江蘇省昆山市2018_2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

1、江蘇省昆山市學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題（含解析）一、填空題. 已知傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)() ， ( ， ) ，則的值為 .【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線傾斜角的定義可得，解出即可 .【詳解】?jī)A斜角為的直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，解得，故答案為 .【點(diǎn)睛】本題考查了傾斜角的應(yīng)用，考查了基本概念，屬于基礎(chǔ)題. 已知直線和直線平行，則的值為【答案】【解析】【分析】根據(jù)直線平行的等量關(guān)系，解得結(jié)果.【詳解】由題意得，所以，（舍） .【點(diǎn)睛】本題考查直線平行，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 若長(zhǎng)方體的三個(gè)面的對(duì)角線分別為，則長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)度為【答案】【解析】【詳解】設(shè)長(zhǎng)方體長(zhǎng)寬高為，則，所以，即對(duì)角線長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛

2、】本題考查長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于- 1 - / 15【答案】【解析】【分析】根據(jù)垂徑定理求弦長(zhǎng).【詳解】因?yàn)椋?，因此圓心到直線距離為，弦長(zhǎng)為【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓位置關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 圓心在直線上，且與直線相切于點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【答案】【解析】【分析】設(shè)圓標(biāo)準(zhǔn)方程形式，根據(jù)條件列方程組，解得結(jié)果.【詳解】設(shè), 則，解得，所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【點(diǎn)睛】本題考查圓得標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 半徑為的球被兩個(gè)相互平行的平面截得的圓的半徑分別為和，則這兩個(gè)平面之間的距離是【答案】或【解析】【分析】先根據(jù)條件

3、得球心到兩平面距離，再根據(jù)兩平面位置關(guān)系得結(jié)果.【詳解】由題意得球心到兩平面距離分別為，因此這兩個(gè)平面之間的距離是或- 2 - / 15【點(diǎn)睛】本題考查球相關(guān)性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 過(guò)點(diǎn)作直線，使它被兩條相交直線和所截得的線段恰好被點(diǎn)平分，則直線斜率為【答案】【解析】【分析】根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得弦端點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)斜率公式求結(jié)果.【詳解】設(shè)截得的線段, 則，因?yàn)辄c(diǎn)為中點(diǎn) , 所以，從而直線斜率為【點(diǎn)睛】本題考查直線位置關(guān)系，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 如圖，在棱長(zhǎng)為的正方體中，四面體的體積等于【答案】- 3 - / 15【解析】【分析】根據(jù)割補(bǔ)法得結(jié)果.【 詳 解 】 四

4、面 體的 體 積 等 于 正 方 體 體 積 減 去 四 個(gè) 小 三 棱 錐 體 積 ， 即.【點(diǎn)睛】本題考查錐體體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 如圖，空間四邊形中，平面，為的等邊三角形，為棱上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】【解析】【分析】先展開(kāi)，再在平面內(nèi)利用余弦定理得結(jié)果.【 詳解 】 先 將 平 面展開(kāi) 到 平 面,則的 最小 值 為 此時(shí) ,.【點(diǎn)睛】本題考查利用展開(kāi)圖求距離最值，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 設(shè)，過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線和過(guò)定點(diǎn)的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是【答案】- 4 - / 15【解析】【分析】可得直線分別過(guò)定點(diǎn)（，）和（，）且垂直，可得三角換元后，由三角函數(shù)

5、的知識(shí)可得的最大值【詳解】由題意可得（，），由于直線，即（），顯然經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（，），注意到動(dòng)直線和動(dòng)直線始終垂直，又是兩條直線的交點(diǎn)，則有，設(shè)，則，且，可得 ， ，）（）， ， ， ， ，當(dāng) 時(shí)，（）取得最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，涉及直線的垂直關(guān)系和三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬中檔題. 關(guān)于異面直線，有下列四個(gè)命題過(guò)直線有且只有一個(gè)平面，使得過(guò)直線有且只有一個(gè)平面，使得在空間存在平面，使得，在空間不存在平面，使得，其中，一定正確的是【答案】【解析】【分析】根據(jù)異面直線定義說(shuō)明命題正確，舉反例說(shuō)明命題錯(cuò)誤.【詳解】過(guò)直線上任一點(diǎn)作直線平行線, 則直線必相交，即

6、確定一個(gè)平面，因?yàn)槿舸嬖谄矫妫沟?，則，與為異面直線矛盾，- 5 - / 15故過(guò)直線有且只有一個(gè)平面，使得；當(dāng)時(shí)可得，這與不一定垂直矛盾，所以錯(cuò)；過(guò)直線上任一點(diǎn)作直線平行線, 則直線必相交， 即確定一個(gè)平面，過(guò)直線上任一點(diǎn)作直線平行線, 則直線必相交，即確定一個(gè)平面，因此平面平面，再任作平面，使得，即得，；若，則, 與為異面直線矛盾，所以不存在平面，使得，；綜上，正確的是【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系，考查基本分析判斷與論證能力，屬中檔題. 已知圓，圓，若圓上存在點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】【解析】設(shè) ( ， ) ，則. 又在圓上，則( ) ( ) . 由

7、得，所以. 已知為平面內(nèi)一點(diǎn)，且，若，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)等于【答案】【解析】【分析】先根據(jù)條件化簡(jiǎn)得方程組，解得點(diǎn)的橫坐標(biāo).【詳解】設(shè)，則由，得，即，解得- 6 - / 15【點(diǎn)睛】本題考查軌跡方程及其交點(diǎn)坐標(biāo)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 若實(shí)數(shù)：滿足，則的最大值為【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件結(jié)構(gòu)特征，轉(zhuǎn)化為單位圓上兩點(diǎn)到定直線距離和的關(guān)系，再根據(jù)圓的幾何性質(zhì)求最值 .【詳解】因?yàn)?，所以在單位圓上，且因?yàn)?，所以，因?yàn)? 其中為中點(diǎn) .又因?yàn)? 所以, 即的最大值為【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)列積、點(diǎn)到直線距離公式、以及圓的性質(zhì)，考查綜合分析轉(zhuǎn)化求解能力，屬難題.二、解答題. 已知直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率

