18_6354378_51.構(gòu)造二次方程.解決解析幾何試題

中國 高考數(shù)學(xué)母題一千題 (第 0001 號 ) 愿與您共建真實(shí)的中國高考數(shù)學(xué)母題 (楊培明 構(gòu)造 二次 方程 解決解析幾何試題 的 一個技 法 解析幾何的基本思 想 是利用代數(shù)的方法研究幾 何 問題 ,因此 ,方程理論是解析幾何的基本工具 ,其中 ,構(gòu)造 二 次 方程解題是 一種重要的思想方法 . 母題結(jié)構(gòu) :( )己知 c=0,c=0,則 x1+ab,( )己知 (x1,(x2,0)滿足 ,則11221122 母題 解 析 :( )與 ( )的本質(zhì)是韋達(dá)定理 ,正確性顯然 ;在解析幾何中應(yīng)用 的關(guān)鍵是如何 構(gòu)造 二 次 方程 . 構(gòu)造一元二次方程 子題類型 :(2011 年全國大綱卷 高考試題 )設(shè)兩圓 和兩坐標(biāo)軸相切 ,且都過點(diǎn) (4,1),則兩圓心的距離|( ) (A)4 (B)4 2 (C)8 (D)8 2 解析 :設(shè) 圓 +(=2:(+(=b2(a b),由 4,1) (4+(1= (4+(1- b)2=a,程 (4+(1= 7=0的兩個根 a+b=10,7 | 22 )()( =C). 點(diǎn)評 :由同一點(diǎn)在相同條件下的兩條曲線上 ,或由“地位相同”的不同兩點(diǎn)在一條曲線上 ,均可構(gòu)造一元二次方程 . 同位”直線 ,構(gòu)造一元二次方程 子題類型 :(2014 年 廣 東 高考試題 )已知橢圓 C:222(ab0)的一個焦點(diǎn)為 ( 5 ,0),離心率為35. ( )求橢圓 ( )若動 點(diǎn) P(x0,橢圓外一點(diǎn) ,且點(diǎn) 的兩條切線相互垂直 ,求點(diǎn) 解析 :( )令 c= 22 ,c= 5 ,e=5 a=3,c= 5 b=2 橢圓 C:92x+42y=1; ( )設(shè) 兩切線 為 l1,當(dāng) 由 3, 2;當(dāng) x 軸且不平行于 設(shè) l1,k1, l1:k1(代入 橢圓 :(9)8(;由直線 圓 =0 ( 程 ( 的 根 ,同理可得 程 (的 根 42020由 19420201 3,且當(dāng) 3, 2 時 ,也滿足 點(diǎn) P 的軌跡方程 是 x2+3. 點(diǎn)評 :對 “同等地位”的兩 條直線 ,首先圍繞其中一條直線“單方面” 展開分析與運(yùn)算 ,直至得到關(guān)于某量的一元二次方程 ,同理可得另一條直線對應(yīng)量也是該一元二次方程的根 ,通過根與系數(shù)的關(guān)系 ,使問題獲得干凈利落的 解 決 . 程 ,構(gòu)造 二元 二次齊次方程 子題類型 :(2000 年 北京安徽春招 試題 )如圖 ,設(shè)點(diǎn) 為拋物線 px(p0)上原點(diǎn) 以外的兩個動點(diǎn) A M 點(diǎn) M 的軌跡方程 ,并說明它表示什么曲線 . 解析 :設(shè) A(x1,B(x2,直線 AB:x=ty+b(b 0) 1=代入 :px b(2+4pt1122由 122b=4p 直線 AB:x=(4p, 0),由 點(diǎn) M 的軌跡是以 直徑的圓 (去掉坐標(biāo)原點(diǎn) ),方 程 是 x(x 0). 點(diǎn)評 :對于直線 、 且 或積已知的問題 ,可設(shè) 直線 l:y=kx+m或 x=ty+m(m 0) 1= 1=然后利用二次項(xiàng)不變 ,一次項(xiàng)乘常數(shù)項(xiàng)乘 (2或 (2的法則 ,構(gòu)造關(guān)于 x,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為關(guān)于用韋達(dá)定理 解決 相關(guān)問題 . 1.(2007 年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江西 初賽試題 )若實(shí)數(shù) x,y 滿足 :310 52 x+310 62 y=1,310 53 x+310 63 y=1,則 x+y= . 2.(2008 年全 國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽浙江 初賽 試題 )已知 , R,直線 x+ y=1 與 x+ y=1 的交點(diǎn)在直線 y= ,則 . 3.(2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東 初賽試題 )F(1,0)為一定點(diǎn) ,P(0,b)是 點(diǎn) M(a,0)滿足 =滿足 20,求 :( )點(diǎn) N 的軌跡曲線 C 的方程 ; ( )曲線 4.(2006 年全國 高考試題 )己知拋物線 y 的焦點(diǎn)為 F,A、 B 是拋物線上的動點(diǎn) ,且 0)、 B 兩點(diǎn)分別作拋物線的切線 ,設(shè)其交點(diǎn)為 M.( )證明 : 為定值 ; ( )設(shè) 面積為 S,寫出 S=f( )的表達(dá)式 ,并求 S 的最大值 . 5.(1993 年 上海 高考試題 )拋物線 y=(0,直線 、 B 兩點(diǎn) ,O 為坐 標(biāo)原點(diǎn) A 與 斜率之和為 1,求直線 l 的方程 . 6.(1991 年全國高考試題 )己知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn) O,焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上 ,直線 y=x+1 與該橢圓相交于 P 和 Q,且 Q,|210,求橢圓的方程 . 由 已知得 210,310是方程35t x+36t y=1,即 x+t+ =0 的兩個根 210+310=x+x+y=210+310+53+63. 設(shè)兩直線的交點(diǎn)為 (則 方程t x+t x=1,即 t+x0(=0 的兩個根 -(,即 0. ( )設(shè) N(x,y),由 =0,20 ,x+a=0,y=2b x;( )設(shè) 交點(diǎn) T(x0,切線 :k( 代入 x 得 : =0 =0;由 1 1 交點(diǎn)軌跡 是直線 x=( )設(shè)點(diǎn) A(2a,B(2b,M(x0,則 MA:ax=y+B:bx=t+, ab=由 F,A,B 三點(diǎn)共線得 :1 1 =0;( )略 . 設(shè) A(x1,B(x2,直線 l:y=1=入 2y 得 :2y( 2(1122k;由直線 B 的斜率之和為 111221 k=1 直線 l:y=設(shè)橢圓的方程 :(a0,b0,a b),P(x1,Q(x2,則 |210 (x1+5