學(xué)科教育論文-例談幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用.doc

學(xué)科教育論文-例談幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的應(yīng)用摘要幾何畫板的動態(tài)性和形象性，能夠讓學(xué)生在動態(tài)中觀察變動中不變的數(shù)學(xué)規(guī)律，有助于學(xué)生自主學(xué)習(xí)，自主發(fā)現(xiàn)，探索問題，充分體現(xiàn)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主體作用，有效地提高了教學(xué)效率和教學(xué)效果。關(guān)鍵詞幾何畫板數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)用幾何畫板是一個適用于教學(xué)的軟件平臺。幾何畫板最大的特點(diǎn)是“動態(tài)性”，即可以用鼠標(biāo)拖動圖形上的任一元素（點(diǎn)、線、圓），而事先給定的所有幾何關(guān)系（即圖形的基本性質(zhì)）都保持不變，這樣更有利于在圖形的變化中把握不變的規(guī)律，深入幾何的精髓，突破傳統(tǒng)教學(xué)的難點(diǎn)，為學(xué)生提供了探究的機(jī)會，極大地調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，有效地提高了教學(xué)效果。下面就圓錐曲線的知識，談一談幾何畫板在數(shù)學(xué)課堂中的應(yīng)用。一、幾何畫板的理論依據(jù)建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀建構(gòu)主義的學(xué)習(xí)觀認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一個積極主動地建構(gòu)過程，學(xué)習(xí)者不是被動地接受外在信息，而是根據(jù)先前的認(rèn)知結(jié)構(gòu)主動地和有選擇地接受外在信息，建構(gòu)當(dāng)前事物的意義。也就是說，知識的獲得是通過學(xué)習(xí)者在一定的情境即社會文化背景下，借助于他人的幫助，利用必要的學(xué)習(xí)資料，通過人際間的協(xié)作活動而實(shí)現(xiàn)的意義建構(gòu)過程。因此，在教學(xué)過程中不能離開學(xué)習(xí)者的背景知識和經(jīng)驗(yàn)，要充分尊重學(xué)生的主體性。幾何畫板的動態(tài)性和形象性，給學(xué)生創(chuàng)造一個實(shí)際“操作”幾何圖形的環(huán)境，使學(xué)生在體驗(yàn)與發(fā)現(xiàn)中學(xué)習(xí)，在較短的時間內(nèi)產(chǎn)生許多經(jīng)驗(yàn)。學(xué)生在通過對幾何圖形進(jìn)行觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的過程中增加感性認(rèn)識，形成豐厚的幾何經(jīng)驗(yàn)背景，通過自己的思考建立自己的數(shù)學(xué)理解力，從而更有助于理解和證明。二、教會學(xué)生使用幾何畫板軟件問題1.在橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)中，為了更形象地讓學(xué)生在動態(tài)中觀察橢圓的運(yùn)動現(xiàn)象，探究橢圓的性質(zhì)，首先，我把制作橢圓的過程教給學(xué)生。（1）在平面上作線段F1F2，度量出其長度，定義為2c。（2）在同一平面上作一條線段AB，度量出其長度，定義為2a，使ac。（3）在線段AB上任取一點(diǎn)C，“構(gòu)造”線段AC，度量AC的長度；“構(gòu)造”線段BC，度量BC的長度。（4）以線段AC為半徑，以點(diǎn)F1為圓心，“構(gòu)造”圓C1。（5）以線段BC為半徑，以點(diǎn)F2為圓心，“構(gòu)造”圓C2。（6）圓C1與圓C2交于點(diǎn)M，M1，“構(gòu)造”線段MF1、MF2（提示：|MF1|=|AC|，|MF2|=|BC|），并選擇“跟蹤”點(diǎn)M，M1。（7）計算|MF1|+|MF2|的值。（8）選中點(diǎn)C，在編輯菜單下操作類按鈕設(shè)置為動畫，標(biāo)記為“軌跡”。（9）當(dāng)鼠標(biāo)點(diǎn)擊“軌跡”按鈕時，點(diǎn)M，M1運(yùn)動，運(yùn)動的軌跡是橢圓。（或拖動點(diǎn)C在AB上運(yùn)動，出現(xiàn)點(diǎn)M，M1的軌跡是橢圓。）在點(diǎn)M運(yùn)動的過程中，學(xué)生觀察到|MF1|+|MF2|的值始終保持不變，即橢圓滿足下列條件的點(diǎn)的集合：PM|MF1|+|MF2|2a很容易得出橢圓的定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1、F2的距離之和是常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓。對進(jìn)一步利用“坐標(biāo)法”研究曲線（橢圓）的標(biāo)準(zhǔn)方程，再利用曲線的方程討論曲線的性質(zhì)，解決幾何問題，起到了很重要的作用。幾何畫板的動態(tài)性，能夠把數(shù)學(xué)圖形動態(tài)直觀地展現(xiàn)出來，化抽象為具體，化具體為形象，有助于學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，啟發(fā)學(xué)生的思路，找到解決問題的有效方法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。