---向量空間的基.ppt

1、,定理5.1.1 -向量空間的基,定義5.1.3 -線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān),定義5.1.4 -基,例3,例4,5.1 向量空間,定義5.1.1 -向量空間,定義5.1.2 -子空間,例1,例2,例5,定義5.1.5 -維數(shù),例6,例7,例8,例9,例10,定義5.1.1 非空集合 稱為域 上的向量空間,(vector space)或線性空間(linear space), 如果 關(guān)于,加法（記作“+”）運(yùn)算構(gòu)成一個(gè)交換群，并且對(duì)每個(gè), 在 中可惟一地確定一個(gè)元素 (稱為,與 的標(biāo)量乘法)，使得對(duì)所有的 ， , 以,下四個(gè)條件都滿足：,(M1) ;,(M2) ;,(M3) ;,(M4) .,向量空間中

2、的元素稱為向量(vector). 域中的元素,稱為標(biāo)量或者純量(scalar).,注在高等代數(shù)課程中, 我們涉及到的向量空,間（或線性空間）的基域都是數(shù)域,是無(wú)限域, 且是,特征為零的域, 但我們這里的基域可以是一般的域,它可以是有限域, 且域的特征也可以是素?cái)?shù).,例1 集合 是域 上的,向量空間, 其加法運(yùn)算和標(biāo)量乘法運(yùn)算分別為,例2設(shè) 是素?cái)?shù), 則 是一個(gè)域. 系數(shù)在,上的一元多項(xiàng)式環(huán) 是 上的向量空間.,例3復(fù)數(shù)域 是實(shí)數(shù)域 上的向量空間, 運(yùn)算,是通常的復(fù)數(shù)的加法和乘法運(yùn)算.,例4域 上的所有 矩陣的集合 關(guān)于,如下矩陣的加法和標(biāo)量乘法運(yùn)算構(gòu)成 上的向量空,間,例5（這個(gè)例子是例3的推

3、廣. 雖然它看上去,很平常,但卻是域論中最重要的例子之一）設(shè) 是域，,是 的子域, 那么 是 上的向量空間. 向量空間,的運(yùn)算就是域 中的運(yùn)算. 因此, 根據(jù)第三章定理,3.6.5, 每個(gè)域都可看成是某個(gè)素域上的向量空間.,定義5.1.2 設(shè) 是域 上的向量空間， 是 的,非空子集. 如果 關(guān)于 的運(yùn)算也構(gòu)成 上的向量空,間, 則稱 為 的子空間,例6集合 是 上,的由所有系數(shù)在域 上的多項(xiàng)式組成的向量空間,的子空間.,例7設(shè) 是域 上的向量空間， 是,中的向量(它們不必互不相同), 那么子集,稱為 的由 張成的子空間. 形如,的元素稱為 的線性組,合,如果 ，那么我們稱 張成,一般地, 設(shè)

4、是 的任一非空子集. 如果 中任一,元素都是 中有限多個(gè)元素的線性組合, 則稱 張,成,定義5.1.3 向量組 稱為在 上線性,相關(guān)(linearly dependent), 如果存在不全為零的元, 使得 . 如果,向量組在 上不是線性相關(guān)的, 則稱為在 上線性無(wú),關(guān)(linearly independent).,例8設(shè) , 則 中的向量組,， ， 在 上是線性無(wú)關(guān)的. 因?yàn)榧?設(shè)存在 , 使得,那么 , 于是 .,定義5.1.4 設(shè) 是 上的向量空間. 是 的,一個(gè)非空子集. 如果 中任一有限子集都在 線性無(wú),關(guān), 且 張成 , 則稱 為 的基.,例9集合,是 上的向量空間 . 則我們可以證

5、明,是 的基.,首先我們來(lái)證明 是線性無(wú)關(guān)的.,假設(shè)有, 使得,那么有,所以, , 從而 線性無(wú)關(guān). 其次, 中任何,元素都具有形式,因此, 生成 , 即 是 的基.,定理5.1.1 如果 和 都,是域 上向量空間 的基, 那么 ,證假設(shè) . 不妨設(shè) .,由于,張成 , 所以可設(shè) , 且這些,不全為零, 對(duì) 的順序適當(dāng)重排后可,設(shè) ,則 張成 .,設(shè) ,則 中至少有,一個(gè)不為零, 設(shè) ,則 張成 繼續(xù),這樣下去, 有 張成 .,但此時(shí) 是,的線性組合, 矛盾! ,定義5.1.5如果一個(gè)向量空間 具有一個(gè)含,個(gè)元素的基, 則稱 的維數(shù)(dimension)是 . 零空,間 稱為是由空集張成的, 并規(guī)定它的維數(shù)是0.,可以用集合論的方法證明每個(gè)向量空間都有基.,以有限多個(gè)元素為基的向量空間(包括零空間)稱為,有限維向量空間(finite dimensional vector space), 否,則稱為無(wú)限維向量空間 (infinite d