8、為（）求直線的一般式方程- 7 - / 15（）求與直線平行，且過(guò)點(diǎn)的直線的一般式方程（）求與直線垂直，且過(guò)點(diǎn)的直線的一般式方程【答案】（）（）（）【解析】【分析】（）先寫(xiě)點(diǎn)斜式方程，再化一般式，（）根據(jù)平行設(shè)一般式，再代點(diǎn)坐標(biāo)得結(jié)果，（）根據(jù)垂直設(shè)一般式，再代點(diǎn)坐標(biāo)得結(jié)果.【詳解】 ()() 設(shè)所求方程為因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以()設(shè)所求方程為因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)，所以【點(diǎn)睛】本題考查直線方程，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 如圖一個(gè)圓錐的底面半徑為，高為，在圓錐中有一個(gè)半徑為的內(nèi)接圓柱（）試用表示圓柱的高（）當(dāng)為何值時(shí)，圓柱的全面積最大，最大全面積為多少【答案】（）（）【解析】- 8 - / 15【分析】（）

9、根據(jù)比例關(guān)系求結(jié)果，（）先列圓柱的全面積函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)求最值.【詳解】（）（）圓柱的全面積當(dāng)時(shí)，答：當(dāng)時(shí)，圓柱的全面積最大，最大全面積為【點(diǎn)睛】本題考查圓柱全面積以及二次函數(shù)性質(zhì)，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題. 如圖，在直三棱柱中，點(diǎn)為中點(diǎn)，若, 求證：（）（）【答案】（）見(jiàn)解析（）見(jiàn)解析【解析】【分析】（）連接交于，則根據(jù)三角形中位線性質(zhì)得，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)果，（）根據(jù)線面垂直判定定理依次證得即得結(jié)論 .【詳解】連接交于，連接 ,- 9 - / 15因?yàn)橹比庵?，所以四邊形為矩形，所?為的中點(diǎn)，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以,因?yàn)椋裕ǎ┮驗(yàn)樗倪呅螢榫匦?，所? 又,

10、所以,因?yàn)樗?，因?yàn)樗倪呅螢榫匦?，所以四邊形為正方形?因?yàn)樗?【點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型.() 證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.() 證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.() 證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為正方形，為等邊三角形，是中點(diǎn)，平面與棱交于點(diǎn) .（）求證：；（）求證：平面；（）記四棱錐的體積為，四棱錐的體積為，直接寫(xiě)出的值 .- 10 - / 15【答案】（）見(jiàn)解析（）見(jiàn)解析（）【解析】【分析】（）由為正方形，可得再由線面平行的判定可得平面. 再由面面平行的性質(zhì)可得；（）由為正方形，可得結(jié)合面面垂直

11、的性質(zhì)可得平面從而得到. 再由已知證得由線面垂直的判定可得平面；（）由（）知，利用等積法把用表示，則的值可求【詳解】（）證明：因?yàn)檎叫?，所?因?yàn)槠矫?，平面，所以平?因?yàn)槠矫妫矫嫫矫妫? 11 - / 15所以.（）證明：因?yàn)檎叫?，所?因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平?因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)闉榈冗吶切危?中點(diǎn)，所以.因?yàn)槠矫?，平面，所以平?（）解：由（）知，則【點(diǎn)睛】本題考查直線與平面平行的判定和性質(zhì)，考查線面垂直的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題. 如圖， 已知圓的方程為，過(guò)點(diǎn)的直線與圓交于點(diǎn)、，與負(fù)半軸交于點(diǎn)。設(shè)，（）若，求出、

12、兩點(diǎn)坐標(biāo)（）當(dāng)直線繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，試探究是否為定值 .- 12 - / 15【答案】（）（）【解析】【分析】()設(shè)坐標(biāo)表示點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程解得坐標(biāo)，即得直線方程，與圓方程聯(lián)立解得坐標(biāo)，() 設(shè)坐標(biāo)表示、點(diǎn)坐標(biāo)，代入圓方程，化簡(jiǎn)可得.【詳解】（）設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，因此，由得（）設(shè),因?yàn)?，所以因此，【點(diǎn)睛】定點(diǎn)、定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取特殊值來(lái)確定“定點(diǎn)”是什么、“定值”是多少，或者將該問(wèn)題涉及的幾何式轉(zhuǎn)化為代數(shù)式或三角問(wèn)題，證明該式是恒定的 . 定點(diǎn)、定值問(wèn)題同證明問(wèn)題類(lèi)似，在求定點(diǎn)、定值之前已知該值的結(jié)果，因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用- 13 - / 15推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定點(diǎn)、定值顯現(xiàn). 如圖，已知圓和圓（）求兩圓所有公切線的斜率（）設(shè)為平面上一點(diǎn)， 滿足：若存在點(diǎn)的無(wú)窮多條直線與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)是直線被圓截得的弦長(zhǎng)的倍，試求所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】 ()或或， ()【解析】【分析】（）先設(shè)公切線方程，再根據(jù)圓心到切線距離等于半徑列方程，解得結(jié)果，（）設(shè)直線點(diǎn)斜式方程，再根據(jù)垂徑定理將弦長(zhǎng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離關(guān)系，利用條件列等量關(guān)系，最后根據(jù)恒成立解得點(diǎn)坐標(biāo) .【詳解