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(2)教學(xué)目的：1.理解商的導(dǎo)數(shù)法則，并能進(jìn)行運(yùn)用.2.能夠綜合運(yùn)用各種法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)教學(xué)重點(diǎn)： 商的導(dǎo)數(shù)法則 .教學(xué)難點(diǎn)： 兩個(gè)函數(shù)的商的求導(dǎo)法則的推導(dǎo)授課類型： 新授課課時(shí)安排：1 課時(shí)教具：多媒體、實(shí)物投影儀教學(xué)過(guò)程 ：一、復(fù)習(xí)引入：1.導(dǎo)數(shù)的定義： 設(shè)函數(shù) yf ( x) 在 xx0 處附近有定義，如果x0 時(shí)，y 與x 的比y（也叫函數(shù)的平均變化率）有極限即y 無(wú)限趨近于某個(gè)常數(shù)，xx我們把這個(gè)極限值叫做函數(shù)y f (x) 在 xx0 處的 導(dǎo)數(shù) ，記作 y/xx0，即f / ( x0 )limf (x0x)f (x0 )x 0x2. 導(dǎo)數(shù)的

2、幾何意義： 是曲線 y f ( x) 上點(diǎn)（ x0 , f (x0 ) ）處的切線的斜率因此，如果 yf ( x) 在點(diǎn) x0 可導(dǎo)，則曲線 yf (x) 在點(diǎn)（ x0 , f (x0 ) ）處的切線方程為 yf (x0 ) f / ( x0 )( x x0 )3. 導(dǎo)函數(shù) ( 導(dǎo)數(shù) ): 如果函數(shù) y f (x) 在開(kāi)區(qū)間 (a, b) 內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，此時(shí)對(duì)于每一個(gè) x(a,b) ，都對(duì)應(yīng)著一個(gè)確定的導(dǎo)數(shù)f / (x) ，從而構(gòu)成了一個(gè)新的函數(shù) f / (x) ,稱這個(gè)函數(shù) f / (x) 為函數(shù) yf ( x) 在開(kāi)區(qū)間內(nèi)的 導(dǎo)函數(shù) ，簡(jiǎn)稱導(dǎo)數(shù) ，4.可導(dǎo) : 如果函數(shù)yf (x)

3、在開(kāi)區(qū)間 ( a,b) 內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)yf (x) 在開(kāi)區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)可導(dǎo)第 1頁(yè)共 7頁(yè)5. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系： 如果函數(shù) y=f(x)在點(diǎn) x0 處可導(dǎo)， 那么函數(shù) y=f(x)在點(diǎn)x0 處連續(xù)， 反之不成立 . 函數(shù)具有連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件 .6. 求函數(shù) y f (x) 的導(dǎo)數(shù)的一般方法 ：（ 1）求函數(shù)的改變量yf ( xx)f ( x)（ 2）求平均變化率yf ( xx)f ( x)xxy（ 3）取極限，得導(dǎo)數(shù)y / f (x)limx 0x7. 常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：c 0 ； ( x n )nx n 1 ； (sin x)cos

4、x ； (cos x)sin x8.法則 1u( x)v(x) u ( x)v ( x) 法則 2u(x)v( x) u ( x)v(x)u( x)v (x) , cu (x) cu ( x)二、講解新課：法則 3 兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方，即uu v uv (v0)vv2證明：令 yf ( x)u( x)，v(x)y u( xx) u( x)u( xx)v( x)u(x)v( xx)v( xx)v( x)v( xx)v( x) u( xx)u(x) v( x)u(x) v( xx) v( x)v( xx)v( x)，u( xx)

5、 u( x)v(xx) v(x)yv( x)u( x)xxxv( xx)v(x)第 2頁(yè)共 7頁(yè)因?yàn)?v(x)在點(diǎn) x 處可導(dǎo)， 所以 v(x)在點(diǎn) x 處連續(xù)于是當(dāng) x0 時(shí)，v(x+x )v(x)y( limu )vu( limv )u v uvlimx 0xx0xx lim v(xx)v(x)v2x0x0uuv即yu v(v0)v2v說(shuō)明：uu ，u u vuv；vvvv2若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商（商的情況下分母不為0）必可導(dǎo)若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo)例如，設(shè) f(x)=sin x+1 、g(x)=cosx 1 ，則 f(x)、g(x)在 x=0

