大學物理習題答案第一章.doc

1、習題解答1-3 如題1-3圖所示，汽車從A地出發(fā)，向北行駛60km到達B地，然后向東行駛60km到達C地，最后向東北行駛50km到達D地。求汽車行駛的總路程和總位移。解 汽車行駛的總路程為；汽車的總位移的大小為Dr = 位移的方向沿東北方向，與 方向一致。1-4 現(xiàn)有一矢量R是時間t的函數(shù)，問 與 在一般情況下是否相等？為什么？解 與 在一般情況下是不相等的。因為前者是對矢量R的絕對值(大小或長度)求導，表示矢量R的大小隨時間的變化率；而后者是對矢量R的大小和方向兩者同時求導，再取絕對值，表示矢量R大小隨時間的變化和矢量R方向隨時間的變化兩部分的絕對值。如果矢量R方向不變只是大小變化，那么這兩

2、個表示式是相等的。1-5 一質點沿直線L運動，其位置與時間的關系為r = 6t 2 -2t 3 ，r和t的單位分別是m和s。求：(1)第二秒內的平均速度；(2)第三秒末和第四秒末的速度；(3)第三秒末和第四秒末的加速度。解 取直線L的正方向為x軸，以下所求得的速度和加速度，若為正值，表示該速度或加速度沿x軸的正方向，若為負值表示，該速度或加速度沿x軸的反方向。(1)第二秒內的平均速度ms-1；(2)第三秒末的速度因為 ，將t = 3 s 代入，就求得第三秒末的速度，為v3 = - 18 ms-1；用同樣的方法可以求得第四秒末的速度，為v4 = - 48 ms-1；(3)第三秒末的加速度因為 ，

3、將t = 3 s 代入，就求得第三秒末的加速度，為a3 = - 24 ms-2；用同樣的方法可以求得第四秒末的加速度，為v4 = - 36 ms-2 .1-6 一質點作直線運動，速度和加速度的大小分別為 和 ，試證明：(1) vdv = ads；(2)當a為常量時，式v 2 = v 02 + 2a (s -s0 )成立。解 (1)；(2)對上式積分，等號左邊為,等號右邊為,于是得,即.1-7 質點沿直線運動，在經過時間t后它離該直線上某定點O的距離s滿足關系式：s = (t -1)2 (t -2)，s和t的單位分別是m和s。求：(1)當質點經過O點時的速度和加速度；(2)當質點的速度為零時它離

4、開O點的距離；(3)當質點的加速度為零時它離開O點的距離；(4)當質點的速度為12 ms-1 時它的加速度。解 ：取質點沿x軸運動，取坐標原點為定點O。(1)質點經過O點時，即s = 0，由式,可以解得t = 1.0 s，t = 2.0 s .當t = 1 s時，. 當t = 2 s時，v = 1.0 ms-2 ，a = 4.0 ms-2 .(2)質點的速度為零，即上式可化為,解得t = 1.0 s和 t = 1.7 s .當t = 1 s時，質點正好處于O點，即離開O點的距離為0 m；當t = 5/3 s時，質點離開O點的距離為 -0.15 m 。(3)質點的加速度為零，即,上式可化為3t-

5、4=0,解得t = 1.3 s .這時離開O點的距離為 -0.074 m。(4)質點的速度為12 ms-1，即,由此解得將t值代入加速度的表示式,求得的加速度分別為a = 12.4 ms-2和 a = - 12.2 ms-2 . 1-8 一質點沿某直線作減速運動，其加速度為a = -Cv2，C是常量。若t = 0時質點的速度為v0 ，并處于s0 的位置上，求任意時刻t質點的速度和位置。解 以t = 0時刻質點的位置為坐標原點O，取水平線為x軸，質點就沿x軸運動。因為是直線運動，矢量可以用帶有正負號的標量來表示。,于是有.兩邊分別積分，得.因為t0 = 0，所以上是變?yōu)?即, (1)上式就是任意

6、時刻質點的速度表達式。因為， dx= v dt ,將式(1)代入上式，得,兩邊分別積分，得.于是，任意時刻質點的位置表達式為.1-9 質點作直線運動，初速度為零，初始加速度為a0 ，質點出發(fā)后每經過t時間，加速度均勻增加b。求經過t時間后質點的速度和加速度。解 可以把質點運動所沿的直線定為直線L，并設初始時刻質點處于固定點O上。根據題意，質點運動的加速度應該表示為.由速度公式可以求得經過t時間質點的速度.另外，根據位移公式可以求得經過t時間質點的位移.1-10 質點沿直線y = 2x + 1 m 運動，某時刻位于x1 = 1.51 m處，經過了1.20 s到達x2 = 3.15 m處。求質點在