三、鼓勵學(xué)生作出猜想，參與探究利用幾何畫板的動態(tài)性，可以讓學(xué)生在實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上作出猜想，為教師培養(yǎng)學(xué)生探究性地建構(gòu)知識提供環(huán)境，從而讓學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)，在探究中自主地建構(gòu)知識，提出猜想的結(jié)論，實(shí)現(xiàn)創(chuàng)新。探究橢圓軌跡問題2.在問題1研究橢圓的軌跡時，讓學(xué)生進(jìn)一步探究：若改變線段AB的距離，曲線的形狀、大小有什么變化？為什么？學(xué)生可先對曲線的軌跡作出猜想，在紙上畫出曲線的軌跡。然后教師通過拖動A（B）點(diǎn)，改變AB的長度，驗(yàn)證學(xué)生的猜測。結(jié)果發(fā)現(xiàn)：若F1、F2的距離不變，AB的長度越大，得到的橢圓越接近于圓；AB的長度越小，得到的橢圓越扁，越接近于線段F1F2；當(dāng)AB的值等于|F1F2|時，其軌跡為一線段，與F1F2重合。問題3.已知一個圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2。從這個圓上任意一點(diǎn)P向x軸作垂線段PP，求線段PP的中點(diǎn)M的軌跡。學(xué)生根據(jù)已知條件進(jìn)行構(gòu)圖，設(shè)置點(diǎn)P為“動畫”，追蹤點(diǎn)M，得到中點(diǎn)M的運(yùn)動軌跡是橢圓，很容易就完成這個課件的制作。結(jié)論證明將圓按某個方向壓縮（拉長）都可以得到橢圓。進(jìn)一步探索：若把點(diǎn)P任意縮放，得到點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡仍是橢圓。問題4.探究橢圓的第二定義：即到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比e（0分析：在x軸上任畫兩點(diǎn)E、F，過E作x軸的垂線L，構(gòu)造線段AB、GH（|AB|GH|），在線段AB上畫一點(diǎn)C，度量出線段AC、AB，并計算ACAB，在線段GH上畫一點(diǎn)D，度量出GD=a，計算出GDe，構(gòu)造出以點(diǎn)F為圓心，以GD為半徑的圓C1,將直線L按標(biāo)記向量GDe平移得到直線L，構(gòu)造出直線L與c1的交點(diǎn)M、N，構(gòu)造出點(diǎn)M、N關(guān)于點(diǎn)D的軌跡即得到所求的橢圓。（隱去不必要的對象，結(jié)果如圖2）幾何畫板的最大特色是動態(tài)性，使學(xué)生在動態(tài)中觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象，體驗(yàn)知識的形成過程，探究幾何圖形的性質(zhì)。因而，使教學(xué)更加直觀、生動，有利于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，增強(qiáng)教學(xué)的趣味性。四、參與教學(xué)過程，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)生掌握了幾何畫板，可以更好地參與到教學(xué)過程中來，進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，根據(jù)問題的內(nèi)容，展示數(shù)學(xué)思想，進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)探索，體驗(yàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，探究知識之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，尋找解決問題的方法。問題5.從橢圓到雙曲線（讓學(xué)生仿照探究橢圓軌跡的方法探究雙曲線的軌跡）。圖3在幾何畫板上畫一直線AB，在直線AB上任意畫一點(diǎn)C，再畫兩點(diǎn)F1、F2，使|F1F2|AB|，以F1為圓心線段AC（即r1）為半徑畫圓，以F2為圓心線段BC（即r2）為半徑畫圓，圓F1與F2的交點(diǎn)是M、M，改變點(diǎn)C的位置，點(diǎn)M、M的軌跡是雙曲線。由上面的畫圖過程可以看出，雙曲線是滿足下列條件的點(diǎn)的集合：PM|MF1|MF2|2a我們把平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。在圖3中，|AB|2a，|F1F2|2c，|AB|F1F2|，ac。根據(jù)上述條件，學(xué)生仿照求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的做法，很容易求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程并探究其幾何性質(zhì)。五、自我探索，體現(xiàn)“多元聯(lián)系”借助幾何畫板所提供的“多元聯(lián)系表示”的環(huán)境，使學(xué)生自我探索，揭示知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，探索出問題的一般規(guī)律，有助于加深對數(shù)學(xué)知識的理解和掌握。問題6.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：與定點(diǎn)和定直線的距離之比是常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡（e=ca,當(dāng)01時軌跡為雙曲線；當(dāng)e=1時軌跡為拋物線