6、 處均不可導(dǎo)，但xx它們的和f(x)+g(x)=sin x+cosx 在 x=0 處可導(dǎo)三、講解范例：x 2例 1 求 y=sin x的導(dǎo)數(shù) .分析 : 這題可以直接利用商的導(dǎo)數(shù)法則.解： y =(x 2(x 2 ) sin xx2 (sin x) 2x sin xx 2 cosxsin x) =(sin x) 2sin 2x例 2 求 y=x3 在點(diǎn) x=3 處的導(dǎo)數(shù) .x23分析 : 這題既要用到商的導(dǎo)數(shù)法則，還要用到和的導(dǎo)數(shù)法則.解： y =(x 3( x 3) ( x23)(x 3)( x 23)x2)(x23) 23x232x( x3)x26x3(x 23) 2( x23) 2 y

7、|x=3=32633241(323) 21446第 3頁(yè)共 7頁(yè)1例 3 求 y= cosx 的導(dǎo)數(shù) .x分析 : 這道題可以看作兩個(gè)函數(shù)的乘積， 也可以看作兩個(gè)函數(shù)的商， 所以不同的看法有不同的做法 .這道題可以用兩種方法來(lái)求 .解法一： y =(111(cosx) cosx) =() cosx+xxx11131(x 2 ) cos x2 cos xsin xxsin xx2xcosx1sin xcosx2x sin x2 x3x2xx解法二： y =(1 cosx) =( cosx )xx(cos x)xcos x(x)(x) 2x sin x1cosx2xxcos x2x sin x2x

8、x1sin xx cos x 1 x 2 2x2x sin xcos x2xx例 4 求 y=cotx 的導(dǎo)數(shù) .cosx(cos x) sin x cosx(sin x)解： y =(cot x) =()(sin x) 2sin xsin x sin xcosx cos x1csc2 xsin 2 xsin 2x1x例 5 求 y=的導(dǎo)數(shù) .3x第 4頁(yè)共 7頁(yè)解： y =(1x(1x) (3x2 )(1x)(3x2 )3) =(3x2 ) 2x3x2(1x)( 2x)x22x3(3 x 2 )2(3 x2 )2例 6求 y=1x2的導(dǎo)數(shù) .sin x解： y =(1x2)(1x2 ) si

9、n x(1x2 )(sin x)sin x(sin x)22x sin x(1x2 ) cos xsin 2x例 7求 y=4x3x2的導(dǎo)數(shù) .cosx解： y =(4x3(4x3 ) x 2 cos x(4x3 )( x2 cos x)x2) ( x 2 cosx) 2cos x3x2x2 cos x(4x3 )(2x cosxx2 sin x)x 4 cos2 xx 4 cosx 8x cos x4x 2 sin xx5 sin xx4 cos2 x(4x4 ) sin x( x38) cos xx3 cos2 x四、課堂練習(xí) ：1填空：(1) (x2x)()( x 21)x() ； (2

10、) ( 1x2)() sin x (1x2 )( )1(x21) 22sin x4 sin 2x解： (1) (x)x (x 21)x(x21)(1)( x21)x(2x)2( x21)2(x21)2x1第 5頁(yè)共 7頁(yè)(2) ( 1x2)(1x2 ) 2sin x (1x2 )( 2sin x)2sin x(2 sin x)22x2 sin x(1x2 )( 2cos x)(4x) sin x(1x2 )( 2 cosx)4sin2x4sin 2x2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：ax(2) y=x2(3) y=tanx1(1) y=x3x2(4) y=a1 cos x解： (1)y =(ax(ax)

11、(ax)(ax)( ax)a)(ax)2x(ax)(ax)2a(ax) 2(a x)2(2) y =(x2)(x2) (3x2 )(x 2)(3x2 )3x2(3x2 ) 23x2( x2)(6x)3x 212xx 49x 49x43x3(3) y =(tanx) =(sin x)(sin x) cosxsin x(cos x)cosx(cos x)2cos2xsin 2 x1sec2xcos2xcos2 x(4) y =(1)1 (1cos x)1 (1cos x)1(1cosx)2cos x0(1cosx)sin xsin x(1cos x) 2(1cosx)23.判斷下列求導(dǎo)是否正確，如果不正確，加以改正.(1cos x )2x(1cos x)x2 sin xx 2x2解：不正確，分母未平方，分子上正負(fù)號(hào)弄錯(cuò).第 6頁(yè)共 7頁(yè)(1 cosx )(1cos x) x2(1cos x)( x2 )x 2( x2 ) 2sin x x2(1cos x)(2x)xsin x 2(1 cosx)x4x3x sin x2