7、此過程中的平均速度。解 根據定義，平均速度應表示為,其中.由已知條件找出Dx和Dy，就可以求得平均速度 。.根據直線方程y = 2x + 1，可求得y1 = 2x1 + 1 = 4.02 m， y2 = 2x2 + 1 = 7.31 m .所以.平均速度為.也可以用下面的方式表示；與x軸的夾角為.1-11 質點運動的位置與時間的關系為x = 5 + t 2 ，y = 3 + 5t - t 2 ，z = 1+ 2t 2, 求第二秒末質點的速度和加速度，長度和時間的單位分別是米和秒。解 已知質點運動軌道的參量方程為.質點任意時刻的速度和加速度分別為和.質點在第二秒末的速度和加速度就是由以上兩式求得

8、的。將t = 2 s代入上式，就得到質點在第二秒末的速度和加速度，分別為和 .1-12 設質點的位置與時間的關系為x = x(t)，y = y(t)，在計算質點的速度和加速度時，如果先求出 ，然后根據 和 求得結果；還可以用另一種方法計算：先算出速度和加速度分量，再合成，得到的結果為v = 和 。你認為哪一組結果正確？為什么？解 第二組結果是正確的。而在一般情況下第一組結果不正確，這是因為在一般情況下.速度和加速度中的r是質點的位置矢量，不僅有大小而且有方向，微分時，既要對大小微分也要對方向微分。第一組結果的錯誤就在于，只對位置矢量的大小微分，而沒有對位置矢量的方向微分。1-13 火車以勻加速

9、運動駛離站臺。當火車剛開動時，站在第一節(jié)車廂前端相對應的站臺位置上的靜止觀察者發(fā)現(xiàn)，第一節(jié)車廂從其身邊駛過的時間是5.0 s。問第九節(jié)車廂駛過此觀察者身邊需要多少時間？解 設火車的加速度為a，每節(jié)車廂的長度為l，第一節(jié)車廂從觀察者身邊通過所需時間為t1，t1滿足.(1)前八節(jié)車廂通過觀察者身邊所需時間為t2，前九節(jié)車廂通過觀察者身邊所需時間為t3，并可列出下面兩個方程式, (2) (3)由式(1)得.將上式代入式(2)和式(3)，分別得到,.第九節(jié)車廂通過觀察者身邊所需時間為Dt = t3 - t2 =15.00 s - 14.14 s = 0.86 s .1-14 一架開始靜止的升降機以加速

10、度1.22 ms-2 上升，當上升速度達到2.44 ms-1 時，有一螺帽自升降機的天花板上落下，天花板與升降機的底面相距2.74 m。計算：(1)螺帽從天花板落到升降機的底面所需要的時間；(2)螺帽相對升降機外固定柱子的下降距離。解 設螺帽落到升降機地面所需時間為t，在這段時間內螺帽下落的距離為h1，同時升降機上升的距離為h2。(1)若以螺帽為研究對象， 可取y軸豎直向下，t = 0時，螺帽的速度為v0 = -2.24 ms-1，加速度為g，則有(1)若以升降機為研究對象， 可取y軸豎直向上，t = 0時，升降機的速度為v0 = 2.44 ms-1，加速度為a = 1.22 ms-2，這時應

11、有(2)顯然h = h1 + h2就是升降機的天花板與底面之間的距離，等于2.74 m。于是(3)有式(3)解得.(2)螺帽相對升降機外固定柱子的下降距離，就是上面所說的h1，將上面所求得的t代入式(1)，可以得到.1-15 設火箭引信的燃燒時間為6.0 s，今在與水平面成45角的方向將火箭發(fā)射出去，欲使火箭在彈道的最高點爆炸，問必須以多大的初速度發(fā)射火箭？解 以火箭發(fā)射點為原點、水平向右為x軸、豎直向上為y軸，建立坐標系。設發(fā)射火箭的初速度為v0 ，則其豎直向上的分量為,豎直向上的速度為.火箭到達最高點時，vy= 0，由此可以求得初速度為.1-16 傾斜上拋一小球，拋出時初速度與水平面成60

12、角，1.00秒鐘后小球仍然斜向上升，但飛行方向與水平面成45角。試求：(1)小球到達最高點的時間；(2)小球在最高點的速度。解 以拋設點為原點、水平向右為x軸、豎直向上為y軸，建立坐標系。(1)為求得小球到達最高點的時間，必須先求出它的初速度v0 。因為v0與水平方向成60角，所以可列出下面的方程式.當t = 1 s 時，速度v與水平方向成45，必定有 ，所以,由此解得.如果小球到達最高點的時間為t，則有,由此解得.(2)小球到達最高點時的速度是沿水平方向的，其大小為. 1-17 質點作曲線運動，其角速度 w為常量，質點位置的極徑與時間的關系可以表示為 ，其中r0和a都是常量。求質點的徑向速度

13、和徑向加速度，橫向速度和橫向加速度。解 質點的徑向速度為,橫向速度為.質點的徑向加速度為,橫向加速度為.(計算過程用到了 為常量的條件。)1-18 質點沿任意曲線運動, t時刻質點的極坐標為 ,，試求此時刻質點的速度、加速度，并寫出質點運動的軌道方程。解 t時刻質點的速度為,此時刻質點的加速度為.題目給出了軌道的參量方程，由參量方程消去參變量t，就可以得到質點運動的軌道方程。由軌道的參量方程的第二式得,將上式代入軌道的參量方程的第一式，得,這就是質點運動的軌道方程。1-19 質點沿半徑為R的圓周運動，角速度為w = ct，其中c是常量。試在直角坐標系和平面極坐標系中分別寫出質點的位置矢量、速度

14、和加速度的表達式。解 建立如圖1-12所示的坐標系，直角坐標系的原點與極坐標的極點相重合，并且就是質點運動所沿的圓周的圓心。顯然直角坐標與極坐標有如下關系, (1)圖1-12式中r= R ，就是圓周的半徑。相反的關系可以表示為. (2) 設t = 0時，質點處于圓周與x軸的交點上。由題已知,所以(3)將式(3)代入式(1)，得,. 于是質點的位置矢量可以表示為；質點的運動速度可以表示為；質點的運動加速度可以表示為在極坐標中質點的位置矢量可以表示為；質點的速度為；質點的加速度為.1-20 質點按照s = bt - 的規(guī)律沿半徑為R的圓周運動，其中s是質點運動的路程，b、c是常量，并且b2 cR。

15、問當切向加速度與法向加速度大小相等時，質點運動了多少時間？解 質點運動的速率為,切向加速度為,切向加速度的大小可以寫為at = c。法向加速度可以表示為.切向加速度與法向加速度大小相等，即,由此解得.討論：因為v = b - ct ,所以，當t = 0時，v = b ，當t = b/c時，v = 0 。這表示在0到b/c時間內，質點作減速運動。而在t = b/c之后，質點沿反方向作圓周運動，切向加速度為c，速率不斷增大。可見質點有兩個機會滿足“切向加速度與法向加速度大小相等”。一個機會是在0到b/c之間，即,為什么t = t1是處于0到b/c之間呢？根據已知條件b2 cR，也就是b ，所以必定

16、有b/c t1 0。另一個機會是在t = b/c之后，即.圖1-13a1-21 質點從傾角為a =30 的斜面上的O點被拋出，初速度的方向與水平線的夾角為q = 30， 如圖1-13a所示，初速度的大小為v0 = 9.8 ms-1 。若忽略空氣的阻力，試求：(1)質點落在斜面上的B點離開O點的距離；(2)在t = 1.5 s時，質點的速度、切向加速度和法向加速度。解 建立如圖所示的坐標系：以拋射點O為坐標原點，x軸沿水平向右，y軸豎直向上。這時質點的拋體運動可以看作為x方向的勻速直線運動和y方向的勻變速直線運動的合成，并且有, .(1)設B點到O點的距離為l，則B點的坐標可以表示為如果質點到達

17、B點的時間為t，則可以列出下面的方程式(1)(2)以上兩式聯(lián)立，可解得(3)將式(3)代入式(1)，得.(2)設在t = 1.5 s 時質點到達C點，此時,.所以速度的大小為圖1-13b.速度與y軸負方向的夾角為.現(xiàn)在求C點的切向加速度at和法向加速度an 。由圖1-13b可見，質點的總加速度就是重力加速度g，方向與vy一致，而at和an則是它的兩個分矢量。并且由于at與v的方向一致，所以at與g之間的夾角就是v與vy之間的夾角，即b角。于是可以得到,. 圖1-141-23 用繩子系一物體，使它在豎直平面內作圓周運動。問物體在什么位置上繩子的張力最大？在什么位置上張力最小？解 ：設物體在任意位

18、置上細繩與豎直方向的夾角為q，如圖1-14所示。 這時物體受到兩個力的作用，即繩子的張力T和重力mg，并且下面的關系成立.所以可把繩子張力的大小表示為. 由上式可以得到：當物體處于最低點時，q = p，張力為最大；當物體處于最高點時，q= 0 ，張力為最小。1-24 質量為m的小球用長度為l的細繩懸掛于天花板之下，如圖1-15所示。當小球被推動后在水平面內作勻速圓周運動，角速度為w。求細繩與豎直方向的夾角j。圖1-15解 小球受到繩子的張力T和重力mg的作用，并且在豎直方向上無加速度，所以有 (1)在水平方向上，小球有向心加速度,張力T的水平分量提供了小球的向心力，故有(2)由式(1)和式(2

19、)可以解得,.1-25 在光滑的水平桌面上并排放置兩個物體A和B，它們互相接觸，質量分別為mA = 2.0 kg，mB = 3.0 kg。今用F = 5.0 N的水平力按圖1-16所示的方向作用于物體A，并通過物體A作用于物體B。求：圖1-16(1)兩物體的加速度；(2) A對B的作用力；(3) B對A的作用力。解 取水平向右為x軸。(1)以兩物體A和B為研究對象，它們在水平方向上受到力F的作用， 所以在該方向上應有,.(2)設A對B的作用力為F1 ，沿x軸的正方向，物體B沿x方向的加速度為a，可列出下面的方程式.(3)設B對A的作用力為F2，沿x軸的反方向，物體A沿x方向的加速度為a，可列出

20、下面的方程式,.圖1-17a1-26 有A和B兩個物體，質量分別為mA = 100 kg，mB = 60 kg，放置于如圖1-17a所示的裝置上。如果斜面與物體之間無摩擦，滑輪和繩子的質量都可以忽略，問：(1)物體如何運動？(2)物體運動的加速度多大？(3)繩子的張力為多大？解 物體A的受力情況如圖1-17b所示：張力T；重力mAg圖1-17c支撐力NA。圖1-17b物體B的受力情況如圖1-17c所示：張力T；重力mAg；支撐力NA。(1)我們可以假定物體B向下滑，物體A向上滑，加速度為a。若解得a 0，物體確實按所假定的方向滑動；若解得a 0，物體實際上是沿與假定方向相反的方向滑動。對物體B

21、：, (1)對物體A：(2)將以上兩式相加，得,解得所以，系統(tǒng)中的物體A沿斜面向上滑動，物體B沿斜面向下滑動。(2)物體運動的加速度為.(3)由式(2)可以解得. 圖1-18a1-27 在光滑的水平桌面上放著兩個用細繩連接的木塊A和B，它們的質量分別是mA和mB。今以水平恒力F作用于木塊B上，并使它們一起向右運動，如題1-18a圖所示。求連接體的加速度和繩子的張力。解 木塊A受三個力的作用：圖1-18b重力mAg，豎直向下；支撐力NA，豎直向上；繩子拉力T，水平向右。木塊B共受四個力的作用：重力mBg，豎直向下；支撐力NB，豎直向上；恒力F，水平向右；繩子拉力T ，水平向左。上述各力都表示在圖

22、1-18b中。建立坐標系O - xy，取x軸水平向右，y豎直向上。沿x軸向右的力為正，向左的力為負；沿y軸向上的力為正，向下的力為負。設木塊A和B沿水平方向的加速度分別為a和a，于是可以列出下面的運動方程：A：,；B：,. 另外,.由以上方程可解得,.繩子的拉力就是繩子的張力。如果水平恒力F作用于木塊A并拉著A、B連接體一起向左運動，這時解得的加速度大小不變，但繩子的張力變?yōu)?可見，由于 ，則 。圖1-191-28 質量為m的物體放于斜面上，當斜面的傾角為a時，物體剛好勻速下滑。當斜面的傾角增至b時，讓物體從高度為h處由靜止下滑，求物體滑到底部所需要的時間。解 物體受力情形如圖1-19所示。當斜面傾角為a時，物體剛好勻速下滑，這時物體在運動方向上所受合力為零，即,. 由此解得,.當斜面傾角變?yōu)閎時，讓物體從斜面頂端自由下滑，這時,.于是可解得.如果斜面長度l所對應的高度正好是h，物體從斜面頂端自由下滑到底部的時間為t，可列出下面的方程.所以.討論：從上面的結果看，下式必須成立. (1)因為,(2)將式(2)代入式(1)，得,即,所以必定有.圖1-20a1-29 用力F去推一個放置在水平地面上質量為M的物體，如果力與水平面的夾角為a，如圖1-20a所示，物體與地面的摩擦系數(shù)為m，試問：(1)要使物體勻速運動，F(xiàn)應為多大？(2)為什么